湘教版高中数学必修一集合学案(1)

让学生学会学习
集合
考纲导读
（一）集合的含义与表示
1 ．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系
.
2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列 举法或描述法）描述不同的具体问题。
（二）集合间的基本关系
1．理解集合之间包含与相等的 含义，能识别给定集合的子集
.
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义
.
（三）集合的基本运算
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集
.
3．能使用韦恩图（V enn）表达集合的关系及运算。
知识网络
基础知识、常见结论

一、集合与简易逻辑
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。
集合元素的互异性：如：
A?{x,xy,l g(xy)}
，
B{0,|x|,y}
，求
A
；
（2）集合与元素的关系用符号
?
，
?
表示。

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（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理
数集 、实数集 。
（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。
注意：区分集合中元素的形式：如：
A?{x|y?x
2
?2x?1}；
B?{y|y?x
2
?2x?1}
；
C?{(x,y)|y? x
2
?2x?1}
；
D?{x|x?x
2
?2x?1}；
E?{(x,y)|y?x
2
?2x?1,x?Z,y?Z}
； y
F?{(x,y')|y?x
2
?2x?1}
；
G?{z|y ?x
2
?2x?1,z?}

x
（5）空集是指不含任何元素的集合 。（
{0}
、
?
和
{
?
}
的区别；0与三 者间的关系）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为
A?B
，在讨论的时候不要遗忘了
A?
?
的情况。
如：< br>A?{x|ax?2x?1?0}
，如果
A?R?
?
，求
a< br>的取值。
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“
?,?
”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“
?,?
”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
（2）
A?B?{____________________}
；
A?B? {_______________________}
；

C
U
A?{____________________}

（3）对于任意集合
A,B
，则：
①
A?B___B?A
；
A?B___B?A
；
A?B___A?B
；
②
A?B?A?
；
A?B?A?
；
2?
C
U
A?B?U?
；
C
U
A?B?
?
?
；
③
C
U
A?C
U
B?
；
?C
U
(A?B)
；
（4）①若
n
为偶数，则
n?
；若
n
为奇数，则
n?
；
②若
n
被3除余0，则
n?
；若
n
被3除余1，则
n?
；
若
n
被3除余2，则
n?
；
三、集合中元素的个数的计算：

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（1）若集合< br>A
中有
n
个元素，则集合
A
的所有不同的子集个数为____ _____，所有真子集的
个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
（2）
A?B
中元素的个数的计算公式为：
Card(A?B)?
；
（3）韦恩图的运用：
四、
A?{x|x
满足条件
p}
，
B?{x|x
满足条件
q}
，
若 ；则
p
是
q
的充分非必要条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的必要非充分条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的充要条件
?A_____B
；
若 ；则
p
是
q
的既非充分又非必要条件
?___________；
五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；
注意：“若
?p??q
，则
p?q
”在解题中的运用，
如：“
sin
?
?sin
?
”是“
?
?
?
”的 条件。
六、反证法：当证明“若
p
，则
q
”感到困难时，改证它的等价命题“若
?q
则
?p
”成立，
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由 矛盾判
断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出 与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假
命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
正面词语
否定
正面词语
否定




等于

至少有一个

大于

任意的

小于

所有的

是

都是

至多有n个

至多有一个

任意两个

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第1课时 集合的概念
基础过关
一、集合
1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集
合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．
2．集合中的元素属性具有：
(1) 确定性； (2) ； (3) ．
3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常
用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．
二、元素与集合的关系
4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a是集合A的元素，记作 ，
若a不是集合B的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．
三、集合与集合的关系
5．集合与集合的关系用符号 表示．
6．子集：若集合A中 都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包
含集合A），记作 ．
7．相等：若集合A中 都是集合B的元素，同时集合B中 都是集合A
的元素，就说集合A等于集合B，记作 ．
8．真子集：如果 就说集合A是集合B的真子集，记作 ．
9．若集合A含有n个元素，则A的子集有 个，真子集有 个，非空真
子集有 个．
10．空集
?
是一个特殊而又 重要的集合，它不含任何元素，
?
是任何集合的 ，
?
是任何非空集合的 ，解题时不可忽视
?
．
典型例题
例1. 已知集合
A?
?
x?N|
?
?
8
?
?N
?
，试求集合A
的所有子集.
6?x
?
例2.
例2. 设集合
U ?{2,3,a?2a?3}
，
A?{|2a?1|,2}
，
C
U< br>A?{5}
，求实数a的值.

2

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例3. 已知集合A={x|mx-2x+3=0，m∈R}.（1）若A是空集，求m的取 值范围；（2）若
A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.


例4. 若集合A＝{2，4，
a?2a?a?7
}，B＝{1 ，a＋1，
a?2a?2
，
?
322
2
1
2
(a?3a?8)
、
2
a
3
?a
2
?3a?7< br> }，且A∩B＝{2，5}，试求实数
a
的值．


b?
变式训练1.若a,b
?
R,集合
?
1,a?b,a
?
?
?
?
0,,b
?
,
求b-a的值.
?
a
?
变式训练2：（1）P＝{x|x－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0 }，S
?
P，求a取值？
2
（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1 ≤x≤2m－1}，B
?
A,求m。

变式训练3.（1）已知A={a+ 2，(a+1)
2
，a+3a+3}且1∈A，求实数a的值；
（2）已知M={2， a，b}，N={2a，2，b}且M=N，求a，b的值.

变式训练4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq，
aq
}，其中a≠0，若A＝B，求q
的值



归纳小结
2
2
2
1．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给 定的集合，确
定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和
数集混淆．
2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要 加以检验．
3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．

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4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分 类讨论、数形结合的思想方法在
解题中的应用．
基础过关

一、集合的运算
第2课时 集合的运算
1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B
＝ ．
2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B
＝ ．
3．补集：集合A是集合S的子集，由 的元素组成的集合，叫做S中子集A的补
集，记作
C
S
A
，即
C
S
A
＝ ．
二、集合的常用运算性质
1．A∩A＝ ，A∩
?
＝ ，A∩B=B∩A，A∪A＝ ，A∪
?
＝ ，
A∪B＝B∪A
2．
A?C
U
A
＝ ，
A?C
U
A
＝ ，
C(C
U
A)?
．
3．
C
U
(A?B)?
，
C
U
(A?B)?
，
4．A∪B＝A
?
A∩B＝A
?


典型例题
例1. 设全集
U?R
，
M?{m|
方程
mx
2
?x?1?0
有实数根
}
，
N?{n|
方程
x
2
?x?n?0
有实数根
}
，求
( C
U
M)?N
.



例2. 已知
A ?{x|a?x?a?3}
,
B?{x|x??1
或
x?5}
.(1 )若
AIB??
,求
a
的取值范
围;(2) 若
AUB?B
,求
a
的取值范围.

让学生学会学习
变式训练1.已知集合A=
?
x|


?
?
6
2
?
求
A?(C
RB)
.
?1,x?R
?
,
B=
x|x?2x?m?0,
当m= 3时，
x?1
?
??
变式训练2：设集合A=
x|x
2?3x?2?0,
B
?x|x
2
?2(a?1)x?(a
2?5)?0.

（1）若A
?
B
?
?
2
?
,
求实数a的值；（2）若A
?
B=A，求实数a的取值范围；



1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含 义，善于转化为文字语
言．
2．集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可 在数轴上表示，注意在运算
中运用数形结合思想．
3．对于给出集合是否为空集，集合中的元 素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有
分类讨论的意识.
??
??

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集合单元测试题
一、选择题
1．设全集U=R，A={
x
∈N︱1≤
x
≤10}，B={
x
∈R︱
x
+
x
－6=0}，则下图中阴影表示的集合为
（ ）
A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3}
2．当x
?
R，下列四个集合中是空集的是（ ）
A. {x|x-3x+2=0} B. {x|x＜x}
C. {x|x-2x+3=0} C. {x|sinx+cosx=
2
22
2
6
}
5
3．设集合
A?
?
5, log
2
(a?3)
?
，集合
B?{a, b}
，若
AIB?{2}
, 则
AUB
等于（ ）
A.
?
1,2,5
?
B.
?
?1,2,5
?
C.
?
2,5,7
?
D.
?
?7,2,5
?

4．设集合
A?y|y?
?
x
2
?1
，
B?x|y?x
2
?1
，则 下列关系中正确的是（ ）
???
A．
A?B
B．
A?B
C．
B?A
D．
A?B?[1,??)

5．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M- P={x|x
?
M且x
?
p},则M-（M-P）等于（ ）
A. P B. M
I
P C. M
U
P D. M
6．已知
A?xx?2x?3?0,B?xx?a
, 若
A
?

B
, 则实数
a
的取值范围是( )
A.
(?1,??)
B.
[3,??)
C.
(3,??)
D.
(??,3]

7 .集合M＝{x｜x＝sin
A．
?
?1,0,1
n
?
n< br>?
，n∈Z}，N＝{ x｜x＝cos，n∈Z }，M∩N＝ （ ）
2
3
?
2
?
??
?
B．
?
0,1
?
C．{0} D．
?

k1
k1
?,k?Z
}，N＝{x│
x??,k?Z
}，则
42
24
8.已知集合M＝{x｜
x?
A
．
M＝N
（ ）
B．M N C
．
M N D．M
?
N＝φ
9． 设全集∪＝{x｜1≤x <9，x∈N}，则满足
?
1,3,5,7,8
?
?C
U
B?
?
1,3,5 ,7
?
的所有集合B的
个数有 （ ）
A．1个 B．4个 C．5个 D．8个
10．已知集合M＝{(x，y)︱y＝
足的条件是（ ）
9?x
2}，N＝{(x，y)︱y＝x＋b}，且M∩N＝
?
，则实数b应满

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A．︱b︱≥
3
b＜－3
二、填空题
2
B．0＜b＜
2

C．－3≤b≤
32
D．b＞
32
或< br>11．设集合
A?{x?3?x?2}
,
B?{x2k?1?x?2k?1}< br>,且
A?B
，则实数
k
的取值范围
是 .
12．设全集U=R，A=
{x|2
x(x?2)
?1},B?{x|y ?ln(1?x)}
，则右图中阴影部分表示的集
合为 .
13．已知集合A=
?
1,2,3,4
?
，那么A的真子集的个数是 .
?
??
，
T?
?
y|y?log(x?1),x??1
?
，则
S?T
等于 .
?
1
?< br>14．若集合
S?
?
2
y|y??1,x?R
??
? ?
x
?
?
?
2
?
?
?
15．满足
?
0,1,2
?
A?{0,1,2,3,4,5}
的集合A的个数是 _______个.
1
?x?3}
，函数
f(x)?log
2(ax
2
?2x?2)
的定义域为Q.
2
12
（1） 若
PIQ?[,),PUQ?(?2,3]
，则实数a的值为 ；
23
（2）若
PIQ?
?
，则实数a的取值范围为 .
16．已知集合
P?{x|
三、解答题
17．已知函数
f(x)?
义域集合是B
（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数
a
的取值范围．





18．设
U?R
，集合
A?x|x?3x? 2?0
，
B?x|x?(m?1)x?m?0
；若
x?1
22
的定义域集合是A,函数
g(x)?lg[x?(2a?1)x?a?a]
的定
x? 2
?
2
??
2
?
(C
U
A)?B?
?
，求
m
的值.

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19．设集合
A?{x132?2
?x< br>?4}
，
B?xx
2
?3mx?2m
2
?m?1?0
. (1)当
x?Z
时，
求A的非空真子集的个数；(2)若B=
?
，求m的取值范围；(3)若
A?B
，求m的取值范围.





20. 对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“ 不动点”，若
f(f(x))?x
，则称x为f(x)
的“稳定点”，函数f(x)的 “不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即
A?{x|f(x)?x
}，
B? {x|f[f(x)]?x}
.
??
(1) 求证：A
?
B
(2) 若





f(x)?ax
2
?1(a?R,x?R)
，且
A?B??
，求实数a的取值范围.

让学生学会学习
单元测试参考答案
一、选择题
1．答案：A 2．答案：C 3．答案：A 4．提示：
A?{y|y?0}
，
B?{x|x?1或x??1}
.
答案： D
5．答案：B 6．答案：B 7. 由
0，1}，故选C.
8.C 9.D 10.D 11．提示:
2k?1?2k?1
, ∴
B??
,答案：
?1?k ?
n
?
n
?
3
3
与的终边位置知M＝{
?
，0，}，N＝{－1，
2
32
2
1

2
12．答案：
A?(0,2),B?(??,1)
，图中阴影部分表示的集合为
AI?
U
B?[1,2)
,
13．答案：15 14. 答案：7 16. 答案：
{y|y??1}

15. 答案：
a??
17. 解：（1）A＝
x|x??1或x?2
3
；
a?(??,?4]

2
??

B＝
?
x|x?a或x?a?1
?

?
a??1< br>所以
?1?a?1
,所以实数ａ的取值范围是
?
a?1?2

（2）由A
U
B＝B得A
?
B，因此
?
?
?1,1
?

18. 解：
A?
?
?2,?1
?< br>，由
(C
U
A)IB?
?
,得B?A
，
当
m?1
时，
B?
?
?1
?
，符合
B?A< br>；当
m?1
时，
B?
?
?1,?m
?
，而< br>B?A
，∴
?m??2
，
即
m?2

∴
m?1
或
2
.
19. 解：化简集合A=
x?2?x?5
，集合B可写为
B?x(x?m?1)(x?2m?1)?0

????
?
A的非空真子集数为
2
8
?2?254
(1)
?x?Z,?A?
?
?2,?1,0,1,2,3,4,5
?
,即A 中含有8个元素，
（个）.
(1)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=
?
.
(2)当B=
?
即m=-2时，
B?
?
?A
；
当B
?
?
即
m??2
时
（ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要
B?A

让学生学会学习
只要
?
?
2m?1??2
3
???m?6
，所以m的值不 存在；
2
?
m?1?5
（ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要
B?A

?
m?1??2
只要
?
??1?m?2
.
2m? 1?5
?
综合，知m的取值范围是：m=-2或
?1?m?2.


20.证明(1).若A＝
?
，则A
?
B 显然成立；
若 A≠
?
，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t，即t∈B，从而 A
?
B.
2
解 (2)：A中元素是方程f(x)＝x 即
ax?1?x
的实根.
?
a?0
?
?
由 A≠，知 a＝0 或
?
??1?4a?0

a??
1
4
即
22
B中元素是方程
a(ax?1)?1?x

3422
即
ax?2ax?x?a?1?0
的实根
222
2
由A
?< br>B，知上方程左边含有一个因式
ax?x?1
，即方程可化为
(ax?x?1) (ax?ax?a?1)?0

因此，要A＝B，即要方程
a
2
x
2
?ax?a?1?0
①
2
要么没有实根，要么实根是方程
ax?x?1?0
②的根.
若①没有实根，则
?
2
?a?4a(1?a)?0
，由此解得
22
a?
3
4

22
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有
ax?ax?a
，代入①有 2ax＋1＝0.
由此解得
x??
1 113
13
??1?0,a?[?,]
2a
，再代入②得
4a2a4
.故 a的取值范围是
44
由此解得