高中数学：第一章1.1.3集合的基本运算 (2)

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集 合

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1．1.3 集合的基本运算
第一课时 并集与交集

预习课本P8～10，思考并完成以下问题
(1)两个集合的并集与交集的含义是什么？它们具有哪些性质？


(2)怎样用Venn图表示集合的并集和交集？




[新知初探]

1．并集和交集的概念及其表示
类别
概念
自然语言 符号语言 图形语言
由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成
并集 的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读
作“A并B”)
A∪B＝
{x|x∈A，或
x∈B}

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的
交集 集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A
交B”)

[点睛] (1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
A∩B＝
{x|x∈A，且
x∈B}

(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B< br>可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
2．并集与交集的运算性质
并集的运算性质
A∪B＝B∪A
交集的运算性质
A∩B＝B∩A

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A∪A＝A
A∪?＝A
A?B?A∪B＝B

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)并集定义中的“或”就是“和”．( )
A∩A＝A
A∩?＝?
A?B?A∩B＝A
(2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成．( )
(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于( )
A．{0,1}
C．{0,1,2}
答案：D
3．若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3答案：A
4．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是________．
答案：2
B．{x|－5 D．{x|－5 B．{－1,0,1}
D．{－1,0,1,2}
并集的运算

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[例1] (1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )
A．{1,2,3,4}
C．{2,3,4}
B．{1,2,3}
D．{1,3,4}
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2A．{x|x>－2}
C．{x|－2B．{x|x>－1}
D．{x|－1[解析] (1)由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

[答案] (1)A (2)A


求集合并集的2种基本方法

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(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法
求解．

[活学活用]
1．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
C．{x|－3 B．{x|－5 D．{x|x<－3或x>5}
解析：选A 将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，

可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
2．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝___________ _____.
解析：A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．
答案：{0,1,2,3,4,5}
交集的运算

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[例2] (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
B．{x|1≤x≤2}
D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6 ,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数
为( )
A．5
C．3
B．4
D．2
[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．

则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n ∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元
素只有8和14.故选D.
[答案] (1)A (2)D

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1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：(1)定义法，(2)数形结合法．
2 ．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式
时，含有端点的值用 实点表示，不含有端点的值用空心点表示．

[活学活用]
3．(2 017·北京高考)若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝( )
A．{x|－2C．{x|－1B．{x|－2D．{x|1解析：选A 由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－24．若集合A＝{x|2x＋1>0}，B ＝{x|－1________.
?
1
?
x>－
?
，B＝{x|－1解析：∵A＝
?
x
?
2
?
??


画数轴如图：
??
1
－
?
.
∴A∩B＝
?
x
?
?
2
??
??
1
－?
答案：
?
x
?
?
2
??


由集合的并集、交集求参数

题点一：由并集、交集求参数的值
1．已知 M＝{1,2，a
2
－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．

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解：∵M∩N＝{3}，∴3∈M；
∴a
2
－3a－1＝3，即a
2
－3a－4＝0，
解得a＝－1或4.
但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．
∴a＝4.
题点二：由并集、交集的定义求参数的范围
2．设集合A＝{x|－1求a的取值范围．
解：如图所示，
由A∪B＝{x|－1题点三：由交集、并集的性质求参数的范围
3．已知集合A＝{x|－3∪B＝A，试求k的取值范围．
解：∵A∪B＝A，∴B?A，
①当B＝?时，k＋1>2k－1，∴k<2.

②当B≠?，则根据题意如图所示：
k＋1≤2k－1，
?
?
根据 数轴可得
?
－3?
?
2k－1≤4，
5
解得2≤k≤
.
2
?
5
?
k≤
?
. < br>综合①②可得k的取值范围为
?
k
?
?
2
??



4．把3题中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取
值范围．

解：∵A∩B＝A，∴A?B.
又A＝{x|－3

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由数轴
?
?
k＋1≤－3，
可知
?
解得k∈?，
?
?
2k－1≥4，
即当A∩B＝A时，k不存在．

由集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：当题目中含有条件A∩B＝A，A ∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义
及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化如：A∩B＝ A?A?B，A∪B＝B?A?B等．
此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然 后根据数轴列出关于参
数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．
(2)关注 点：当题目条件中出现B?A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝?的
情况．


层级一 学业水平达标

1．(2017·浙江高考)已知集合P＝ {x|－1A．(－1,2)
C．(－1,0)
B．(0,1)
D．(1,2)
解析：选A 根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．
2．若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝( )
A．{1,2} B．{0,1}

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C．{0,3} D．{3}
解析：选C 因为B＝{x|x＝3a，a∈A}＝{0,3,6,9}，所以A∩B＝{0,3}．
3．A＝{x ∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x
2
＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为
( )

A．{2}
C．{－3,2}
B．{3}
D．{－2,3}
解析：选A 注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3 ,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－
3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故 选A.
4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2}
C．{2,5}
B．{1,5}
D．{1,2,5}
解析：选D ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}．
∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2
C．a>－1
B．a>－2
D．－1解析：选C ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

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可知a>－1.
6．已知集合A＝{1,2 ,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，
∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，
∴A∪B中元素个数为5.
答案：5
7．若集合A＝{x|－1解析：借助数轴可知：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}．

答案：R {x|－1＜x≤1，或4≤x<5}

ruize < br>8．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a________．
解析：因为C∩A＝C，所以C?A.
①当C＝?时，满足C?A，此时－a≥a＋3，
解得a≤－
3
2
；
②当C≠?时，要使C?A，
?－a则有
?
，
?
－a≥1，
解得－
?
?
2
a＋3<5，

3
由①②，得a的取值范围为(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
9．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x
2
－3x＋m＝0}，
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N.
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
解：(1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x
2
－3x＋2＝0}＝{1,2} ，
则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M?N.∵M＝{2}，∴2∈N.
∴2是关于x的方程x
2
－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
10．已知集合A＝{x|－2(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
解：(1)∵A＝{x|－2又A∩B＝?，∴m≤－2.
(2)∵A＝{x|－2由A∩B＝A，得A?B，∴m≥4.
层级二 应试能力达标
1．设集合M＝{m∈Z|－3

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A．{0,1}
C．{0,1,2}
B．{－1,0,1}
D．{－1,0,1,2}
解析：选B 由题意，得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}． < br>2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( )
A．x＝3，y＝－1
C．{3，－1}
B．(3，－1)
D．{(3，－1)}
解析：选D 集合M，N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素 也是点，
??
?
x＋y＝2，
?
x＝3，
解
?得
?

??
?
x－y＝4，
?
y＝－1.3．下列四个命题：①a∈(A∪B)?a∈A；②a∈(A∩B)?a∈(A∪B)；③A?B?A∪B< br>＝B；④A∪B＝A?A∩B＝B.其中正确的个数是( )
A．1
C．3
B．2
D．4

解析：选C a∈(A∪B)?a∈A或a∈B，所以①错，由交集、并集的定义，易知②③
④正确．
4． 已知M＝{x|y＝x
2
－1}，N＝{y|y＝x
2
－1}，那么M∩N等 于( )
A．{y|y＝－1或0}
C．{(0，－1)，(1,0)}
B．{x|x＝0或1}
D．{y|y≥－1}
解析：选D M＝{x|y＝x
2
－1}＝R，N＝{y|y＝x
2
－1}＝{y|y≥－1}，故M∩N＝{y| y≥－
1}．
5．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a
2
}．若A∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
解析：∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a
2
}，
A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴a＝4，a
2
＝16或a＝16，a
2
＝4(舍去)，
解得a＝4.
答案：4
6．已知A＝{x|a5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为
________．
解析：由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，

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?
?
a<－1，
则
?
解得－3≤a<－1.
?
?
a＋8≥5，
答案：－3≤a<－1
7．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．
解：∵A∪B＝A，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
?
1
?
当B≠ ?时，此时a≠0，则B＝
?
－
a
?
，
??

111
∴－
a
∈A，即有－
a
＝－2，得a＝
.
2
1
综上，a＝0或a＝
.
2

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8．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．
(1)当a＝10时，求A∩B，A∪B；
(2)求能使A?(A∩B)成立的a的取值范围．
解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}．
又B＝{x|3≤x≤22}，
所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}．
(2)由A?(A∩B)，可知A?B，
又因为A为非空集合，
2a＋1≥3，< br>?
?
所以
?
3a－5≤22，
?
?
2a＋1 ≤3a－5，



解得6≤a≤9.