晶体公式三年高考文科数学真题分类专题13-等差与等比数列

考纲解读明方向


考点

内容解读

要求

常考题型

预测热度

1.等差数列及其
性质
①理解等差数列的概念;
②掌握等差数列的通项公式与前n项
和公式;
③能在具体的问题情境中识别数列的
理解
选择题
★★★
填空题
2.等差数列
前n项和公式
等差关系,并能用有关知识解决相应
的问题;
④了解等差数列与一次函数的关系

选择题
掌握
填空题
★★★
分析解读 1.理解等差数列的概念、等差数列的通项公式与前n项和公式.2.体会 等差数列与一次函
数的关系,掌握等差数列的一些基本性质.3.命题以求a
n
,S< br>n
为主,考查等差数列相关性质.4.本节内容
在高考中主要考查数列定义、通项公式、 前n项和公式及性质,分值约为5分,属中低档题.

考点

内容解读

要求

常考题型

预测热度

1.等比数列及其
性质
①理解等比数列的概念;
②掌握等比数列的通项公式与前n项
和公式;
③能在具体的问题情境中识别数列的
理解
选择题
填空题
解答题
选择题
★★★
2.等比数列前
n项和公式
等比关系,并能用有关知识解决相应
掌握
的问题;
解答题
④了解等比数列与指数函数的关系

填空题 ★★★
分析解读 1.理解等比数列的概念、掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.2.体会等比数列与指

数函数的关系.3.求通项公式、求前n项和及等比数列相关性质的应用是高考热点.
2018年高考全景展示
1.【2018年文北京卷】】“十二平均律” 是通用的音律体 系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半
音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个 纯八度音程分成十二份，依次得到十
三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的 频率的比都等于
音的频率f
，
则第八个单音频率为
A. B. C. D.
.若第一个单
【答案】D
【解析】分析：根据等比数列的定 义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质
可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为
，故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断< br>，所以，又，则
方法主要有如下两种：（1）定义法，若
列
（
中，）或
且
（
（
）， 数
），是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列
是等比数列.
是等差数列，且< br>则数列
2.【2018年文北京卷】设
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求
【答案】（I ） （II）
的通项公式；
.
.

的方程组，求解，代入 通项公式可得；（2）【解析】分析：（1）设公差为，根据题意可列关于
由（1）可得，进而可利用等 比数列求和公式进行求解.


点睛：等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量
体现了用方程组解决问题的思想.
3.【2018年全国卷Ⅲ文】等比数列
（1）求的通项公式；
的前项和．若
或
，求．
（2）
中，．
，知道其中三个 可求另外两个，
（2）记为
【答案】（1）
【解析】分析：（1）列出方程，解出q可 得；（2）求出前n项和，解方程可得m。
详解：（1）设
故
的公比为，由题设得
或．
．由已知得，解得（舍去），或．
（2）若
若，则
，则
．由
．由
得
得
，解得
，此方程没有正整数解．
．综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。
4.【2018年新课标I卷文】已知数列
（1）求
（2）判断数列
；
满足，，设．
是否为等比数列，并说明理由；

（3）求的通项公式．
-
【答案】(1) b
1
=1，b
2
=2，b
3
=4．(2) {b
n
}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析.(3) a
n
=n·2
n1
．
【解析】分析：(1)根据题中条件所给的数 列的递推公式，将其化为
a
n+1
=
b
2
=2，b
3
=4．
，分别令n=1和n=2，代入上式求得a
2
=4和a
3
=12，再利用，从而求得b
1
=1，
(2)利用条件可以得到，从而 可以 得出b
n+1
=2b
n
，这样就可以得到数列{b
n
}是首 项为1，公
比为2的等比数列．(3)借助等比数列的通项公式求得，从而求得a
n
= n·2
n1
．
-

点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到 的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据
不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递 推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列
是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列
通项 公式，从而求得最后的结果.
的通项公式，借助于的通项公式求得数列的

2017年高考全景展示
1.【2017浙江，6】已知等差数列{a
n
} 的公差为d，前n项和为S
n
，则“d>0”是“S
4
+ S
6
>2S
5
”的
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
【答案】C
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

【解析】

【考点】

等差数列、充分必要性

【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套 入与简单运算，可知
，则是的充分条件，若，则， 结合充分必要性的判断，若
是的必要条件，该题“”“”，故为充要条件．
2.【2017江苏，9】等比数列
▲ .

【答案】32
【解析】当
的各项均为实数,其前项的和为,已知,则=
时，显然不符合题意；
当时，，解得，则.
【考点】等比数列通项

【名师点睛】在解决等差、等 比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题
简化为一元问题,虽有一定量的运 算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是
两种数列基本规律的深刻体现，是 解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应
用.但在应用性质时要注意性质的前提条 件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算
问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

3.【2017课标1，文17】记
S
n
为等比数列的前
n
项和，已知
S
2
=2
，
S
3
=-6
．

（
1
）求的通项公式；

（
2
） 求
S
n
，并判断
S
n
+1
，
S
n
，
S
n
+2
是否成等差数列
．

【答案】（1）
【解析】
；（2），证明见解析．
试题分析：（1）由等比数列通项公式解得
成等差数列．
，；（2）利用等差中项证 明S
n+1
，S
n
，S
n+2

【考点】等比数列

【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体 现，是解决等差、等比数列问题
既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的 前提条件，有时需要进行
适当变形．

在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用
“
巧用性质、整体考虑、减少运算量
”
的
方法．

4.【2017课标II，文17】已知等差数列

(1)
若
（2
）若
【答案】（Ⅰ）
，求
，求
.
；（Ⅱ）当时，
.
当时，
.
的通项公式；

的前项和为，等比数列的前项和为，

【解析】试题分析：（
1
）根 据等差数列及等比数列通项公式，表示条件，得关于公差与公比的方程
组，解方程组得公比，代入等比数 列通项公式即可，（
2
）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，
求公差，再根据等 差前三项求和
.

【考点】等差、等比数列通项与求和

【名师 点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路
,
一是利用基本量
,将多元问题简
化为一元问题
,
虽有一定量的运算
,
但思路简洁< br>,
目标明确
;
二是利用等差、等比数列的性质
,
性质是两种< br>数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用
.
但
在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形
.
在解决等差、等比数列的运算问题时，
经常采用
“
巧用性质、整体考虑、减少运算量
”
的方法
.

2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标2文数】等差数列{
（Ⅰ）求{
（Ⅱ） 设
}的通项公式；
，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
}中，.

【答案】（Ⅰ）
【解析】
；（Ⅱ）24.
试题分析：(Ⅰ) 题目已知数列{
，，从而求得
}是等差数列，根据通项公式列出关 于
表示不超过的最大整数，求
，的方程，解方程求得
，需要对分类讨论，；（Ⅱ）根据 条件
再求数列的前10项和.

考点：等差数列的性质 ，数列的求和. 【名师点睛】求解本题会出现以下错误：①对“
2.【2016高考北京文数】（本小题13分）
已知
（1）求
是等差数列，
的通项公式；
是等差数列，且，，，.
表示不超过的最大整数”理解出错；
（2）设，求数列的前
n
项和.


【答案】（1）
【解析】
（，，，）；（2）
试题分析：（Ⅰ）求出等比数列
求解；
的公比，求出，的值，根据等差数列的通项公 式
（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列的前项和.
试题解析：（I）等比数列的公比，
所以
设等差数列
因为
所以所以
，
的公差为
，
，即
（
．
．
．
，
，，，）．

考点：等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.
【名师点睛】1.数列的 通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应

用.数列以通项 为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和S
n
可视为数列
{S
n
}的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及 到的数学思
想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到 一般思想(如：
求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，
3.【2016高考四川文 科】（本小题满分12分）
已知数列{
（Ⅰ）若
}的首项为1， 为数列的前n项和，
的通项公式；
，其中q>0， .
或)等.
成等差数列，求
（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，求
.
【答案】（Ⅰ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）已知
减，利用
；（Ⅱ）.
的递推式
，得出数列< br>，一般是写出当
的递推式，从而证明
时，，两式相
为等比数列，利用等比数列的 通项
解出的值，最后利公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到
用等比数列的求和 公式求解计算.
的表达式，再由

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.

所以双曲线
由解得
的离心率
.所以，
.
，
考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式