高中数学选修2-1手抄报-高中数学等价
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高一数学复习——第一节 集合
一、内容提示：
1.
集合中元素的表示和性质：
（1）元素与集合：“∈”或“
?
”.
（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.
2. 集合间的运算关系：
（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A
与B的交集，记为A∩B
，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.
（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的
集合，叫做集合A
与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.
（3
）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A
?
S），由S中所有
不属
于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为
即
S
S
A，
A={x|x∈S且x
?
A}.
二、例题分析：
【例1】 设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx
2
+4mx－4＜
0对任意实数x恒成
立}，则下列关系中成立的是 （ ）
C.P=Q
D.P∩Q=Q
【例2】 已知A={x|x
3
＋3x
2
＋2x＞
0}，B={x|x
2
＋ax＋b≤0}，且A∩B={x|0＜x
≤2}，A∪B＝
｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.
三、典题精练：
1.集合A={（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x－y=2}，则A∩B是
（ ）
A.（1，－1） B.
?
?
x?1
C.{（1，－1）}
?
y??1
D.{1，－1}
2.设A、B、I
均为非空集合，且满足A
?
B
?
I，则下列各式中错误的是 （
）
．．
A.（
=
I
B
3.已知集合M={x|x
2
＜4}，N={x|x
2
－2x－3＜0}，则集合M∩N等于
（ ）
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I
A）∪B=I
B.（
I
A）∪（
I
B）=I
C.A∩（
I
B）=
?
D.（
I
A）∩（
I
B）
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A.
{x|x＜－2}
{x|2＜x＜3}
B. {x|x＞3} C.
{x|－1＜x＜2} D.
4.已知集合A={x∈R|x＜5－
2
}，
B={1，2，3，4}，则（
R
A）∩B等于
A. {1，2，3，4} B.
{2，3，4} C. {3，4} D. {4}
5.设M、N是两个
非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且x
?
N}，则M
－（M－N）
等于
（ ）
A. N B. M∩N
C. M∪N D. M
6.设集合A={5，log
2
（a+3
）}，集合B={a，b}.若A∩B={2}，则A∪
B=______________.
7.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ
*
｝，C＝｛x｜x
?<
br>A｝，则A、B、C
之间的关系是___________________.
8.设
A={x|1＜x＜2}，B={x|x＞a}，若AB，则a的取值范围是
____________
_______.
2
9.已知集合A={x∈R|ax+2x+1=0，a∈R}只有一个元
素，则a的值为
__________________.
10.记函数f（x）=log
2
（2x－3）的定义域为集合M，函数g（x）=
(x?3)(x?1)
的
定义域为集合N.求：
（1）集合M、N；
（2）集合M∩N、M∪N.
11.已知A={x∈R|x
2
+2x+p=0}且A∩{x∈R|x＞0}=
?
，求实数p的取值范围.
12.若B={x|x
2
－3x+2＜0}，是否存在实数a，使A={x|x
2
－（a+a
2
）x+a
3
＜0}且A
∩B=A？请说明
你的理由.
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四、方法反馈：
1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然
后确
定处理此类问题的方法.
2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.
3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.
4.集合问题多与函数、方程、不
等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问
题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.
5.强化数形结合、分类讨论的数学思想.
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标准答案
例题分析
【例1】剖析：Q={m∈R|mx
2
+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，
对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）
2
－4×m×（－4）＜0，解得-1＜m＜0.
综合①②知-1＜m≤0，∴Q={m∈R|-1＜m≤0}.∴P=Q
答案：C
评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.
【例2】
解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，
设B=［x
1
，x
2
］，由A∩B=（0，2］知x
2
＝2，且－1≤x
1
≤0，
①
由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x
1
≤－1.
②
由①②知x
1
＝－1，x
2
＝2，
∴a＝－（x
1
＋x
2
）＝－1，b＝x
1
x
2
＝－2.
评述：集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方
法.
典题精练
?
x?y?0
?
1.解析：
?
?
x?y?2
?
x?1,
答案：C
?
y??1.
?
2.解析一：∵A、B、I满足A
?
B
?
I，先画出文氏图，根据文氏图可
判断出A、C、
D都是正确的.
B
A
I
解析二：设
非空集合A、B、I分别为A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}且满足A
?
B<
br>?
I.
根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的.
答案：B
3.解析：M={x|x
2
＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x
2
－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结
合数轴，
x
-20
1
23
-1
∴M∩N={x|－1＜x＜2}. 答案：C
4.解析：
R
A={
x∈R|x≥5－
2
}，而5－
2
∈（3，4），∴（
R
A
）∩B={4}.答
案：D
5.解析：M－N={x|x∈M且x
?
N}是指图（1）中的阴影部分.
M NM N
(1) (2)
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同样M－（M－N）是指图（2）中的阴影部分. 答案：B
6.解析：∵A∩B={
2}，∴log
2
（a+3）=2.∴a=1.∴b=2.∴A={5，2}，B={1，2}
.
∴A∪B={1，2，5}.答案：{1，2，5}
7.解析：用列举法表示出B＝｛1
｝，C＝｛
?
，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里
A、B、C是不同层次的集
合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关
系，不同层次的集合之间只能是从属关系.
答案：BA，A∈C，B∈C
8.解析：AB说明A是B的真子集，利用数轴（如下图）可知a≤1.
1
2
a 1 2
答案：a≤1
9.解析：若a=0，则x=－.若a≠0，Δ=4－4a=0，得a=1.
答案：a=0或a=1
10.解：（1）M={x|2x－3＞0}={x|x＞}；
N={x|（x－3）（x－1）≥0}={x|x≥3或x≤1}.
（2）M∩N={x|x≥3}；
M∪N={x|x≤1或x＞}.
11.解：∵A∩{x∈R|x＞0}=
?
，
∴（1）若A=
?
，则Δ=4－4p＜0，得p＞1；
（2）若A≠
?
，则A={x|x≤0}，
即方程x
2
+2x+p=0的根都小于或等于0.
设两根为x
1
、x
2
，则
?
Δ?4?4p?0,
?
?
x
1
?x
2
??2?0,
∴0≤p≤1.
?
xx?p?0.
?
12
3
2
3
2
综上所述，p≥0.
12.解：∵B={x|1＜x＜2}，若存在实数a，使A
∩B=A，则A={x|（x－a）（x－a
2
）
＜0}.
2
（1
）若a=a
2
，即a=0或a=1时，此时A={x|（x－a）＜0}=
?
，满足A∩B=A，
∴a=0或a=1.
?
a?1
?
1（2）若a
＞a，即a＞1或a＜0时，A={x|0＜x＜a}，要使A∩B=A，则
?
2
a?
2
?
22
≤
a≤
2
，∴1＜a≤
2
.
（3）若a
2
＜a，即0＜a＜1时，A={x|a＜x＜a
2
}，
要使A∩B=A，则
?
≤a≤2，∴a∈
?
.
综上所述，当1≤a
≤
2
或a=0时满足A∩B=A，即存在实数a，使A={x|x
2
－
（a+a
2
）x+
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?
a?2
2
?
a?1
?
1
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a
3
＜0}且A∩B=A成立.
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