高中文科数学一轮复习集合专题

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第一章 集合
第一节 集合的含义、表示及基本关系
A组
1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．
解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B
2．若?{x|x
2
≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，x
2
≤a有解，故a≥0.答案：a≥0
3．已知集合A ＝{y|y＝x
2
－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关 系是
________．
解析：y＝x
2
－2x－1＝(x－1)
2
－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.
答案：BA
4．(20XX年 高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x
2
＋ x
＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．

解析：由N={x|x
2
+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：② 5．(20XX年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命 题“x∈A”
是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴AB，∴a<5.
答案：a<5
6．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}， B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又
C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集 合？
解：∵m∈A，∴设m＝2a
1
，a
1
∈Z，又∵n∈B，∴ 设n＝2a
2
＋1，a
2
∈Z，∴m＋n＝2(a
1
＋a< br>2
)＋1，而a
1
＋a
2
∈Z，∴m＋n∈B.
B组
abab
1．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．
|a||b||ab|
解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；( 3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨
论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}
2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m
2
}．若B?A，则实数m＝ ________.
解析：∵B?A，显然m
2
≠－1且m
2
≠3 ，故m
2
＝2m－1，即(m－1)
2
＝0，∴m＝1.答案：
1
3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2, 5}，Q
＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．
解析：依次分别 取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P
＋Q＝{1,2,6 ,3,4,8,7,11}．答案：8
4．已知集合M＝{x|x
2
＝1}，集合N ＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．
1
解析：M＝{x|x＝1 或x＝－1}，NM，所以N＝?时，a＝0；当a≠0时，x＝＝1或－
a
1，∴a＝1或－ 1.答案：0,1，－1
5．满足{1}A?{1,2,3}的集合A的个数是________个．
解析：A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3
1 b1c1
6．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝ ＋，c∈Z}，则A、
62326

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B、C之间的关系是________．
解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C
7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的______ __．
解析：结合数轴若A?B?a≥4，故“A?B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：< br>必要不充分条件
8．(20XX年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2
n
，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和
为________．
解析：∵2
n
<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋2
2
＋…＋2
8
＝511.
答案：511
9．(20XX年高考北 京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?A，且k＋
1?A，那么称k是A的一 个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的
所有集合中，不 含“孤立元”的集合共有________个．
解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”，这三个元素一
定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6
10．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．
解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1 .
1
∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，}．
x
1
于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1.
x
11．已知集合A＝{x|x
2
－3x－10≤0}，
(1)若B?A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2)若A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
解：由A＝{x|x
2
－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，
(1)∵B?A，∴①若B＝?，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B?A.
m＋1 ≤2m－1，
?
?
②若B≠?，则
?
－2≤m＋1，
??
2m－1≤5.

解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．
2m－1>m－6，
?
?
(2)若A?B，则依题意应有
?
m－6≤－2，
?
?
2m－1≥ 5.

m>－5，
?
?
解得
?
m≤4，
?
?
m≥3.

故3≤m≤4，
∴m的取值范围是[3,4]． < br>?
?
m－6＝－2，
(3)若A＝B，则必有
?
解得m∈?. ，即不存在m值使得A＝B.
?
2m－1＝5，
?
2
12．已知集 合A＝{x|x－3x＋2≤0}，B＝{x|x
2
－(a＋1)x＋a≤0}．
(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；
(2)若B是A的子集，求a的取值范围；
(3)若A＝B，求a的取值范围．
解：由x
2
－3x＋2≤0，即(x－ 1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，
而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，
(1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2.
(2)若B是A的子集，即B?A，由数轴可知1≤a≤2.


(3)若A=B，则必有a=2

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第二节 集合的基本运算
A组
1．(20XX年高考浙江卷改编)设U＝R， A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩?
U
B＝____.
解析：?< br>U
B＝{x|x≤1}，∴A∩?
U
B＝{x|02．(20XX年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7 ,8,9}，全集U＝A∪B，则集
合?
U
(A∩B)中的元素共有________ 个．
解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?
U
(A∩B)＝{3,5,8}．答案：3
3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a ∈M}，则集合M∩N＝________.
解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}
4．(原 创题)设A，B是非空集合，定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，< br>B＝{y|y≥0}，则A?B＝________.
解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以A?B＝(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
5．(20XX年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动 ，10人喜爱乒乓球运动，8
人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _______．
解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程
15-x+x+ 10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动
的人数为15-3=12(人)．答案 ：12
6．(20XX年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝
{x|m≤ x≤m＋3}．
(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；
(2)若B?A，求m的取值范围．
解：(1)当
m
＝－1时，
B
＝{
x
|－1≤
x
≤2}，∴
A
∩
B＝{
x
|1<
x
≤2}，
A
∪
B
＝{
x
|
x
≥－1}．(2)
若
B
?
A
，则
m
>1，即
m
的取值范围为(1，＋∞)
B组
1 ．若集合M＝{x∈R|－3解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}
2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(?
U
A)∩B＝________.
解析：?
U
A＝{0,1}，故(?
U< br>A)∩B＝{0}．答案：{0}
3．(20XX年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝ {x|－2≤x≤2}，N＝{x|x
2
－3x≤0}，
则M∩(?
U
N)＝________.
解析：根据已知得M∩(?
U
N)＝{x|－2≤x≤ 2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：
{x|－2≤x<0}
4． 集合A＝{3，log
2
a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝______ __.
解析：由A∩B＝{2}得log
2
a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪ B＝{2,3,4}．
答案：{2,3,4}
5．(20XX年高考江西卷改编)已知全集 U＝A∪B中有m个元素，(?
U
A)∪(?
U
B)中有n个元
素． 若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
解析：U＝A∪B中有m个元素，
∵(?
U
A)∪(?
U
B)＝?
U
(A∩B)中有n个元 素，∴A∩B中有m－n个元
素．答案：m－n
6．(20XX年高考重庆卷)设U＝{n| n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n
是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则?
U
(A∪B)＝________.
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{ 1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝
{1,3,5,6,7}，
得?
U
(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}

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x
7．定义A?B＝{z|z＝xy＋ ，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A
y
? B)?C的所有元素之和为________．
解析：由题意可求(A?B)中所含的元素有0,4, 5，则(A?B)?C中所含的元素有0,8,10，故
所有元素之和为18.答案：18
8 ．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________ .
?
x＋y－2＝0，
?
x＝0，
??
解析：由
?
?
?
点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.
??
?
x－2y＋4＝0.
?
y＝2.
2
9．设全集I＝{2,3，a＋2a－3 }，A＝{2，|a＋1|}，?
I
A＝{5}，M＝{x|x＝log
2
| a|}，则集合M
的所有子集是________．
解析：∵A∪(?
I
A )＝I，∴{2,3，a
2
＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a
2
＋2a－3
＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log
2
2， log
2
|－4|}＝{1,2}．
答案：?，{1}，{2}，{1,2} 10．设集合A＝{x|x
2
－3x＋2＝0}，B＝{x|x
2
＋2( a＋1)x＋(a
2
－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：由x
2
－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．
( 1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a
2
＋4a＋3＝0?a＝－1或a＝ －3；当
a＝－1时，B＝{x|x
2
－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝ －3时，B＝{x|x
2
－4x＋4＝0}＝{2}，
满足条件；综上，a的值为－1 或－3.
(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)
2
－4(a
2
－5 )＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B?A，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝?满足条件；②当Δ ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足 条件，则由根与系数的关系得
5
?
?
1＋2＝－2(a＋1)
?< br>a＝－
2
，
?
?
?
?
矛盾.综上，a的取值 范围是a≤－3.
2
?
1×2＝a－5
?
?
?
a
2
＝7，



11．已知函数f(x)＝
6
－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x
2
＋2x＋m)的定义域为
x＋1
集合B.
(1)当m＝3时，求A∩(?
R
B)；
(2)若A∩B＝{x|－1解：A＝{x|－1(1)当m＝3时，B＝{x|－1R
B＝{x|x≤－1或x≥3 }，
∴A∩(?
R
B)＝{x|3≤x≤5}．
(2)∵A＝{x|－1∴有－4
2
＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－212．已知集合A＝{x∈R|ax
2
－3x＋2＝0}．
(1)若A＝?，求实数a的取值范围；
(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；
(3)求集合M＝{a∈R|A≠?}．
解：(1)A是空集，即方程ax
2
－3x＋2＝0无解．
2
若a＝0，方程有一解x＝，不合题意．
3
9
若a≠0，要方程 ax
2
－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>.
8
9
综上可知，若A＝?，则a的取值范围应为a>.
8
22(2)当a＝0时，方程ax
2
－3x＋2＝0只有一根x＝，A＝{}符合题意．
33
9
当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝时，
8

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44
方程有两个相等的实数根x＝，则A＝{}．
33
294
综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．
383
2
(3)当a＝0时，A＝{}≠?.当a≠0时，要使方程有实数根，
3
9
则Δ＝9－8a≥0，即a≤.
8
99
综上可知，a的取值范围是a≤，即M＝{a∈R|A≠?}＝{a|a≤}
88