高考数学集合与常用逻辑用语

考前回扣
回扣1 集合与常用逻辑用语

1．集合
(1 )集合的运算性质：①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??
U
A??< br>U
B.
(2)子集、真子集个数计算公式：
对于含有n个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
2
n,
2
n
－1,2
n
－1,2
n
－2.
(3)数轴和Venn图是进行交、 并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空
集这两种特殊情况．补集思想常运用于解决 否定型或正面较复杂的有关问题．
2．四种命题及其相互关系
(1)

(2)互为逆否命题的两命题同真同假．
3．含有逻辑联结词的命题的真假
(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．
(2 )命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真
命题，简记 为：一假则假，同真则真．
(3)命题綈p与命题p真假相反．
4．全称命题、存在性命题及其否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，其否定为存 在性命题綈p：?x
0
∈M，綈p(x
0
)．
(2)存在性命题p ：?x
0
∈M，p(x
0
)，其否定为全称命题綈p：?x∈M，綈p(x) ．
5．充分条件和必要条件
(1)若p?q且qD?p，则p是q的充分不必要条件；
(2)若pD?q且q?p，则称p是q的必要不充分条件；

(3)若p?q，则称p是q的充要条件；
(4)若pD?q且qD?p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg
x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．
2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个 元素；{0}是以0为元素的
单元素集合，但是0??，而??{0}．
3．集合的元素具有 确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素
的互异性．
4．空集是 任何集合的子集．由条件A?B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研
究A＝?的情况．
5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈
q ”，其否命题为“若綈p，则綈q”．
6．在对全称命题和存在性命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．
7．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．

1．已知集合A＝ {1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m的可能取值组成的集合为________．
答案 {0,3}
解析 ∵A∪B＝A，∴B?A，
∴m∈{1,3，m}，
∴m＝1或m＝3或m＝m，
由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.
2．( 2016·鹰潭一中月考)设集合A＝{x|1________．
答案 {a|a≥2}
解析 若A?B，则a≥2.
3．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N等于________．
答案 {x|x<－5或x>－3}
解析 在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．

4．满足条件{a}?A?{a，b，c}的所有集合A的个数是________．
答案 4
解析 满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个． < br>5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x
2
－2 x<0}，则A∪(?
U
B)等于
________．
答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)
解析 B＝{x|x
2
－2x<0}＝(0,2)，
A∪(?
U
B)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2 ，＋∞)．
6．下列命题正确的序号是________．
(1)命题“?x∈R,2x
>0”的否定是“?x
0
∈R,2x
0
≤0”；
(2)l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；
(3)给定命题p，q，若“p∧q为真命题”，则綈p是假命题；
1
π
(4)“sin α＝”是“α＝”的充分不必要条件．
26
答案 (1)(3)
解析 命题“?x∈R,2
x
>0”的否 定是“?x
0
∈R,2x
0
≤0”；l为直线，α，β为两个不同的平
面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l?α；给定命题p，q，若“p∧q为真命题”，则p和q都是
1
π
真命题，綈p和綈q都是假命题；“sin α＝”是“α＝”的必要不充分条件，因此(1)(3)
26
为真．
7．已知命题p：在△ABC中，若AB1”
1
是“<1”的必要不充分条件．在命题p∧q，p∨ q，(綈p)∨q，(綈p)∧q中，真命题的个
a
数为________．
答案 1
解析 由题意得，在△ABC中，若AB1
真，又已知a∈R，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，所以q假，只有 p∨q为真命
a
题．
1
8．已知命题p：?m∈[0,1]，x＋≥2m
，则綈p为__________________．
x

1
答案 ?m
0
∈[0,1]，x＋<2m
0

x
1
解析 根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题p：?m∈[0,1]，x＋≥2
m
，则綈p为< br>x
1
“?m
0
∈[0,1]，x＋<2m
0
”．
x
9．下列结论正确的是________．
(1)f(x)＝a
x1
＋2(a>0，且a≠1)的图象经过定点(1,3)； < br>－
8
(2)已知x＝log
2
3,4
y
＝，则x＋2 y的值为3；
3
(3)若f(x)＝x
3
＋ax－6，且f(－2)＝6， 则f(2)＝18；
11
(4)f(x)＝x(
x
－)为偶函数；
1－2
2
(5)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}，且B?A，则m的值为 1或－1.
答案 (1)(2)(4)
解析 (1)当x＝1时，f(1)＝a
0
＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1,3)，故(1)正确；
88888
(2)已知x＝log
2
3,4
y
＝，则2
2y
＝，2y＝ log
2
，则x＋2y＝log
2
3＋log
2
＝log< br>2
(×3)＝log
2
8＝
33333
3，故(2)正确；
(3)若f(x)＝x
3
＋ax－6，且f(－2)＝6，则(－2)
3－2a－6＝6，即a＝－10，则f(2)＝2
3
－2×10
－6＝－18，故 (3)错误；
(4)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
1＋2
x
1
f(x)＝x(－)＝x·，
1－2
x
2
2?1－2
x
?
1
1＋2
－
x
则f( －x)＝－x·
2?1－2
－
x
?
2
x
＋11＋ 2
x
＝－x·
x
＝x·＝f(x)，
2?2－1?2?1－2x
?
11
即有f(x)为偶函数，则f(x)＝x(－)为偶函数，故(4)正确 ；
x
2
1－2
(5)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|mx＝1}， 且B?A，
当m＝0时，B＝?，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4)． < /p>

ax＋10
10．已知M是不等式≤0的解集且5?M，则a的取值范围是___ _____________．
ax－25
答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)
5a＋10
解析 若5∈M，则≤0，
5a－25
∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，
∴－2≤a＜5，
∴5?M时，a<－2或a≥5.
112
11．若三个非零且互不相等的实数a，b ，c满足＋＝，则称a，b，c是调和的；若满足
abc
a＋c＝2b，则称a，b，c是等差 的．若集合P中元素a，b，c既是调和的，又是等差的，则
称集合P为“好集”，若集合M＝{x|| x|≤2 014，x∈Z}，集合P＝{a，b，c}?M，则(1)“好
集”P中的元素最大值为_ _______；(2)“好集”P的个数为________．
答案 2 012 1 006
11
解析 因为a＝－2b，c＝4b，若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的， 则＋＝
ab
2
且a＋c＝2b，故满足条件的“好集”为形如{－2b，b,4b}( b≠0)的形式，则－2 014≤4b≤2
c
014，解得－503≤b≤503，且b≠0，P中元素的最大值为4b＝4×503＝2 012.符合条件的b
值可取1 006个，故“好集”P的个数为1 006.
12．(2 016·淄博六中期末)设命题p：实数x满足x
2
－4ax＋3a
2
<0， 其中a<0；命题q：实数x
满足x
2
＋2x－8>0，若q是p的必要不充分条件， 则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－4]
解析 由命题q：实数x 满足x
2
＋2x－8>0，得x<－4或x>2，由命题p：实数x满足x
2
－4ax
＋3a
2
<0，其中a<0，得(x－3a)(x－a)<0，∵a<0，∴ 3a∵q是p的必要不充分条件，
∴a≤－4，∴a∈(－∞，－4]． x＋1
?
13．已知命题p：
?
1－
≤1，命题q：x
2
－2x＋1－m
2
<0(m>0)，若p是q的充分不必要
2
??
条件，则实数m的取值范围是________．
答案 (2，＋∞)

x＋1x＋1
?
x＋1
?
解析 ∵
?
1－
?
≤1?－1≤
2
－1≤1?0≤
2
≤2?－1≤x ≤3，∴p：－1≤x≤3；
2
??
∵x
2
－2x＋1－m
2
<0(m>0)?[x－(1－m)][x－(1＋m)]<0?1－m∴q：1－m∵p是q的充分不必要条件，
?
?
1－m<－1，
∴[－1,3]是(1－m,1＋m)的真子集，则
?

?
?
1＋m>3，
解得m>2.