高中数学奥赛试题库-高中数学试卷学生反思
集合知识梳理大全集
一:集合的含义与表示
1、一般地,指定的某些对象的全体称为集合,标记:A,B,C,D,…
集合中的每个对象叫做这个集合的元素,标记:a,b,c,d,…
2.集合中元素与集合的关系:
文字语言
属于
不属于
符号语言
?
?
即:a是集合A的元素,就说a属于集合A , 记作 a∈A ,
a不是集合A的元素,就说a不属于集合A, 记作 a?A
3.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
元素的确定性:对于一个给定
的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或
者不是这个给定的集合的元素。
元素的互异性:任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归
入一个集合时,仅
算一个元素。比如:book中的字母构成的集合
元素的无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺
序,因此判定两个集合是否一样,
仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
4.常见集合的符号表示
数集
符号
自然数集 正整数集
N
?
或
N
?
整数集
N
Z
有理数集
Q
实数集 复数集
R
C
5、集合的分类 原则:集合中所含元素的多少
①有限集
含有限个元素,如A={-2,3}
②无限集 含无限个元素,如自然数集N,有理数
③空 集 不含任何元素,如方程x+1=0实数解集。专用标记:Φ
注:
?
与
?
?
?
不同,
?
∈<
br>?
?
?
6.集合的3种表示方法:列举法、描述法、图示法;
1
2
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。
例:“中国的直辖市”构成的集合,写成{北京,天津,上海,重庆}
描述法:用确定的条件
表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表
示集合的方法。
格式:{x∈A| P(x)} 含义:在集合A中满足条件P(x)的x的集合。
例:不
等式
x?1??2
的解集可以表示为:
{x?R|x?1??2}
或
{x|x??3,x?R}
图示法:
韦恩图(Venn图):用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
数轴法:{x∈R|3
二: 集合间的基本关系
表示
关系
相等
文字语言
集合A与集合B中的所有元
素都相同
A中任意一元素均为B中的
元素,称集合A是集合B的
子集(subset)
符号语言
A?B
且
B?A
?
A?B
A?B
或
B?A
读作:A包
含于(is contained
in)B,
或B包含(contains)A
子集
真子集 A中任意一元素均为B
中的
AB
读作:A真包含于B
元素,且B中至少有一元素(或B真包含A)
不是A的元素称集合A是集
合B的真子集(proper
subset)
空集是任何集合的子集,是
任何非空集合的真子集
n
空集
?
?A
,
?
B
(
B?
?
)
注:集合A中元素的个数记为n,则它的子集的个数为:
2
nn
真子集的个数:
2-1
,非空真子集个数:
2-2
三:集合的基本运算
① 两个集合的交集:
A
B
=
?
xx?A且x?B
?
;
2
一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集
记作:A∩B 读作:“A交B” 即: A∩B={x|∈A,且x∈B}
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的公共元素组成的集合。
②
两个集合的并集:
AB
=
?
xx?A或x?B
?
; 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并
集记作:A∪B
读作:“A并B” 即: A∪B={x|x∈A,或x∈B}
说明:两个集合求并集,结果还是一
个集合,是由集合A与B的所有元素组成的集合
(重复元素只看成一个元素)。
③全集U
S包含我们要研究的各个集合,这时S可以看作一个全集。全集通常用字母U表示
④补集(余集)
设U是全集,A是U的一个子集(即A
?
U),
则由U中所有不属于A的元素组成的集
合,叫作“A在U中的补集”,简称集合A的补集,记作C
U
A,即
C
U
A?
?
xx?U且x?A
?
交集
并集
补集
AB?{x|x?A,
且
x?B}
AB?{x|x?A,
或
x?B}
C
U
A?
?
xx?U且x?A
?
★重、难点突破
1.集合的表示法
(1)列举法要注意元素的三个特性;(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有
的性质,
如
xy?f(x)
、
yy?f(x)
、
(x,y)y?f(x)等的差别,如果对集合中代
表元素认识不清,将导致求解错误:
2.集合间的关系的几个重要结论
3
??????
(1)空集是任何集合的子集,即
?
?A
(2)任何集合都是它本身的子集,即
A?A
(3)子集、真子集都有传递
性,即若
A?B
,
B?C
,则
A?C
4.集合的运算性质
(1)交集:①
A?B?B?A
;②
A?A?
A
;③
A?
?
?
?
;④
A?B?A
,A?B?B
⑤
A?B?A?A?B
;
(2)并集:①
A?B?
B?A
;②
A?A?A
;③
A?
?
?A
;④
A?B?A
,
A?B?B
⑤
A?B?A?B?A
;
(3)交、并、补集的关系:
①
A?(C
U
A)?U
,<
br>A?(C
U
A)??
,
C
U
(C
U
A)?A
②
CU
(A?B)?C
U
A?C
U
B
,
C
U
(A?B)?C
U
A?C
U
B
4
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