高中数学老师校本研修计划-高中数学螺母题
第一章第一节集合第二课时
整体设计
教学分析
课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小
关系引
入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本
注重体现逻辑思考的
方法，如类比等．
值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生
通过
体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生
区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与?的区别．
三维目标
1．理解集合之
间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关
系，提高利用类比发现新结论的能
力．
2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生
从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．
重点难点
教学重点：理解集合间包含与相等的含义．
教学难点：理解空集的含义．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.实数有相等、大
小关系，如5＝5,5<7,5>3等等，类比实数之间的关系，你会想
到集合之间有什么关系呢？(让
学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)
欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．
思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)2
____Q；(3)－1.5____R.
类比实数的大小关系，如5<7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
(答案：(1)∈；(2)?；(3)∈)
推进新课
新知探究
提出问题
(1)观察下面几个例子：
①A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集
合；
③设
C
＝{
x
|
x
是两条边相等的三角形}，D
＝{
x
|
x
是等腰三角形}；
④
E
＝{2,4,6}，
F
＝{6,4,2}．
你能发现两个集合间有什么关系吗？
(2)例子①中集合
A
是集合
B
的子集，例子④中集合
E
是集合
F
的子集，同样是子集，
有什么区别？
(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若
a
≤
b
，且
b
≤
a
，则
a
＝
b
”，在集合中，你
发现了什么结论？
(4)升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，
从楼顶向下看，
每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合
，
联想集合还能用什么表示？
(5)试用Venn图表示例子①中集合
A
和集合
B
.
(
6)已知
A
?
B
，试用Venn图表示集合
A
和
B
的关系．
2
(7)任何方程的解都能组成集合，那么
x
＋1＝0的
实数根也能组成集合，你能用Venn
图表示这个集合吗？
(8)
一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元
素，应该如何命名呢？
(9)与实数中的结论“若
a
≥
b
，且
b
≥
c
，则
a
≥
c
”相类比，在集合中，你能得出什么
结论？
活动：教师从以下方面引导学生：
(1)观察两个集合间元素的特点．
(2)从它
们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果
A
?
B
，但存在
x
∈
B
，且
x
?
A
，我们
称集合
A
是集合
B
的真子集，记作
AB
(或
BA
)．
(3)实数中的“≤”类比集合中的?.
(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看
成集合中的元素，从楼顶看到的就是
把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间
的关系，我们常用平面
上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．
(6)分类讨论：当
A<
br>?
B
时，
AB
或
A
＝
B
.
2
(7)方程
x
＋1＝0没有实数解．
(8)空集记为?，并规定
：空集是任何集合的子集，即??
A
；空集是任何非空集合的真子
集，即?
A
(
A
≠?)．
(9)类比子集．
讨论结果：(1)①集合
A
中的元素都在集合
B
中；②集合
A
中的元素都在集合
B
中；③
集合
C
中的元素都在集合
D
中；④集合
E<
br>中的元素都在集合
F
中．可以发现：对于任意两个
集合
A
，<
br>B
有下列关系：集合
A
中的元素都在集合
B
中；或集合
B
中的元素都在集合
A
中．
(2)例子①中
A
?
B
，但有一个元素4∈
B
，且4?
A
；而例子④中集合
E
和集合
F
中的元素
完全相同．
(3)若
A
?B
，且
B
?
A
，则
A
＝
B
.
(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．
(5)如图1所示表示集合
A
，如图2所示表示集合
B
.
图1 图2
(6)如图3和图4所示．
图3 图4
2
(7)不能．因为方程
x
＋1＝0没有实数解．
(8)空集．
(9)若
A
?
B
，
B
?
C
，则<
br>A
?
C
；若
AB
，
BC
，则
AC<
br>.
应用示例
思路1
例1 某工厂生产的产
品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用
A
表示合格产
品的集合，
B
表示重量合格的产品的集合，
C
表示长度合格的产品的集合．已知集合
A，
B
，
C
均不是空集．
(1)则下列包含关系哪些成立？ <
br>A
?
B
，
B
?
A
，
A
?<
br>C
，
C
?
A
.
(2)试用Venn图表示集合A
，
B
，
C
间的关系．
活动：学生思考集合间的关系
以及Venn图的表示形式．当集合
A
中的元素都属于集合
B
时，则
A
?
B
成立，否则
A
?
B
不成立．用相同的方法判
断其他包含关系是否成立．教师提
示学生注意以下两点：
(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；
长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．
(2)根据集合
A
，
B
，
C
间的关系来画出Venn图．
解：(1)包含关
系成立的有：
A
?
B
，
A
?
C
.
(2)集合
A
，
B
，
C
间的关系用Venn图表示，如图
5所示．
图5
变式训练
课本本节练习，3.
点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．
判断
两个集合
A
，
B
之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合
A
，
B
中的元素，再分析
集合
A
，
B
中的元素之间
的关系，得：集合
A
中的元素都属于集合
B
时，有
A
?B
；当集合
A
中的元素都属于集合
B
，集合
B
中至少有一个元素不属于集合
A
时，有
AB
；当集合
A
中的
元素都属于集合
B
，并且集合
B
中的元素也都属于集合
A<
br>时，有
A
＝
B
；当集合
A
中至少有一
个元素
不属于集合
B
，并且集合
B
中至少有一个元素也不属于集合
A
时，有
AB
，且
BA
，
即集合
A
，
B<
br>互不包含.
例2
写出集合{
a
，
b
}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
活动
：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合
不是其本身的真子集．
按集合{
a
，
b
}的子集所含元素的个数分类讨论．
解：集合{<
br>a
，
b
}的所有子集为?，{
a
}，{
b
}
，{
a
，
b
}．真子集为?，{
a
}，{
b
}.
变式训练
已知集合
P
＝{1,2}，那么满足
Q
?
P
的集合
Q
的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
2
解析：集合
P
＝{1,2}含有2个元素，其
子集有2＝4个，又集合
Q
?
P
，所以集合
Q
有4个．
答案：A
点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子
集中所含
元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．
思考：集合A
中含有
n
个元素，那么集合
A
有多少个子集？多少个真子集？
0
解：当
n
＝0时，即空集的子集为?，即子集的个数是1＝2；当
n
＝1时，即含有一个元素
1
的集合如{
a
}的子集为?，{
a
}，即子集的个数是2＝2；当
n
＝2时，即含有一个元素的集
2
合如{
a
，
b
}的子集为?，{
a
}，{
b}，{
a
，
b
}，即子集的个数是4＝2.…
n
集合
A
中含有
n
个元素，那么集合
A
有2个子集，由于一个
集合不是其本身的真子集，
n
所以集合
A
有(2－1)个真子集.
思路2
2
例1 已知集合
A
＝{－1,3,2
m
－1}，集合
B
＝{3，
m
}．若
B
?
A
，则实数
m
＝________.
活动：先让学生思考
B
?
A
的含义，根据
B
?
A
，知集合
B
中的元素都属
于集合
A
，由集
22
合元素的互异性，列出方程求实数
m
的
值．因为
B
?
A
，所以3∈
A
，
m
∈A
.对
m
的值分类讨
论．
222
解析：∵
B
?
A
，∴3∈
A
，
m
∈
A
.∴<
br>m
＝－1(舍去)或
m
＝2
m
－1.解得
m
＝1.∴
m
＝1.
答案：1
2
点评：本题主要考查集合和子集的
概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现
m
＝3，
其原因是忽视了集合元素的互异
性．避免此类错误的方法是解得
m
的值后，再代入验证．
讨论两集合之间的关系时，
通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为
解方程或解不等式.
变式训练 <
br>已知集合
M
＝{
x
|2－
x
<0}，集合
N
＝{
x
|
ax
＝1}，若
NM
，求实数
a
的取值范围．
分析：集合
N
是关于
x<
br>的方程
ax
＝1的解集，集合
M
＝{
x
|
x
>2}≠?，由于
NM
，则
N
＝?
或
N
≠
?，要对集合
N
是否为空集分类讨论．
解：由题意得
M
＝
{
x
|
x
>2}≠?，则
N
＝?或
N
≠?
.当
N
＝?时，关于
x
的方程
ax
＝1无解，
11
则有
a
＝0；当
N
≠?时，关于
x
的方程
ax
＝1有解，则
a
≠0，此时
x
＝，又∵
NM
，
∴
aa
111
∈
M
.∴>2.∴0<
a
<.综上所
得，实数
a
的取值范围是
a
＝0或0<
a
<，即实数
a
的取值范围是
a
22
1
{
a
|0≤
a
<}.
2
例2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数：?，{
a
}，{
a
，
b
}，{
a
，
b
，
c
}．
(2)由(1)你发现集合
M
中含有
n
个元素，则
集合
M
有多少个子集？
活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集
中所含元素的个数分类写出
子集；(2)由(1)总结当
n
＝0，
n
＝1，
n
＝2，
n
＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．
解：(1)?的子集有：?，即?有1个子集；
{
a
}的子集有：?，{<
br>a
}，即{
a
}有2个子集；
{
a
，
b<
br>}的子集有：?，{
a
}，{
b
}，{
a
，
b
}，即{
a
，
b
}有4个子集；
{
a
，
b
，
c
}的子集有：?，{
a
}，{
b
}，{
c
}，{
a
，
b
}，{
a
，
c
}，{
b
，
c
}，{
a
，
b
，
c
}，即{
a
，
b
，
c
}有8个子集．
0
(2)由(1)可得：当
n
＝0时，有1＝2个子集；
1
当
n
＝1时，集合
M
有2＝2个子集；
2
当
n
＝2时，集合
M
有4＝2个子集；
3
当
n
＝3时，集合
M
有8＝2个子集；
n
因此含有
n
个元素的集合
M
有2个子集.
变式训练
已知集合
A
，且
A
中至多有一个奇数，则这样的
集合
A
有……( )
A．3个 B．4个 C．5个
D．6个
解析：对集合
A
所含元素的个数分类讨论．
A
＝?或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．
答案：D
点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合
M
中含
有
n
个元
nn
素，则集合
M
有2个子集，有2－1个真子集
，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个
集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗
漏现象.
知能训练
课本本节练习，1,2.
【补充练习】
课堂小结
本节课学习了：
①子集、真子集、空集、Venn图等概念；
②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；
③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．
作业
课本习题1.1，A组，5.
设计感想
本节教学设计注重引导
学生通过类比来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思
考时间，使学生自己通过类比得到正确结
论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是
高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不
能仅限于对概念、结论和技能的记忆、
模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成
为学生学习数学的重要方
式．
备课资料
[备选例题]
【例1】 下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、
正方形这五种
几何图形之间的关系，问集合
A
，
B
，
C，
D
，
E
分别是哪种图形的集合？
图6
思路分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来
确定．
解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故
A
＝{四边形}；梯形不是平行
四
边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故
B
＝{梯形}，
C
＝{平行四边形}；
正方形是菱形，故
D
＝{菱形}，
E
＝
{正方形}，即
A
＝{四边形}，
B
＝{梯形}，
C
＝{平
行四边
形}，
D
＝{菱形}，
E
＝{正方形}．
2
【例2】 设集合
A
＝{
x
||
x
|－
3|
x
|＋2＝0}，
B
＝{
x
|(
a
－
2)
x
＝2}，则满足
BA
的
a
的
值共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：由已知得
A
＝{
x
||
x
|＝1或|
x
|＝2}＝
{－2，－1,1,2}，集合
B
是关于
x
的方程(
a
－2
)
x
＝2的解集，∵
BA
，∴
B
＝?或
B
≠?.当
B
＝?时，关于
x
的方程(
a
－2)
x<
br>＝2无解，∴
a
222
－2＝0.∴
a
＝2.当
B<
br>≠?时，关于
x
的方程(
a
－2)
x
＝2的解
x
＝∈
A
，∴＝－2或
a
－2
a
－2
a
－2
22
＝－1或＝1或＝2.解得
a
＝1或0或4或3，综上所得
，
a
的值共有5个．
a
－2
a
－2
答案：D
【例3】 集合
A
＝{
x
|0≤
x
<3且
x
∈N}的真子集的个数是( )
．．．
A．16 B．8
C．7 D．4
3
解析：
A
＝{
x
|0
≤
x
<3且
x
∈N}＝{0,1,2}，则
A
的真子集有2
－1＝7个．
答案：C
【例4】 已知集合
A
＝{
x
|
1≤
x
≤3}，
B
＝{
x
|(
x
－1)(
x
－
a
)＝0}，试判断集合
B
是不是
集合
A
的子集？是否存在实数
a
使
A
＝
B
成立？ <
br>思路分析：先在数轴上表示集合
A
，然后化简集合
B
，由集合元素的互
异性，可知此时
应考虑
a
的取值是否为1，要使集合
B
成为集合A
的子集，集合
B
的元素在数轴上的对应点
必须在集合
A
对应的线段上，从而确定字母
a
的分类标准．
解：当
a
＝1时，
B
＝{1}，所以
B
是
A
的子集；当1<
a
≤3时，
B
也是
A
的子集；当
a
<1，
或
a
>3时，
B
不是
A
的子集．综上可知，当1≤
a
≤3时，
B
是
A
的子集．
由于集合
B
最多只有
两个元素，而集合
A
有无数个元素，故不存在实数
a
，使
B
＝
A
.
点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整
体解决(即
先化整为零，再聚零为整)的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探<
br>索划分的数量界限是分类讨论的关键．
[思考]
(1)空集中没有元素，怎么还是集合？(2)符号“∈”和“?”有什么区别？
剖析：(1
)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法．产生这种想法的
原因是没有了解建立空集这
个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如，根据集合
1
2
元素的性质，方程
的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集．对于＝0，
x
＋4＝0等方
x
程来说，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学
符
号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空
集．这就是建立空集
这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式
|
x
|<0的解
集也是不含任何元素，就称不等式|
x
|<0的解集是空集．
(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用
范围，并加
以对比．符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写
1
集合，说明左
边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，?Z；符
2
号?只能适用
于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的
子集，表示集合与集合之间
的关系，如{1}?{1,0}，??{
x
|
x
<0}．