北京高中数学 名师-高中数学必修三答案解析
细节决定成败——集合问题中的陷阱
集合是数学中的最原始的概念之一，集合语言是现
代数学的基本语言。在每年的高考中必考，
且以选择题为主，难度不大，属高考试题中的送分题。但它涉
及到中学数学的各个环节，稍
不注意，就会出错。为了跳出出题者所设计的陷阱，就必须注意集合中的一
些细节，细节决
定成败。
细节1、把握集合元素形式
例1
设集合A＝｛平面上的直线｝，B＝｛平面上的圆｝，则A
?
B中的元素最多有
个．
错解： 由直线与圆的位置关系可知，最多有２个故填２。
错因分析：
上述解法把集合A、B中元素为误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的
位置关系了。
正解：集合Ａ中的元素形式是直线，集合Ｂ中的元素形式是圆，既是直线又是圆的是什
么呢？故填０个。
例2 设集合A＝{y∣y＝
x
2
＋1，
x
?
R
}，B＝{x∣y＝
x
＋2}，求Ａ∩Ｂ．
错解：
显然Ａ＝｛y∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛
x
∣ｙ≥２｝．所以A∩B=B．
错因分析
错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，是表示函
数的值域。但集合B中的元素
为
x
,是表示函数的定义域。
正解：A＝{ｙ∣ｙ≥1} B＝{
x
∣
x
≥0}，所以故A∩B=A
妙招：要认识集合：一看元素
，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意
义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域
等，解决这一类问题时，一定要抓住集合中
元素的形式，只有弄清了它们所具有的形式，才能准确地判断
集合间的关系，进而进行相关
的运算。解题时应认真领会，以防出错．
细节2、
检验集合中元素的互异性
例３
已知集合A={１，3，
a
}，B={１，
a
－
a
＋１},
且A
?
B，求
a
的值．
错解：经过分析知，若
a<
br>－
a?1?3,
则
a
22
2
?a?2?0,
即
a??1
或
a?2
．若
a
2
?a?1?a,则
a
2
?2a?1?0,
即
a?1
．从而
a<
br>＝－１，１，２．
正解：经过分析知，若
a
－
a?1?3,<
br>则
a
22
?a?2?0,
即
a??1
或
a?
2
．若
a
2
?a?1?a,
则
a
2
?2a?1?0,
即
a?1
．从而
a
＝－１，１，２．而
当
a
＝１时，Ｂ中
有两个相同的元素1，与互异性矛盾，应舍去，故
a
＝－１，２．
例４ 设Ａ＝｛ｘ∣
x
2
＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ
?
R｝，求Ａ中所有元素之和．
错解１：集合Ａ中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为－（ｂ＋
２）。
错解２：由
x
2
＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得
（ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０
（１）当ｂ＝０时，ｘ
1
＝x
2
＝－１，此时Ａ中的元素之和为－２．
（２）当ｂ
?
０时，ｘ
1
＋x
2
＝－ｂ－２．
错因分析 上述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．
正解：集合Ａ中的元素
是方程的根，由于
??(b?2)?4(b?1)?b
，故当ｂ＝０时，
方程有二重根
－１，由集合中元素的互异性，集合Ａ＝｛－１｝，所以元素之和为－１；当ｂ
22
?
０时，ｘ
1
＋x
2
＝－ｂ－２．
妙招：集合元素的确定性，互
异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差
之毫厘则失之千里．要注意分类，注意求得结果
后再代入检验。
细节３、牢记空集的特殊性
例５
设集合Ａ＝｛ｘ∣
x
2
－２ｘ－３＝０｝Ｂ＝｛x|
ax-1=0｝且Ａ
?
Ｂ＝Ｂ，求实
数
a
的值。
错解
：由Ａ＝｛３，－１｝Ｂ＝｛
11
｝又Ａ
?
Ｂ＝Ｂ故Ｂ
?
Ａ
所以
a?或?1
a
3
错因分析
忽视了Ｂ＝
?
的情形．
正解：由Ａ＝｛３，－１｝，Ｂ集合是方程ax-1=0的根
，当a＝０时，方程无根，此时集
合Ｂ为空集，满足题意。当a不为０时，Ｂ＝｛
０。
例６、已知
A?
?
x|?1?x?4
?
，
B?
?
x|m?1?x?2m?1
?
，求当
B?A
求实数m的
取值
范围。
111
｝所以
a?或?1
综合可得
a?或?1
或<
br>a
33
?
m?1?2m?1
5
?
错解：要使
B?A
，应有
?
m?1??1
解得：
2?m?
.
2
?
2m?1?4
?
错因分析：错解忽略了
B??
时的情况，因为当
B?
?
时，
B?A
亦成立。
正解：（1）当
B?
?
时，由错解可得：
2?m?
（2）当
B?
?
时，
m?1?2m?1
，
解得：
m?2
，所以m的取值范围为：
m?
5
。
2
5
。
2
妙招：涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，注意集合是否为空集，即在限制条件 <
br>下均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集
易产生丢
解的情况.解题时一定要慎重审题，周密考虑。
细节４、挖掘隐含条件
例７ 设全集Ｕ＝
｛２，３，
a
2
＋２
a
－３｝，Ａ＝｛∣２
a
－１
∣，２｝，
C
U
A
＝｛５｝，
求实数
a
的值．
错解：∵
C
U
A
＝｛５｝，∴ ５
?
Ｕ且 ５?
Ａ，从而，
a
2
＋２
a
－３＝５，解得
a<
br>＝
２，或
a
＝－４．
错因分析
导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以首先必须满足
Ａ
?
Ｕ．
正解：当
a
＝２时，∣２
a
－１∣＝３
?
Ｕ，符合
题意；当
a
＝－４时，∣２
a
－１∣＝
９
?
U，不
符合题意；故
a
＝２．
妙招：在许多问题的题设中隐藏着某些条件，解题时，要注意
题设中的细节，养成细心、
规范解题的好习惯。
细节５、注意等价转换
例８、设集合Ｍ＝
?
(x,y)|
求实数a.
错解：集合M表示直线y=x -2上的点的集合，集合N表示直线y=(1-a)x+1上的点的集合
。
又
M?N??
（即两直线平行时），故1-a=1，即
a?0
。
错因分析：将集合M转化为直线y=x -2上的点的集合是不等价的，它应除去点（1，-1）。
正解：集合M表示直线y=x -2上的不包括点（１，－１）的点的集合，集合N表示直线
y
=(1-a)x+1上的点的集合。又
M?N??
（即两直线平行时），故1-a=1，即a?0
。或当集
?
?
y?1
?
?1
?
Ｎ＝
?
?
x,y
?
(a?1)x?y?1
?
且
M?N??
x?1
?
合N表示的直线过这个点时，也符合M?N??
，所以把点（１，－１）代入直线y=(1-a)x+1，
解得a=3。
故a=0或3。
妙招：对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语
言，如果转
化不等价，就会导致错误。解题时要注意条件的充分性、必要性和充要性。非常熟练三种语<
br>言的相互转化。
细节６、理解符号的含义
例9. 如图所示，A、B是两个非空集合
，定义
A?B?
?
x|x?A且x?B
?
，则Ａ－（Ａ－
Ｂ
）是下图中的（ ）
A. I B. II C. III D.
I
?
II
?
III
错解：因Ａ－（Ａ－Ｂ）表示属于Ｂ而不属于Ａ，应选C。
错因分析：上述解法对新定义符号
“－”的理解不当，致使Ａ－（Ａ－Ｂ）在迁移运用时
出现错误。
正解：Ａ－（Ａ－Ｂ）的正确理解应是属于Ａ而不属于集合Ａ－Ｂ，而A-
B为图中的区域
I，故Ａ－（Ａ－Ｂ）应为图中的区域II，应选B。
妙招：集合中的符号语
言极具抽象性，准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键。对
于某些新定义的集合问题，需要准确把
握即时定义，理解定义中新符号的含义，“以旧带新”
实现问题的转化。
以上就是学习集合必
须注意的六个细节，把握住这些细节，就能跳出陷阱，做到高考“送
分题，一分也不能少”。