2019-2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合的概念

第1课时 集合的概念


1．了解集合与元素的含义．
2．理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题．
3．理解集合与元素的关系．
4．掌握数学中一些常见的集合及其记法．

1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母
a
，
b，
c
，…表
示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为 集)，集合通常用大写的拉丁字母
A
，
B
，
C
，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集 合，那么任
何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个 给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复
出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
温馨提示： 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究
集合中的元素，因此在解决集 合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可
以是数、点，也可以是一些人或一些物．
3．元素与集合的关系
(1)属于：如果
a
是集合
A
的元 素，就说
a
属于集合
A
，记作
a
∈
A．

(2)不属于：如果
a
不是集合
A
的元素，就说
a
不属于集合
A
，记作
a
?
A．

温馨提示：(1) 符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素
a
与一
个集合
A
而言，只有“
a
∈
A
”与“
a
?
A< br>”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
4．常用的数集及其记法

1．某中学2019年高一年级20个班构成一集合．
(1)高一(3)班、高一(2)班是这个集合的元素吗？
(2)高二(3)班是这个集合中的元素吗？
[答案] (1)是 (2)不是
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)本班的高个子同学组成集合．( )
(2)联合国常任理事国组成集合．( )
(3)由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素．( )
(4)由
a
，
b
，
c
组成的集合与由
b
，
a
，
c
组成的集合是同一个集合．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√


题型一集合的基本概念
【典例1】 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？
(1)接近于2019的数；
(2)大于2019的数；
(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；
(4)方程
x
－2＝0在实数范围内的解；
(5)函数
y
＝
x
图象上的点．
[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．
[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．


2
2

对集合含义的理解
给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所

有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．

[针对训练]
1．下列所给的对象能构成集合的是______．(填序号)
①所有的正三角形；
②比较接近1的数的全体；
③某校高一年级16岁以下的学生；
④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的全体；
⑤我校教职员工中的年轻人；
⑥2的近似值的全体．
[解析] ①能构成集合，其 中的元素需满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较
接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故 不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是
“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中 的元素是“平面直角坐标系内到
原点距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的 、不确定的，故不
能构成集合；⑥不能构成集合，因为“2的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能 构
成集合．
[答案] ①③④
题型二元素与集合的关系
【典例2】 (1)下列关系中，正确的有( )
1
①∈R；②2?Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.
2
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
6
(2)集合
A
中的元素
x
满足∈N，
x
∈N，则集合
A
中的元素为___ _____．
3－
x
[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．
1
[解析] (1)是实 数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故
2
①②③正确，选C ．
6
(2)当
x
＝0时，＝2；
3－0
6
当
x
＝1时，＝3；
3－1
6
当
x
＝2时，＝6；
3－2
当
x
≥3时不符合题意，故集合
A
中元素有0,1,2.

[答案] (1)C (2)0,1,2

判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即
可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具
有的特 征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．

[针对训练]
2．已 知集合
A
中有四个元素0,1,2,3，集合
B
中有三个元素0,1,2，且 元素
a
∈
A
，
a
?
B
，
则
a
的值为( )
A．0
C．2
B．1
D．3
[解析] ∵
a
∈
A
，
a
?
B
， ∴由元素与集合之间的关系知，
a
＝3.
[答案] D
3．用适当的符号填空：
已知集合
A
中的元素
x
是被3除余2的整数，则有：17
________
A
；－5________
A．

[解析] 由题意可设
x
＝3
k
＋2，
k
∈Z，令 3
k
＋2＝17得，
k
＝5∈Z.所以17∈
A．

7
令3
k
＋2＝－5得，
k
＝－?Z.所以－5?
A．< br>
3
[答案] ∈ ?
题型三集合中元素的特性
【典例3】 已知 集合
A
含有两个元素
a
和
a
，若1∈
A
， 则实数
a
的值为________．
[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．
[解析] 若
a
＝1，则
a
＝1，此时集合
A
中两元素相同，与互异性矛盾，故
a
≠1；
若< br>a
＝1，则
a
＝－1或
a
＝1(舍去)，此时集合
A
中两元素为－1,1，故
a
＝－1.
综上所述
a
＝－1.
[答案] －1
[变式] (1)本例若将条件“1∈
A
”改为“2∈A
”，其他条件不变，求实数
a
的值．
(2)本例若去掉条件“1∈< br>A
”，其他条件不变，则实数
a
的取值范围是什么？
[解] (1)若
a
＝2，则
a
＝4，符合元素的互异性；
若
a< br>＝2，则
a
＝2或
a
＝－2，符合元素的互异性．

2
2
2
2
2

所以
a
的取值为2，2，－2.
(2)根据集合中元素的互异性可知，a
≠
a
，所以
a
≠0且
a
≠1.



2

应用集合元素的特性解题的要点
(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是
什么．
(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可
以 不考虑先后顺序(无序性)．
(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可 能值，再根据互
异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．

[针对训练]
4．已知集合
A
由三个元素
m
，
m
＋1,1组成，若2∈
A
，求实数
m
的值．
[解] ∵2∈
A
，∴
m
＝2或
m
＋1＝2，
则
m
＝2或
m
＝±1.
当
m
＝2时，集合
A
中的元素为：2,5,1，符合题意；
当
m
＝1时，集合
A
中的元素为：1,2,1，不满足互异性，舍去；
当
m
＝－1时，集合
A
中的元素为：－1,2,1，符合题意．
综上知，
m
＝2或
m
＝－1.

课堂归纳小结
1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确
定，则不 能构成集合．
2．集合中的元素是确定的，某一元素
a
要么满足
a
∈
A
，要么满足
a
?
A
，两者必居其一．这
也是判 断一组对象能否
构成集合的依据．
3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性． 求集合中字母的取值时，一定
要检验是否满足集合中元素的互异性.


2
2

1．已知
a
∈R，且
a
?Q，则
a
可以为( )
A．2
C．－2
[解析] 2是无理数，所以2?Q，2∈R.
1
B．
2
1
D．－
3
[答案] A
2．若由
a
2019
a
组成的集合
M
中有两个元素，则a
的取值可以是( )
A．
a
＝0
C．
a
＝1
2
2,
B．
a
＝2019
D．
a
＝0或
a
＝2019
[解析] 若集合
M
中有两个元素，则
a
≠2019
a
.即
a
≠0，且
a
≠2019.故选C．
[答案] C
3．下列各组对象能构成集合的有( )
①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1.
A．1组
C．3组
B．2组
D．4组
[解析] ①中“接近 于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不
能构成集合；②中“小于0”是一个明 确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是
两个不同的对象，是确定的，能构 成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，
可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知 构成的集合为{1,2,3}．
[答案] C
4．若方程
ax
＋
ax
＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则
a
为( )
A．4
C．0
B．2
D．0或4
2
2
[解析] 当a
＝0时，方程变为1＝0不成立，故
a
＝0不成立；当
a
≠0 时，
Δ
＝
a
－4
a
＝0，
a
＝4，故选A ．
[答案] A
5．下列说法正确的是________．
①及第书业的全体员工形成一个集合；
②2019年高考试卷中的难题形成一个集合； ③方程
x
－1＝0与方程
x
＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素；
3
32
④
x
，
x
，
x
，|
x
|形成的集合中最多有2个元素．
[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体， 能形成一个集合，正确；②难题没
有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程
x
－1 ＝0的解为
x
＝±1，方程
x
＋1＝0的解

2
2

为
x
＝－1，由集合中元素的互异性 知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，
3
32
故错误；④
x
＝
x
，
x
＝|
x
|，故正确．
[答案] ①④
课后作业(一)
复习巩固
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合 < br>D．方程(
x
－1)(
x
＋1)＝0的所有解构成的集合中有3个元素
[解析] A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，
所以两 个集合相等．D项中方程的解分别是
x
1
＝1，
x
2
＝x
3
＝－1.由互异性知，构成的集合含
2个元素．
[答案] C
2．已知集合
A
由
x
<1的数构成，则有( )
A．3∈
A

C．0∈
A

B．1∈
A

D．－1?
A

2
[解析] 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
[答案] C
3．下列各组中集合
P
与
Q
，表示同一个集合的是( )
A．
P
是由2,3构成的集合，
Q
是由有序数对(2,3)构成的集合
B．
P
是由π构成的集合，
Q
是由3.14159构成的集合 C．
P
是由元素1，3，π构成的集合，
Q
是由元素π，1，|－3|构 成的集合
D．
P
是满足不等式－1≤
x
≤1的自然数构成的集合，
Q
是方程
x
＝1的解集
[解析] 由于C中
P
、
Q
元素完全相同，所以
P
与
Q
表示同一个集合，而A、B、 D中元
素不相同，所以
P
与
Q
不能表示同一个集合．故选C．
[答案] C
4．已知集合
A
含有三个元素2,4,6，且当
a< br>∈
A
，有6－
a
∈
A
，则
a
为( )
A．2
C．4
B．2或4
D．0
2
[解析] 若
a
＝2∈
A
，则6－
a
＝ 4∈
A
；或
a
＝4∈
A
，则6－
a
＝2∈
A
；若
a
＝6∈
A
，则6

－
a
＝0?
A．
故选B．
[答案] B
5．由实数－
a
，
a
，|
a
|，
a
所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A．1
C．3
B．2
D．4
2
2
[解析] 当
a
＝0时 ，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当
a
≠0时，
a
?
?
a
，
a
>0，
＝|
a
|＝
?
?
?
－
a
，
a
<0，

所以一定与
a
或－
a
中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故
选B．
[答案] B
二、填空题
1
6．给出下列关系：①∈Z；②5∈R；③|－5|?N
＋
；
3
④|－
3
|∈Q；⑤
π
∈R.
2
其中，正确的个数为________．
[解析] 由Z，R，Q，N
＋
的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正确的个数为2.
[答案] 2
7．由
a
2－
a,
4组成一个集合
A
，
A
中含有3个元素，则实数
a
满足的条件是________．
2,
a
≠4，
?
?
[解析] 由元素的互异性，得
?
2－
a
≠4，
?
?
a
2
≠2－
a
，
即
a
≠±2，且
a
≠1.
[答案]
a
≠±2且
a
≠1
2

2

8 ．若集合
A
中含有三个元素
a
－3,2
a
－1，
a
－4，且－3∈
A
，则实数
a
的值为________．
[解析] ①若
a
－3＝－3，则
a
＝0，此时
A
中元素为－3，－1，－4，满足题意．
②若2
a
－1＝－3，则
a
＝－1，此时
A
中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．
③若
a
－4＝－3，则
a
＝±1.当
a
＝1时，
A
中元 素为－2,1，－3，满足题意；当
a
＝－
1时，由②知不合题意．
综上可知：
a
＝0或
a
＝1.
[答案] 0或1
三、解答题
9．已知集合
A
中含有两个元素
x
，
y
，集合
B
中含有两个元素0，
x
，若
A
＝
B
，求实数
2
2
x
，
y
的值．

[解] 因为集合
A
，
B
相等，则
x
＝0或
y
＝0.
①当
x
＝0时，
x
＝0，
B
中元素为0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
②当
y< br>＝0时，
x
＝
x
，解得
x
＝0或
x
＝1.由①知
x
＝0应舍去．
综上知：
x
＝1，
y
＝0.
10．设集合
A中含有三个元素3，
x
，
x
－2
x
.
(1)求实数
x
应满足的条件；
(2)若－2∈
A
，求实数
x
.
[解] (1)由集合中元素的互异性可知，
x
≠3.
且
x
≠
x< br>－2
x
，
x
－2
x
≠3.
解之得
x
≠－1，且
x
≠0，
x
≠3.
(2)由－2∈
A
，知
x
＝－2或
x
－2
x
＝－2，
当
x
＝－2时，
x
－2
x
＝(－2) －2×(－2)＝8.
此时
A
中含有三个元素3，－2,8满足条件．
当
x
－2
x
＝－2，
即
x
－2
x
＋2＝0时，
Δ
＝(－2)－4×1×2＝4－8<0，
故方程无解，显然
x
－2
x
≠－2.
综上，
x
＝－2.
综合运用
11．下面有四个命题：
①集合
N
中最小的数是1；
②若－
a
不属于
N< br>，则
a
属于
N
；
③若
a
∈
N，
b
∈
N
，则
a
＋
b
的最小值为2；
④
x
＋1＝2
x
的解构成的集合有两个元素．
其中正确命题的个数为( )
A．0个
C．2个
B．1个
D．3个
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
[解析] ①最小的数应该是0；②反例：－0.5?
N
， 且0.5?
N
；③当
a
＝0，
b
＝1时，
a
＋
b
＝1；④因为元素的互异性，故集合中有一个元素．
[答案] A
12．若以集合
A
的四个元素
a
，
b
，
c
，
d
为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形
C．菱形
B．平行四边形
D．矩形
[解析] 由于
a
，
b
，
c
，
d
四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四 条边都不相等．
[答案] A

13．已知集合
P
中元素
x
满足：
x
∈N，且2<
x
<
a
，又集合
P
中恰有三个元素，则整数
a
＝________.
[解析] ∵
x
∈N,2<
x
<
a
，且集合
P
中恰有三个元素，
∴整数
a
为6.
[答案] 6
14．若集合
A
中有三个元素1，
a
＋
b
，
a；集合
B
中有三个元素0，，
b
.若集合
A
与集
合
B
相等，则
b
－
a
的值为______．
[解析] 由题意可知
a
＋
b
＝0且
a
≠0，∴< br>a
＝－
b
，
∴＝－1.∴
a
＝－1，
b< br>＝1，故
b
－
a
＝2.
[答案] 2
15．集合
A
中共有3个元素－4,2
a
－1，
a
，集合
B< br>中也共有3个元素9，
a
－5,1－
a
，
现知9∈
A
且集合
B
中再没有其他元素属于
A
，能否根据上述条件求出实数a
的值？若能，
则求出
a
的值，若不能，则说明理由．
[解] ∵9∈
A
，∴2
a
－1＝9或
a
＝9，
若2a
－1＝9，则
a
＝5，此时
A
中的元素为－4,9,25；< br>B
中的元素为9,0，－4，显然－4
∈
A
且－4∈
B
，与已知矛盾，故舍去．
若
a
＝9，则
a
＝±3，当
a
＝3时，
A
中的元素为－4,5,9；
2
2
2
b
a
b
a
B
中的元素为9，－2，－2，
B
中有两个 －2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当
a
＝－3时，
A
中 的元素为－4，－7,9；
B
中的元素为9，－8,4，符合题意．
综上所述，满足条件的
a
存在，且
a
＝－3.