江苏省高中数学学案7集合(苏教版必修1)

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第7课时 集合复习
【学习目标】
1．掌握集合的有关基本义概念，运用集合的概念解决问题；
2．掌握集合的包含关系（子集、真子集）；
3．掌握集合的运算(交、并、补)；
4．解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）的运用.
【课前导学】
【复习回顾】
1．判断下列命题的正误：
①全集只有一个；
②“正整数集”的补集是“负整数集”；
③空集没有子集；
④任一集合至少有两个子集；
⑤若
A?B?B
，则
B?A
；
⑥若
A?B?
?
，则A、B之中至少有一个为空集；
解：只有⑤ √，其余均X
2．设集合
A?{x?3?x?2}
,
B?{x2k?1?x ?2k?1}
,且
A?B
，则实数
k
的取值范围
是 ．
?
k|?1?k?
?
?
1
?
?

2
?
3．设
U?R
，集合
A?x|x
2
?3x? 2?0
，
B?x|x
2
?(m?1)x?m?0
．若
(C
U
A
)?
B?
?
，求
m
的
值．
解：
A?
?
?2,?1
?
，由
(C
U
A)
????
B?
?
,得B?A
，
当
m?1
时，
B?
?
?1
?
，符合
B?A
；
当
m?1
时，
B?
?
?1,?m
?
，而< br>B?A
，∴
?m??2
，即
m?2

∴
m?1
或
2
．

【课堂活动】
一、建构数学：
本单元主要介绍了以下三个问题：

1
．集合的含义与特征；

2
．集合的表示与转化；

3
．集合的基本运算．

（一）集合的含义与表示
(
含分类
)
1
．具有共同特征的对象的全体
,
称一个集合；

1

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2
．集合按元素的个数分为
:
有限集和无穷集两类；

?< br>列举法（含全部列举、中间省略列举、端省略列举）
?
3
．集合的表示
?
?
描述法（含文字描述与属性描述两类）
?
图示法（目前含数轴表示、直角 坐标表示、Venn图表示）

?
?
符号表示法（含数集符号简记与区间）< br>（二）集合表示法间的转化

列举法

?具体化
文字描述法? ?
熟悉化
??属性描述法?
简单化
???符号表示法
?直观化
图示法
说明：高中数学解题的关键也是着
“
四化
”
．

（三）集合的基本运算

1
．子集：
A
?
B定义为，对任意
x
∈
A
，有
x
∈
B,
表现图为
A
在
B
中包含着；

2
．集合运算比较：

运算
类型
交 集 并 集 补 集
由所有属于A且属由所有属于集合A或
设S是一个集合，A是
于B的元素 所组成属于集合B的元素所
S的一个子集，由S中
所有不属于A的元素
的集合,叫做A ,B的组成的集合，叫做A,B
定
组成的集合，叫做S中
义
交集． 记作A
?
B（读的并集．记作：A
?
B
子集A的补集（或余
作‘A交B’），即（读作‘A并B’），即
集）记作
C
S
A
，即
A
?
B=｛x|x
?
A，且A
?
B ={x|x
?
A，或
x
?
B｝． x
?
B})．
C
S
A=
{x|x?S,且x?A}

韦
恩
A
B
A
B
S
图
A

示
图1

图2

(C
u
A)
?
(C
u
B)
A
?
A=A A
?
A=A
= C
u
(A
?
B)
性
A
?
Φ=Φ A
?
Φ=A

A
?
B=B
?
A A
?
B=B
?
A
(C
u
A)
?
(C
u
B)

A
?
B
?
A A
?
B
?
Ａ
= C
u
(A
?
B)

A
?
B
?
B A
?
B
?
B
A
?
(C
u
A)=U
质
A
?
(C
u
A)= Φ．
容斥原理：有限集A的元素个 数记作card(A).对于两个有限集A，B，
有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．
2
S

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二、应用数学：
1、注意集合中代表元素 < br>“代表元素”实质是认识和区别集合的核心．代表元素不同，即使同一个表达式，所表示的集合也不
同．例如A={x|y=x
2
},B={y|y=x
2
},C={(x,y )|y=x
2
},D={y=x
2
}.
例1 P={y=x
2
+1},Q={y|y=x
2
+1},S={x|y=x
2
+1 },M={(x,y)|y=x
2
+1},N={x|x≥1}.则相等的集合有
．
答案：Q=N
【变式】Q
?
S=？

2、注意集合中元素的互异性
注意集合中元素的互异性，计算出的结果都必须代入到原集合当 中，检验是否违反互异性的原则．例
如对于数集{2a,a
2
-a}，实数a的取值范 围是_______________.
a?0
且
a?3

例2 ( 1)已知集合A={1,4,a},B={1,a
2
},且B
?
A,求集合A 和集合B；
(2)已知x∈R,A={-3,x
2
,x+1},B={x-3,2x -1,x
2
+1},如果
A?B
={-3}，求
A?B
．
解：（1）当a= 4时，有a=2或-2 ，经检验符合题意，
此时A={1,2,4}或A={1，-2,4}, B={1,4}；
当a=a 时，有a= 1或0 ，经检验a=0 符合题意,此时A={0,1,4},B={0,1}．
（2）由
A?B
={-3}有，x-3= -3或2x-1= -3或x
2
+1= -3故有x=0 或-1
当x=0时，A={-3,0,1}, B={-3，-1,1}，不合题意
A?B
={-3}；
当x= -1 时，A={-3,1,0} ,B ={-4，-3,2}，符合题意．
综上所述，x= -1.
【解后反思】
1、注意分类讨论；
2、注意检验题意和集合中元素的互异性．

2
2
3、准确掌握元素和集合、集合和集合的关系
例3 (1) 下列关系式:①
m
?Q(m,n?N,n?0)
;②N∈R;③高一(1)班学生的笔 ∈{x|x是高一(1)班学生};④∈
n
{x∈R|x-
π
>0}.其中正 确命题的序号是 ．①
(2) ①1
?{0,1,2}
;②{ 1}
?{0,1,2}
③
{0,1,2}?{0,1,2}
;④
?< br>{0};⑤
?
?
{0},上述五个关系式中错误的
个数是 ．2个
4、注意空集特殊性和两重性
空集是任意集合的子集，即
?
?A< br>，是任一非空集合的真子集，即
?
A(A≠
?
).
A?B有三种情况：
A?
?
,A?B
,AB.另外还要分清楚
?
与{
?
}
,
?
与{0}
的关系．
例4 下列五 个命题:①空集没有子集;②空集是任何一个集合真子集;③
?
?{0}
④任何一个集 合必有两个或
两个以上的子集;⑤若
A?B?
?
，则A、B之中至少有一个为 空集；其中真命题的个数 ．0个
例5 已知集合A={x|x
2
-ax+a
2
-19=0},B={x|x
2
-5x+6=0},C={x |x
2
+2x-8=0},若
?
且A∩C=
?
，求a的值．
解：B={2,3} ,C={2，-4} 由题意有3
?
A, 2
?
A，
把3代入A对应方程有a-3a -10 =0 解方程有a=5 或 -2.，
经检验a=-2（a=5舍去）．

例6 已知A={x|ax-1=0 },B={x|x
2
-5x+6=0},若
A?B
=A,求a的值，并确定集 合A．
解：
A?B
=A,
?
A
?
B 而 B={2,3}，
2
A?B
，
3

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当a = 0 时，A =
??B
，符合题意；
1
1
时，A={2}
?B
，符合题意；当a=时，A={3 }
?B
，符合题意．
3
2
【解后反思】注意空集的特殊性，空集是 任意集合的子集，即
?
?B
．
当a=
例7 已知A={x|x2
+(m+2)x+1=0},且A
?
R
+
=
?
.试求实数m的取值范围．
解：因为A
?
R
+
=
?
.
2
若
A??
，则方程
x?(m?2)x?1?0
无实数解，
所以
??(m?2)?4?m?4m?0
， - 4< m<0;
若
A??
，则方程
x?(m?2)x?1?0
有非正实数根，
因为
x
1
x
2
?1?0
，所以方程有两个负根，
2
22
?
??m
2
?4m?0,
所以
?< br>解得
m?0
，
?
?(m?2)?0,
综上可知，实数m的取值范围是m > - 4.
【解后反思】注意空集的特殊性及分类讨论思想的应用．

5、 综合运用
例8 已知集合A={x|x
2
+4ax-4a+3=0}， B={x|x
2
+(a-1)x+a
2
=0}，C={x|x
2
+2ax-2a= 0}， 其中至少有一个集合不是
空集，求实数a的取值范围.
分析：此题若从正面入手，要对七种可能情况逐一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则
只有一种情况，即三个集合全是空集.
【解】 当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解，
即
?
?
1
?16a
2
?4(?4a?3)?0
?
22

?
?
2
?(a?1)?4a?0

?
2
? ?4a?8a?0
3
?
3
?a??1

2
3
∴所求实数a的取值范围为：a≤
?
,或a≥-1.
2
解此不等式组，得
?
点评:采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将所研究的对象的全体视为全集，求
出使问题反面成立的集合，那么这个集合的补集便为所求.
4

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三、理解数学：
1．已知全集U=R，集合A={x|x
2
-x -6<0}，B={x|x
2
+2x-8>0}，C={x|x
2
-4ax+ 3a
2
<0}．
(1)试求a的取值范围，使A∩B
?
C；
(2)试求a的取值范围，使
C
U
AC
U
B?C
．
分析：U=R，A=（-2，3），B=（-
?
，-4）∪（2，+
?
），
故A∩B=（2，3），
C
U
A?
（-
?
，-2] ∪[3，+
?
），
C
U
B?
[-4，2]，
∴
(C
U
A)(C
U
B)
=[-4，-2]，
又x
2
-4ax+3a
2
<0即(x-3a)(x-a)<0，
∴当a<0时，C=（3a，a），
当a=0时，C=
?
，
当a>0时，C=（a，3a），
?
a?0
?
(1) 要使A∩B
?
C，集合数轴知，
?
a?2
解得 1≤a≤2；
?
3a?3
?
(2) 类似地，要使
C
U
AC
U
B?C
必有
?
a?0
4
?

?
3a??4
， 解得
?2?a??
．
3
?
a??2
?
【解】解答过程只需要将上面的分析整理一下即可.
点评:①研究不等式的解集的包含关系或进行集合的运算时，充分利用数轴的直观性，便
于分析与转化；
②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在分类时要满足不重复、不遗漏的原则.
2．(1) 已知集合A={x|x
2
-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若
B?A< br>,求实数a的取值范围；
(2)已知集合A={x|ax
2
-3x+2=0},
①若
A
=
?
，求
a
的取值范围；
②若
A
中只有一个元素，求
a
的值并写出这个集合的元素；
③若
A
中至多有一个元素，求
a
的取值范围；
④若
A
中有两个元素，求
a
的取值范围．
(3)已知集合 A={x|x
2
-3x+2=0},B={x|x
2
-ax+2=0},若< br>B?A
，求实数a的取值范围．
解：(1)
B?A
而 B={ 1,2 }
当a = 0 时，B =
??A
符合题意；
当a=
2
时，A={1}
?B
符合题意；当a=1时，A={2 }
?B
符合题意；
(2)(3)略
【解后反思】注意对方程最高次项系数是否为零的讨论．
【课后提升】
1．下列命题正确的有 个．
（1）很小的实数可以构成集合；（2）集 合
y|y?x?1
与集合
?
x,y
?
|y?x?1
是同一个集合；（3）
22
????
5

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361
1,,,?,0.5
这些数组成的集合有
5
个元素；（4）集 合
??
x,y
?
|xy?0,x,y?R
?
是指第二和第四 象限内的点
242
集．
答案：
0

2．若
A?< br>?
1,4,x
?
,B?1,x
2
且
A
答案：
0,2,或?2

3．已知集合
A?{x|ax?3x?2?0}
至 多有一个元素，则
a
的取值范围 ．
答案：
?
a|a?
2
??
B?B
，则
x?
．
?
?
9
?
,或a?0
?

8
?
4．下列表述中正确的是 （只填序号）：⑴若
A?B,则A?B?A
；⑵若
A?B?B，则A?B
；
⑶
(A?B)
A
(A?B)
；⑷
C
U
?
A
?
B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
．
答案：⑴、⑵、⑷
5．已知
x?R
，则集合
{3,x,x
2
?2x}
中元素x所应满足的条件为 ．
答案：
x?0,?1,3
< br>6．满足
{a}?M{a,b,c,d}
的集合
M
的个数为_____ ________．
答案：7
7．某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有 28人，参加化学兴趣小组有21人，若数学化
学都参加的有x人，则x的取值范围是 ．
答案：
4?x?21，x?Z

8．设全集
U?R
，< br>M?m|方程mx
2
?x?1?0有实数根
，
N?n|方程x
2
?x?n?0有实数根,
则
????
?
C
U
M< br>?
?
?
N
= ．
1
?
4
?
2
答案：
?
x|x??
?

9．集合
A?x|x?ax?a?19?0
，
B?x|x?5x?6?0
，< br>C?x|x?2x?8?0

满足
A
?
2
??
2
??
2
?
B?
?
,
，
AC?
?
,
实数
a
值为 ．
答案：
a??2

10．设
y?x?ax?b,A?
?x|y?x
?
?
?
a
?
,M?
2
?< br>?
a,b
?
?
,M?
．
6

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答案：
M?
?
?
,
?
?

11． 设
U?R
，集合
A?x|x
2
?3x?2?0
，
B ?x|x
2
?(m?1)x?m?0
；若
(
C
U
A
)?
B?
?
，
?
?
11
?
?< br>?
?
39
?
?
????
m
= ．
答案：
m?1
或
2

12．已知
A?{x? 2?x?5}
，
B?{xm?1?x?2m?1}
，
B?A
,则m
的取值范围为 ．
答案：
m?3

13．设
?
是集合A中元素的一种运算，如果对于任意的
x??y,x,y?A
，都有
x?y?A
，则称运算
?
对集合A是封闭的，若
M?{x| x?a?2b,a,b?z}
，则对集合M不封闭的运算是 （选
填：加法、减法、乘法、除法）．
答案：除法
14．设全集
U?(x ,y)x,y?R
,集合
M?
?
(x,y)
??
?
?
y?2?
?1
?
，
N?
?
(x,y)y?x?4
?
,
x?2
?
那么
(C
U
M)
答案：
(C
U
N)
等于________________．
??
2,?2
??

二、解答题：
15 ．已知集合A?
?
x|?2?x?a
?
,
B?
?
y|y? 2x?3,x?A
?
,
C?z|z?x
2
,x?A
,
且
C?B
,求
a
的取值范围．
解：
B?
?
x|?1?x?2a?3
?
，当
?2?a?0
时，
C?x |a
2
?x?4
，
而
C?B
则
2a?3?4,即a?
??
??
1
,而?2?a?0,
这是矛盾的；
2
当
0?a?2
时，
C?
?
x|0 ?x?4
?
，而
C?B
，
则
2a?3?4,即a?
11
,即?a?2
；
22当
a?2
时，
C?x|0?x?a
2
，而
C?B
，
则
2a?3?a,即 2?a?3
； ∴
2
??
1
?a?3
．
2

16．已知A={x|x
2
+3x+2 ≥0}, B={x|mx
2
－4x+m-1>0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A,
7

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求m的取值范围.
解：由已知A ={x|x
2
+3x+2
?0
}得
A?{x|x??2或x??1}
（2）∵
由A?B?
?
得 .（1）∵A非空 ，∴B=
?
；
A={x|x
??2或x??1
}∴
B?{x|?2?x??1}.另一方面，
A?B?AB?A
，于是上面（2）不成立，
否则
A?B?R
，与题设
A?B?A
矛盾.由上面分析知，B=
?
.由已知B=x|mx?4x?m?1?0,m?R
结合B=
?
,得对一切x
?R,m x?4x?m?1?0
恒成立，于是，有
2
?
2
?
?
m?0
1?17
解得m?
?
2
?
16?4m(m?1)? 0

?m
的取值范围是
{m|m?
1?17
}
．
2
17．
A?xx
2
?2x?8?0,B?xx
2
?2x?3?0,C?xx
2
?3ax?2a
2
?0
，试求实数a
的取值范围，
使
C?A?B
．
解：依题意得：
A?x?2?x?4,B?xx?1或x??3，

???? ??
??
??
A?B?
?
x1?x?4
?

（1）当
a?0时，C??
，
符合C?A?B
；
（2） 当
a?0时，C?xa?x?2a
,
??
?
a?1
要使< br>C?A?B
，则
?
，解得：
1?a?2
；
2a?4
?
（3）当
a?0时，C?x2a?x?a
,
??
?a?0,C?(A?B)??
，
?a?0
不符合题设．
?
综合上述得：
1?a?2或a?0
．

18．已知集合A＝{(x, y)|y＝－x
2
＋mx－1},B＝{(x, y)|x＋y＝3, 0≤x≤3}，若A∩B中有且仅有一个元素，求
实数m的取值范围．
?
y＝－x
2
＋mx－1
解：由题意，
?
得
?
x＋y＝3(0≤x≤3)
x
2
－(m＋1)x＋4＝0在[0， 3]上有且仅有一解
①△＝0时方程有相等实根且在[0，3]上，即
8

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2
?
?
△＝(m＋1)－4×4＝0
?
m＋1
∴m＝3
0≤≤3
?
2
?
②△＞0时，只有一根在[0，3]上， 两根之积为4＞0，
10
则3
2
－(m＋1)×3＋4＜0，∴m＞
3

10
所以，m的取值范围是m＝3或m＞
3
．
9