全国高中数学联赛真题之集合函数专题

集合函数专题

1、（2000一试1）设全集是实数，若
A
={
x
|
x? 2
≤0}，
B
={
x
|
10
x
2
?2
=
10
x
},则
A?B
是
（ ）
(A) {2} (B) {?1} (C) {
x
|
x
≤2} (D)
?


22
2、（2001一试1）已知a为给定的实数，那么集合M={x|x-3x -a+2=0,x∈R}的子集的个数
为（ ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定


5、（2002一试5）已知两个实数集合A={a
1
, a
2
, … , a
100
}与B={b
1
, b
2
, … , b
50
}，若从A
到B的映射f使得B中的每一个 元素都有原象，且f(a
1
)≤f(a
2
)≤…≤f(a
100)，则这样的映
射共有( )
5049
5049
(A)
C
100
(B)
C
90
(C)
C
100
(D)
C
99

7、 （2006一试5）设
f(x)?x
3
?log
2
x?x
2
?1
，则对任意实数
a,b
，
a?b?0
是
??
f(a)?f(b)?0
的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件


8、（2007一试6）已知
A
与
B
是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：
A
与
B< br>的元
素个数相同，且为
A
∩
B
空集。若
n
∈
A
时总有2
n
+2∈
B
，则集合
A
∪B
的元素个数最多为（ ）
A. 62 B. 66 C. 68 D. 74

5?4x?x
2
9、（2008一试1）函数
f(x)?
在
(??,2)
上的最小值是 （ ）。
2?x
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

10、(2008一试2) 设
A?[?2,4)
，
B?{xx
2< br>?ax?4?0}
，若
B?A
，则实数
a
的取值范围
为（ ）。
（A）
[?1,2)
（B）
[?1,2]
（C）
[0,3]
（D）
[0,3)


11、（2001一试11）函数ｙ＝ｘ＋

的值域为______________．

13、（2 002一试11）若
log
4
(x?2y)?log
4
(x?2y) ?1
，则|x|?|y|的最小值是 。


21－
x
2
14、（2003一试9）已知
A=
{
x
|< br>x
－4
x
+3<0，
x
∈
R
}，
B=
{
x
|2+
a
≤0，
x
－2(
a+7)
x
+5≤0，
x
∈R}
若
A
?
B
，则实数
a
的取值范围是 ．




17、（2005一试8）已知
f(x)是定义在
(0,??)
上的减函数，若
f(2a
2
?a?1)? f(3a
2
?4a?1)
成立，则
a
的取值范围是

19、（2008一试11）设
f(x)< br>是定义在
R
上的函数，若
f(0)?2008
，且对任意
x?R
，满
足

f(x?2)?f(x)?3?2x
，
f(x?6)?f(x)?63?2
x
，则
f(2008)
= .

20、（2009一试1）若函数
f
?
x
?
?
?
99
?
?
ff
?
fx
??
且
f
(n)
?
x
?
?f
?
，则
f
??
?
1
?
?
．
??
?
?
?
2
????????
1?x
n
x


21、（2009一试6）若方程
lgkx?2lg< br>?
x?1
?
仅有一个实根，那么
k
的取值范围是 ．

22、（2010一试1）函数
f(x)?

23、（2 010一试5）函数
f(x)?a
2x
?3a
x
?2(a?0,a? 1)
在区间
x?[?1,1]
上的最大值
为8，则它在这个区间上的最小值是 .


24、（2011一试1）设集合
A?{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
}
，若
A
中 所有三元子集的三个元素之和组成的
集合为
B?{?1,3,5,8}
，则集合
A?
．


25、（2011一试2）函数
f(x)?

?
26、（2012 一试6）设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且当
x?0
时 ，
f(x)?x
．若对任意
x?5?24?3x
的值域是 .
x
2
?1
的值域为 ．
x?1
的
x?[a,a?2]
，不等式
f(x?a)?2f(x)
恒成立，则实数
a
的取值范围是 ．

113
27、（2000一试1 4）若函数
f(x)??x
2
?
在区间[
a
,
b< br>]上的最小值为2
a
，最大值为2
b
，
22
求[a
,
b
].

28、（2002一试15）设二次函数f(x)=ax+bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件：
① 当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；
② 当x∈(0,2)时，f(x)≤
(
2
x?1
2
)

2
③ f(x)在R上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x


32
29、（2002一试15）实数a,b,c和正数?使得f(x)=x+ax+bx+c 有三个实根x
1
,x
2
,x
3
，且满
足
1
2a
3
?27c?9ab33
① x
2
-x
1
=
?
?, ②x
3
>(x
1
+x
2
) ，求证；
?
2
2
?
3


30、（ 2005二试2）设正数
a
、b、c、
x
、y、z满足
cy?bz? a,az?cx?b;bx?ay?c.

x
2
y
2
z
2
求函数
f(x,y,z)?
的最小值.
??
1?x1?y1?z

31、（2006一试15）设
f(x)?x
2
?a
. 记
f
1
(x)?f(x)
，
f
n
(x)?f(f
n ?1
(x))
，n?2,3,?
，
1
??
M?a?R对所有正整数 n， f
n
(0)?2
. 证明：
M?
?
?2,
?
.
4
??
??

32、（2007一试15） 设函数
f
(
x
)对所有的实数
x
都满足
f
(
x+
2π)
=f
(
x
)，求证：存在4个
函数< br>f
i
(
x
)(
i
=1，2，3，4)满足：（1）对
i
=1，2，3，4，
f
i
(
x
)是偶函数，且对 任意的实数
x
，有
f
i
(
x+
π)
=f< br>i
(
x
)；（2）对任意的实数
x
，有
f
(
x
)
=f
1
(
x
)
+f
2
(
x
)cos
x+f
3
(
x
)sin
x +f
4
(
x
)sin2
x
。


33、（2008二试2）设
f(x)
是周期函数，
T
和1是
f( x)
的周期且
0?T?1
．证明：
（1）若
T
为有理数， 则存在素数
p
，使
1
是
f(x)
的周期；
p（2）若
T
为无理数，则存在各项均为无理数的数列
{a
n
}< br>满足
1?a
n
?a
n?1
?0

(n? 1,2,???)
，且每个
a
n
(n?1,2,???)
都是
f(x)
的周期．

34、（2011一试9）设函数
f(x)?|lg(x ?1)|
，实数
a,b(a?b)
满足
f(a)?f(?
f(10a ?6b?21)?4lg2
，求
a,b
的值．
b?1
)
，
b?2