2020届高中数学：集合与常用逻辑用语单元测试卷

2020届高中数学：集合与常用逻辑
用语单元测试卷
一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共
60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．(2017·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜
－2或x＞2}，则?
U
A＝ ( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解：由已知可得，集合A的补集?
U
A＝[－2，2]．故
选C.
2．(2017·浙江)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝
{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝ ( )
A．(－1，2) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(1，2)
解：根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1，
2)．故选A.
3．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B
＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x ∈Z}，则A∪B＝ ( )
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}
解：集合B＝{x|－1 ＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，而
A＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}．故选C .
4．命题“?m∈[0，1]，使得x＋
1
x
＜2
m
” 的否定
形式是 ( )
A．?m∈[0，1]，总有x＋
1
x
＜2
m

B．?m∈[0，1]，使得x＋
1
x
≥2
m

C ．?m∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，使得x＋
1
x
≥2
m

D．?m∈[0，1]，总有x＋
1
x
≥2
m

解：特称命题的否定是全称命题．故选D.
5．已知全集U＝R，集合A＝
?
?
4
?
?
y|y＝
x
，x＞0
?
?，B
＝{y|y＝2
x
，x＜1}，则A∩(?
R
B)＝ ( )
A．(0，2) B．[2，＋∞)
C．(－∞，0] D．(2，＋∞)
解：因为集合A＝
?
?
?
y|y＝
4
?
x
，x＞0
?
?
＝(0，＋∞)，B
＝{y|y＝2
x
，x＜1}＝(0，2)，所以?< br>R
B＝(－∞，0]∪[2，
＋∞)，所以A∩(?
R
B)＝[2，＋ ∞)．故选B.
6．已知p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们构
成的新命题“ p∧q”“p∨q”“ p”中，真命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：因为空集是任何集合的子集，{1}?{1，2}，
所以p真q假．所以“p∨ q”为真，“p∧q”“ p”
为假．故选B.
7．已知集合A＝
?
?< br>?
x|x∈Z且
3
?
2－x
∈Z
?
?
，则集合A
中的元素个数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解：因为
3
2－x
∈Z且x∈Z，所以2－x的取值有
－3，－1，1，3，x的值分别为5，3 ，1，－1，故集
合A中的元素个数为4.故选C.
8．设a，b为正数，则“a－b>1” 是“a
2
－b
2
>1”
的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：a－b>1，即a>b＋1.因为a，b为正数，所以
a
2
>(b＋1)
2
＝b
2
＋1＋2b>b
2< br>＋1，即a
2
－b
2
>1成立．反
之，当a＝3，b＝1时， 满足a
2
－b
2
>1，但a－b>1
不成立．所以“a－b>1”是 “a
2
－b
2
>1”的充分不必
要条件．故选A.
9．下列命题中：
①“?x
0
∈R，x
2
0
－x
0
＋1≤0”的否定；
②“若x
2
＋x－6≥0，则x>2”的否命题；
③命题“若x
2
－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题．
其中真命题的个数是 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：只有③不正确．故选C.
10．(2 017·浙江)已知等差数列{a
n
}的公差为d，
前n项和为S
n
，则“d>0”是“S
4
＋S
6
>2S
5
”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：S
4
＋S
6
－2S
5
＝a
5
＋a
6
－2a
5
＝d，所以为充要条< br>件．故选C.
11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第
一～六名)，记“甲得 第一名”为p，“乙得第二名”
为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q

是假命题，( q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为
( )
A．甲第一、乙第二、丙第三
B．甲第二、乙第一、丙第三
C．甲第一、乙第三、丙第二
D．甲第一、乙没得第二名、丙第三
解：( q)∧r是真命题意味着 q为真，q为假(乙
没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题 ，
由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是
假命题相吻合；由于还有其他三名队 员参赛，只能肯
定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.
12．已知f(x)＝ln( x
2
＋1)，g(x)＝
?
1
?
2
?
x< br>?
－m，若对
?x
1
∈[0，3]，?x
2
∈[1， 2]，使得f(x
1
)≥g(x
2
)，则实
数m的取值范围是 ( )
A.
?
1
?
4
，＋∞
?
?
B.
?
1
?
－∞，
4
?
?

C.
?
1
?
2
，＋∞
?
?
D.
?
?
－∞，－
1
2
?
?

解 ：当x∈[0，3]时，f(x)
min
＝f(0)＝0，当x∈[1，
2]时，g( x)
1
min
＝g(2)＝
4
－m，由f(x)
min≥g(x)
min
，得0
≥
1
4
－m，所以m≥
1
4
.故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20
分．
13．命题“?x∈[0，＋ ∞)，x
3
＋x≥0”的否定是
________．
解：把全称量词“?” 改为存在量词“?”，并把
结论加以否定．故填?x
0
∈[0，＋∞)，x
3
0
＋x
0
＜0.
14．已知集合A＝{－1，2，3，6}，B＝ {x|－2则A∩B子集的个数为________．
解：由交集的定义可得A ∩B＝{－1，2}．因此
A∩B的子集为?，{－1}，{2}，{－1，2}．故填4.
15．已知集合A＝{1，a，5}，B＝{2，a
2
＋1}．若
A∩B中有且只有一 个元素，则实数a的值为
________．
解：若a
2
＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}；
若a
2
＋1＝5，则a＝±2，当a＝2时，A∩B＝{2，
5}，不合题意，舍去；当a＝－2时，A∩B ＝{5}；
若a
2
＋1＝a，则a
2
－a＋1＝0无解．
所以a＝0或a＝－2.故填0或－2.
16．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定
义集合A⊕B为阴影部分所表示的集合．若A＝{x|0≤
x≤2}，B＝{y|y＝3
x
，x>0}，则A⊕B＝________.

解：依据定义，A⊕B就是将A ∪B除去A∩B后
剩余的元素所构成的集合．B＝{y|y>1}，所以A∪B＝
[0，＋∞) ，A∩B＝(1，2]，依据定义得A⊕B＝{x|0≤x≤1
或x>2}．故填{x|0≤x≤1或x >2}．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
17．(10分)已知R为全集，A＝{x|log
1
(3－x)≥－
22}，B＝
?
?
5
?
x
?
?
?
x＋2
≥1
?
?
.
(1)求A∩B；
(2)求(?
R
A)∩B与(?
R
A)∪B.
解：(1) 由log
?
?
3－x＞0，
1
(3－x)≥log
1
4，得
?
22
?
?
3－x≤4.

即A＝{x|－1≤x<3}．
由
5
x－3
x＋2
≥1，得
x＋2
≤0，
即B＝{x|－2所以A∩B＝{x|－1≤x<3}．
(2)因为?
R
A＝{x|x<－1或x≥3}，
故(?
R
A)∩B＝{x|－2R
A)∪B
＝R.
1 8．(12分)已知集合A＝{x|x
2
－3x＋2＝0}，B＝
{x|x
2
－ax＋a－1＝0}，若A∪B＝A，求a的值．
解：A＝{1，2}，因为A∪B＝A， 所以B?A，B
＝{x|[x－(a－1)](x－1)＝0}，所以a－1＝1或2，即a
＝ 2或3.
19．(12分)已知集合A＝{x||x－a|≤2}，B＝{x|lg(x
2< br>＋6x＋9)>0}．
(1)求集合A和?
R
B；
(2)若A?B，求实数a的取值范围．
解：(1)因为|x－a|≤2?－2≤x－a≤2?a－
2≤x≤a＋2，
所以集合A＝{x|a－2≤x≤a＋2}．
因为lg(x
2
＋6x＋9)>0，所以x
2
＋6x＋9>1，
所以x＜－4或x＞－2.
所以集合B＝{x|x<－4或x>－2}．
所以?
R
B＝[－4，－2]．
(2)由A?B，得2＋a<－4或－2

解得a<－6或a>0.
所以a的取值范围为{a|a<－6或a>0}．
20．(12分)已知集合A＝{x|x< br>2
－2x－3≤0，x∈R}，
B＝{x|x
2
－2mx＋m
2
－4≤0，x∈R}．
(1)若A∩B＝[1，3]，求实数m的值；
(2)若A??
R
B，求实数m的取值范围．
解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
?
?
m－2＝1，
(1)因为A∩B＝[1，3]，所以
?
得m＝
?
m＋2≥3，
?
由此可知x
1
<0，x
2
>0.
(1)当a>0时，A＝{x|x1
}∪{x|x>x
2
}．
11
A∩B≠?的充要条件是x
2
<3，即＋2＋
2
<3，
aa
6
解得a>.
7
(2)当a<0时，A＝{x|x
1
2
}． < br>1
A∩B≠?的充要条件是x
2
>1，即＋
a
解得a<－2.
综上，使A∩B≠?成立的a的取值范围为(－∞，
1
2＋
2
>1，
a
3.
(2)?
R
B＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}，
因为A??
R
B，所以m－2＞3或m＋2＜－1，
解得m＞5或m＜－3.
所以实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
21．(12分)已知p：x
2
≤5x－4，q：x
2
－(a＋2)x＋2a≤0.
(1)求p中对应x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解：(1)因为x
2
≤5x－4，所以x
2
－5x＋4≤0，
即(x－1)(x－4)≤0，所以1≤x≤4，即p中对应x
的取值范围为[1，4]．
(2)设p对应的集合为A＝{x|1≤x≤4}．
由x
2
－(a＋2)x＋2a≤0，得(x－2)(x－a)≤0.
当a＝2时，不等式的解为x＝2，对应的解集为B
＝{2}；
当a>2时，不等式的解为2≤x≤a，对应的解集
为B＝{x|2≤x≤a}；
当a<2时，不等式的解为a≤x≤2，对应的解集
为B＝{x|a≤x≤2}；
若p是q的必要不充分条件，则BA，
当a＝2时，满足条件；
当a>2时，因为 A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2≤x≤a}，
要使BA，则满足2当a< 2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a≤x≤2}，
要使BA，则满足1≤a<2.
综上，实数a的取值范围为{a|1≤a≤4}．
22．(12分)设a∈R，二次函数f( x)＝ax
2
－2x－2a.
若f(x)>0的解集为A，B＝{x|1数a的取值范围．
解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解 得其
两根为x
1111
1
＝
a
－2＋
a
2
，x
2
＝
a
＋2＋
a
2
.
－2 )∪
?
6
?
7
，＋∞
?
?
.

2020届高中数学
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