数学集合预习资料

1.1 集 合
预习资料
第一课包括三个内容，第一个是认识集合，第二个是集合间的基
本关系，第三个是集合的运算。
1、认识集合
今天要学习的内容其实我们一直都在使用。我们的国家是个整体，
我们 每个人都是其中一员；我们学习的课程是一个整体，每一门课是
其中的一员；从1到100的自然数是一 个整体，1、2、3等自然数都
是这个整体的一员。这些“整体”就是集合，“每一员”就是集合中的元素。从英文字面上看，集合的英语叫“set”，它的中文意思是“集
合，组合”，体现了“整 体”、“团队”的概念；元素的英语叫“element”，
它的中文意思是“要素，元素，成分”， 体现了“成员”、“个体”的
概念。所以说，集合是元素的总体，每个元素都是集合中的一个对象。 < br>集合具有两个性质。先不说集合，说说我们自己。假设我们都是
一个老总，有自己的一个公司，我 们有自己的员工，大家一起组成一
个团队共同创业。作为这个团队，我们首先明确的是大家是谁，我们< br>团队有几个人，每个人叫什么名字，有什么能力，能做什么工作，就
是说我们每个人都是“确定” 的，我们是个确定的整体；第二个，我
们团队的每一个人都有自己的能力，都做自己的工作，没有一个人 是
相同的，也就是说我们都是“唯一”的。集合也是一样，具有“确定
性”和“唯一性”，就是 说，集合中元素是确定的，可以是有限个元
素，也可以是无限个元素，但是成为集合中元素的条件是确定 的，这

样集合就是确定的，比如我们招个前台，要求身高160cm以上，这个
条件就是肯定的，如果说招前台要求身高较高的，那就不确定了；唯
一性是说，集合中元素是唯一的，每 个元素都不同，这个很好理解，
不再解释。做下思考：以下三个“全体”是不是集合？（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）大于5小于7的奇数。说
下第三个，第三个集合具有 确定性吗？具有唯一性吗？所以它是一个
集合，但是这个集合中没有元素，所以这个集合叫“空集”。一 会儿
会提到。
元素组成集合。如果a是集合A的一个元素，就说a属于集合A，
记作
a?A
，用英语说就是“a belongs to A”，“belong to”就是“属
于，依附”的意思，可以理解为a是A的一部分。同样，如果a不是
集合A的元素，就记为a?A
。
集合有两种表示方法——列举法和描述法。列举法，顾名思义，
就是把 集合中的元素都一一列举出来，这些元素用{ }括起来。举例，
大于3小于11的偶数，这个集合有 4个元素，4、6、8、10，列举法
就是把这四个元素都列举出来，为{4,6,8,10}。描述法 就是把集合的
特征描述出来，一般来说这些特征就是限制一个个体是否是这个集合
的条件。由于 限制条件都是确定的，所以用这些限制条件可以描述集
合。描述法具体写为：在{ }内先写上表示这 个集合元素的一般符号
及取值范围，再画一条竖线，另一边写集合中元素所具有的共同特征。
举 个例子，不等式
4x?5?3
的解集，用描述法可以写为{
x?R4x?5?3
}。
再来个练习，用描述法或列举法表示“所有活着的中国人”。首先，

用列 举法来做这个题显然不合适，只能用列举法。竖线两边分别写范
围和条件，左边是元素所属的大范围，我 们看到这个集合的元素最基
本的要求是“人”，其次是“中国”和“活着”，所以范围就是“人”，条件是“中国”和“活着”，所以用描述法可以写为
{
x?人类x活着，且具有中国国籍< br>}。
2、集合间的基本关系
看下图，A和B分别代表一个集合，他们之间可能存在三 种关系，
最左边显示，两个集合没有共同的元素，则它们之间没有关系，中间
的两个集合有部分 相交，它们之间存在一定关系，最右边A集合在B
集合当中，它们具有包含关系。今天我们研究的就是包 含关系。
ABA
B
A
B

对于两个集合A和B，如果A中 所有的元素都在B集合中，就说
B包含A，或者说A包含于B，记为
A?B
，A叫B的 子集。如果B比A
“大”，A就是B的真子集；和
?
类似，如果A和B一样，叫A和B 相
等。
前面我们提到了“空集”的概念，它的定义是不包含任何元素的
集合叫空集， 记为
?
，空集是任何非空集合的真子集。
为此，我们得到以下结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即
A?A
；
（2）对于集合A，B， C，如果
A?B
，且
B?C
,那么
A?C
。
这个 很好理解，类比于两个数的比较，借助大于或小于来理解，

a
?
a;如 果a
?
b，b
?
c，则a
?
c。
3、集合的基本运算
集合的基本运算包含两个部分——并集、交集和补集。很好理解，
并集就是把两个集合合并在一起，交集就是找到两个集合相交的部分，
补集是一个集合的补充部分。需 要注意的是，并集、交集和补集指的
是集合的运算，所以运算结果也是集合。用公式表示：
A?B?xx?A,或x?B

A?B?
?
xx?A,且x?B
?

??
“或”和 “且”非常形象的说明了并集和交集。属于A的元素一
定是A与B并集的元素，既属于A，又属于B的元 素是A与B交集的
元素。
讲补集前先介绍个“全集”的概念。全集就是包含我们研究问题的所有元素的集合，记作U。可以理解为“全部”。下图中方框表示
全集U，圆圈表示集合A，方框 除去圆圈的部分就是A 的补集。用公
式表示：
C
u
A?
?
xx?U,且x?A
?

U
A
C
U
A

听课时需要注意的地方：
1、集合的概念（理解）
2、描 述法（重点听课，认真理解，竖线两边给需要写什么，有
些内容可以写在左边，也可以写在右边）
3、集合的关系（听听即可）
4、集合的基本运算（听听即可）
5、所有例题需要 认真对待，认真理解，如果听不懂可以直接略
过，下课后再回头看，不要因为一个知识点不能理解导致后 面内容的
缺失。