苏教版高中数学必修1第1章 集合集合的含义及其表示教案

苏教版高中数学必修1第1章 集合集合的含义及其表示
（一）教学目标
1．知识与技能

（1）初步理解集 合的含义，知道常用数集及其记法．
（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.
（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.
2．过程与方法< br>（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，
正确地理解 集合．
（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集
合语 言在描述客观现实和数学对象中的意义．
（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定 性、互异性）．
（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.
3．情感、态度与价值观
（1）了解集合的含义，体 会元素与集合的“属于”关系．
（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培 养学生实事
求是、扎实严谨的科学态度．
（二）教学重点、难点

重点是集合 的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质
描述法正确地表示一些简单集合.
（三）教学方法

尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理 解集合的概念，
分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加< br>深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.
教学环节
提出
问题

教学内容 师生互动 设计意图
一个百货商店，第一批进货是帽子、皮 学生回答（不能，应为7种），设疑激趣，
鞋、 热水瓶、闹钟共计4个品种，第二然后教师和学生共同分析原因：由
批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶 杯、于两次进货共同的品种有两种，故导入课

闹钟共计5个品种，问一共进了多少品应为 4 +5 – 2 = 7种．从而指出：题．

种的货?能否回答一共进了4 + 5 = 9种 ??这好像涉及了另一种新的
呢？ 运算．??
引导学生回顾，初中代数中 不
等式的解法一节中提到的有关知
识：
复习①初中代数中涉及“集合”的提法．
一般地，一个含有未知数的不
通过复
习回顾，引
等式的所有解，组成这个不等式的
引入 ②初中几何中涉及“集合”的提法．
解的集合，简称为这个不等式的解
概念．
集．
出集合的
几何中，圆的概念是用集合描
述的．
第一组 实例（幻灯片一）：通过实例，
引导学生
经历并体
教师提问：①以上各例（构成会集合 （描
集合）有什么特点?请大家讨论．
（1）“小于l0”的自然数0，1，2，
3，??，9．
（2）满足3x – 2 ＞x + 3的全体实
数．
（3）所有直角三角形．学生讨论交流，得出集合概念述性）概念< br>（4）到两定点距离的和等于两定的要点，然后教师肯定或补充．
点间的距离的点．
概念
②我们能否给出集合一个大形成的过
（5）高一（1）班全体同学．
形成
体 描述???学生思考后回答，然程，引导学
（6）参与中国加入WTO谈判的中后教师总结．
方 成员．③上述六个例子中集合的元生进一步
1．集合：素各是什么?明确集合
一般地，把一些能 够确定的不同的 ④请同学们自己举一些集合及集合元
对象看成一个整体，就说这个整体是由的例子．
这些对象 的全体构成的集合（或集）．
2．集合的元素（或成员）：
素的概念，
会用自然
语言描述
集合． 即构成集合的每个对象（或成员），

第二组实例（幻灯片二）：
（1）参加亚特兰大奥运会的所有 教师要求 学生看第二组实例，
中国代表团的成员构成的集合．并提问：①你能指出各个集合的元
概念深化
引入集合
集合．之间是什么关系？③例（2）中数0，
语言描述
（ 3）平行四边形的全体构成的集
–2是这个集合的元素吗?
集合．
合． 学生讨论交流，弄清元素与集
（2）方程x
2
= 1的解的全体构成的素吗？②各个 集合的元素与集合
（4）平面上与一定点O的距离等合之间是从属关系，即“属于”或
于r的点 的全体构成的集合．“不属于”关系．
3．元素与集合的关系：

教学环节 教学内容
集合通常用英语大写字母A、B、C?
表示，它们的元素通常用英语小写字母
师生互动 设计意图
教师提问：“我们班中高个
a、b、c?表示．
子的同学”、“年轻人”、 “接
如果a是集合A的元素，就说a属于A，
近数0的数”能否分别组成一个
集合，为 什么？
通过讨
论，使学生
记作a∈A，读作“a属于A”．明确集合
学生分组 讨论、交流，并在
元素所具
教师的引导下明确：
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于有的性质，
给定一个集合，任何一个对
A，记作a
?
A，读作“a 不属于A”．
4．集合的元素的基本性质；
从而进一
象是不是这个集合的元素也就步准确理
确定了．另外，集合的元素一定
解集合的
是互异的．相同的对象归于同一
概念．
个集合时只能算作集合的一个
元素．

（1）确定性：集合 的元素必须是确
定的．不能确定的对象不能构成集合．
（2）互异性：集合的元素一定是互念异的．相同的几个对象归于同一个集合通过观
察实例，发
教师要求学生观察第三组
现集合的
实例，并提问：它们各有元素多
深化 时只能算作一个元素．
第三组实例（ 幻灯片三）：
22
元素个数
少个?
（1）由x，3x + 1，2x – x + 5三个
式子构成的集合．
具有不同
学生通过观察思考并回答
问题．
的类别，从
而使学生
然后，依据元素个数的 多少
感受到有
将集合分类．
限集、无限
让学生指出第三组实例中，
集、空集存
哪些是有限集？哪些是无限
在的客观
集？??
意义．
请同学们熟记上述符号及
其意义．
（2）平面上与一个定点O的距离等
于1的点的全 体构成的集合．
2
（3）方程x = – 1的全体实数解构成
的集合．
5．空集：不含任何元素的集合，记
作
?
．
6．集合的分类：按所含元素的个 数
分为有限集和无限集．

7．常用的数集及其记号（幻灯片
四）． N：非负整数集（或自然数集）．
N*或N
+
：正整数集（或自然数集 去
掉0）．
Z：整数集．
Q：有理数集．
R：实数集．


教学环节 教学内容
列举法：
应用
举例
定义：把集合的元素一一列举出
师生互动
师生合作应用定义表示集合.
例1 解答：（1）设小于10的


设计意图
来，并用花括号“{}”括起来表示集所有自然数组成的集合为A，那么
合的方法叫做列举法. A = {0，1，2，3，4，5，6，7，

例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的
集合；
8，9}.
由于元素完全相同的两个集
合相等，而与列举的顺序无关，因
（2）方程x
2
= x的所有实数根组成此集合A可以有不同的列举法. 例
的集合；
（3）由1～20以内的所有质数组
成的集合.
描述法：
如：
A = {9，8，7，6，5，4，3，2，
1，0}.
（2）设方程x
2
= x 的所有实
定义：用集合所含元素的共同特数根组成的集合为B，那么B = {0，
征表示集合的方法称为描述法. 具体
1}.
方法是：在花括号内先写上表示 这个（3）设由1～20以内的所有质
集合元素的一般符号及取值（或变化）数组成的集合为C，那么
范围，再画一条竖线，在竖线后写出
这个集合中元素所具有的共同特征.
例2 试分别用列举法和描述法
表示下列集合：
C = {2，3，5，7，11，13，
17，19}.
例2 解答：（1）设方程x
2
– 2 =
0的实数根为 x，并且满足条件x
2
–
（1）方程x
2
–2 = 0的所有实数根2 = 0，因此，用描述法表示为
组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数
组成的集合.
A = {x∈R| x
2
–2 = 0}.
方程x
2
–2 = 0有两个实数根
2
，
?2
，因此，用列举法表示
为
A = {
2
，
?2
}.
（2）设大于10小于20的整数
为 x，它满足条件x∈Z，且10＜x
＜20. 因此，用描述法表示为
B = {x∈Z | 10＜x＜20}.
大于10小于20的整数有11，
12，13，14，15，16，17 ，18，19，
因此，用列举法表示为

B = {11，12，13，14，15，16，
17，18，19}.

教学环节 教学内容
例3 已知由l，x，x
2
，三个实数构
成一个集合，求x应满足的条件．
解：根据集合元素的互异性，
?
x?1
?
得
?
x
2
?1

?
2
?
x?x
师生互动 设计意图


学生分析求解，教师板

书．
通过应


用，进一步
理解集合的
有关概念、
性质．
应用
所以x∈R且x≠±1，x≠0．
举例
例2 用∈、
?
填空．
①
?
Q；②
3
Z；
③
3
R；④0 N；
⑤0 N*；⑥0 Z．
例4 试选择适当的方法表示下列
集合：
（1）由方程x – 9 = 0的所有实数根
组成的集合；
2
课堂练习：教材第5页练习A1、2、3． 幻灯片五（练习答案），
反馈矫正．



生：独立完成；题：点评
说明.
例4 解答：（1）{3，–3}；

（2）{2，3，5，7}；
（3）{(1，4)}；

（2）由小于8的所有素数组成的集
合；
（3）一次函数y = x + 3与 y = –2x +
（4）{x| x＜2}.
6的图象的交点组成的集合；
（4）不等式4x – 5＜3的解集.
①请同学们回顾总结，本节课学过
的集合的概念等有关知识；
引导学生学
会自己总
归纳
总结
②通过回顾本节课的探索学习过 师生共同总结——交流结；让学
程，请同学们体会集合等有关知识是怎——完善．
样形成、发展和完善的．
③通过回顾学习过程比较列举法和
生进一步
（回顾）体
会知识的形

描述法. 归纳适用题型. 成、发展、
完善的过
程．
巩固深化；
课后
作业
1.1 第一课时习案 由学生独立完成．
预习下一节
内容，培养
自学能力．
备选例题
例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.
（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集； ②{1，–3，5，–7，?，–39，41}.
【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.
【解析】（1）①{1，3，5，15}
②{0，2，4，6，8，10}
（2）①{x | x = 2n，n∈N*}
②{x | x = (–1)
n–1
·(2n –1)，n∈N*且n≤21}.
【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于
集合中的元 素有有限个的情况.
（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集
或元素个数较多的有限集.
例2 用列举法把下列集合表示出来：
（1）A = {x∈N |
（2）B = {
9
∈N}；
9?x
9
∈N | x∈N }；
9?x
（3）C = { y = y = – x
2
+ 6，x∈N ，y∈N }；
（4）D = {(x，y) | y = –x
2
+6，x∈N }；
（5）E = {x |
p
= x，p + q = 5，p∈N ，q∈N*}.
q

【分析】先看五个集合 各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足条件
也是自然数；集合B中的元素是自然数
9
9?x
9
，它必须满足条件x也是自然数；集合C
9?x
中的元素 是自然数y，它实际上是二次函数y = – x
2
+ 6 (x∈N )的函数值；集合D中的元
素是点，这些点必须在二次函数y = – x
2
+ 6 (x∈N )的图象上；集合E中的元素是x，它
必须满足的条件是x =
p
，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*.
q
【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，
∴ A = {0，6，9}
（2）由（1）知，B = {1，3，9}.
（3）由y = – x
2
+ 6，x∈N，y∈N知y≤6.
∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2
∴ C = {2，5，6}.
符合题意.
9
=1，3，9也是自然数.
9?x
（4）点 {x，y}满足条件y = – x
2
+ 6，x∈N，y∈N，则有：
?
x?0,
?
x?1,
?
x?2,

???
y?6,y?5,y?2.
???
∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }
（5）依题意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，则
?
p?2,
?
p?3,
??
?
q?3,
?
q?2,
P
x 要满足条件x =，
q
?
p?0,
??
q?5,
?
p?1,
?
?
q?4,
?
p?4,

?
?
q?1.
∴E = {0，，，，4}.
【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合
什么条件，从而准确 理解集合的意义.
例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a
2
+ 1}，求a的值及对应的集合A.
–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a，再
代入A，求出集合A.
【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，
–1，1}
当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.
【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为 –3，以此展
14
2
3
3
2

开讨论，便可求得a.