高中数学教师提高素养-高中数学竞赛进省dui行难吗
1.1.3 集合的基本运算
整体设计
教学分析 课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同
时,结合相关
内容介绍子集和全集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思
考的方法,如类比等. <
br>值得注意的问题:在全集和补集的教学中,应注意利用图形的直观作用,帮助学生理解
补集的概念
,并能够用直观图进行求补集的运算.
三维目标
1.理解两个集合的并集与交集、全集的含
义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方
法,会求给定子集的补集,感受集合作为一种语言,在表示数
学内容时的简洁和准确,进一
步提高类比的能力.
2.通过观察和类比,借助Venn图理解
集合的基本运算.体会直观图示对理解抽象概念
的作用,培养数形结合的思想.
重点难点
教学重点:交集与并集、全集与补集的概念.
教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.我们知道,实数有加法运
算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加
法运算,集合是否也可以“相加”呢?教师直接
点出课题.
思路2.请同学们考察下列各个集合,你能说出集合
C
与集合
A
,
B
之间的关系吗?
(1)
A
={1,3,5},
B
={2,4,6},
C
={1,2,3,4,5,6};
(2)
A
={
x
|
x
是有理数},
B
={
x<
br>|
x
是无理数},
C
={
x
|
x
是
实数}.
引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师强调集合也有运算,这就是我
们本节课所要学习的内容.
思路3.(1)①如图1甲和乙所示,观察两个图的阴影部分,它们分别
同集合
A
、集合
B
有什么关系?
图1
②观察集合
A
,
B
与集合
C
={1
,2,3,4}之间的关系.
学生思考交流并回答,教师直接指出这就是本节课学习的课题:集合的基本运算.
(2)①已
知集合
A
={1,2,3},
B
={2,3,4},写出由集合
A<
br>,
B
中的所有元素组成的集合
C
.
②已知集合
A<
br>={
x
|
x
>1},
B
={
x
|<
br>x
<0},在数轴上表示出集合
A
与
B
,并写出由集合
A
与
B
中的所有元素组成的集合
C
.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)通过上述问题中集合
A
,
B
与集合
C
之间的关系,类
比实数的加法运算,你发现了什
么?
(2)用文字语言来叙述上述问题中,集合
A<
br>,
B
与集合
C
之间的关系.
(3)用数学符号来叙述上述问
题中,集合
A
,
B
与集合
C
之间的关系.
(4)试用Venn图表示
A
∪
B
=
C
.
(5)请给出集合的并集定义.
(6)求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗?
请同学们考察下面
的问题,集合
A
,
B
与集合
C
之间有什么关系?
①
A
={2,4,6,8,10},
B
={3,5,8,12},
C
={8};
②
A
={
x
|
x
是国兴中学
2012年9月入学的高一年级女同学},
B
={
x
|
x
是
国兴中学2012
年9月入学的高一年级男同学},
C
={
x
|x
是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}.
(7)类比集合的并集,请给出集合的交集定义,并分别用三种不同的语言形式来表达.
活动
:先让学生思考或讨论问题,然后再回答,经教师提示、点拨,并对回答正确的学
生及时表扬,对回答不
准确的学生提示引导考虑问题的思路,主要引导学生发现集合的并集
和交集运算并能用数学符号来刻画,
用Venn图来表示.
讨论结果:(1)集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的
运算相混
淆,规定这种运算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合
C
叫集合<
br>A
与
B
的并集.记
为
A
∪
B
=C
,读作
A
并
B
.
(2)所有属于集合
A<
br>或属于集合
B
的元素组成了集合
C
.
(3)
C
={
x
|
x
∈
A
,或
x
∈
B
}.
(4)如图1所示.
(5)一般地,由所有属于集
合
A
或属于集合
B
的元素所组成的集合,称为集合
A
与B
的
并集.其含义用符号表示为
A
∪
B
={
x
|
x
∈
A
,或
x
∈
B
},用Ve
nn图表示,如图1所示.
(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合,这种运算叫求集合的
交集,记作
A
∩
B
,读作
A
交
B
.①A
∩
B
=
C
,②
A
∪
B
=<
br>C
.
(7)一般地,由属于集合
A
且属于集合
B
的
所有元素组成的集合,称为
A
与
B
的交集.
其含义用符号表示为:
A
∩
B
={
x
|
x
∈
A
,且
x
∈
B
}.
用Venn图表示,如图2所示.
图2
应用示例
例1 集合
A
={
x
|
x
<5},
B
={
x
|
x<
br>>0},
C
={
x
|
x
≥10},则
A∩
B
,
B
∪
C
,
A
∩
B∩
C
分别
是什么?
活动:学生先思考集合中元素的特征,明确集合中的
元素.将集合中元素利用数形结合
在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行.这三个集合都是用描述法
表示的数集,求集合
的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素.
解:因为
A
={
x
|
x
<5},
B
={
x
|
x
>0},
C
={
x
|
x
≥10},
在数轴上表示,如图3所示,
所以
A
∩
B
={
x
|
0<
x
<5},
B
∪
C
={
x
|
x
>0},
A
∩
B
∩
C
=
?
.
图3
点评:本题主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集时,①明确集合
中的元素;
②依据并集和交集的含义,直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.
变式训练
1.设集合
A
={
x
|
x
=2
,
n
∈N},
B
={
x
|
x
=2
n
,
n
∈N},求
A
∩
B
,
A
∪
B
.
解:对任意
m
∈
A
,则有
m
=2=2·2
nn
-1
n
*
,
n
∈N,因
n
∈N,故
n
-1∈N,有2
**
n
-1
∈N,
那么
m
∈
B
,即对任意
m
∈
A
有
m
∈
B
,所以
A
?
B
.
而10
∈
B
但10
?
A
,即
AB
,那么
A
∩
B
=
A
,
A
∪
B
=
B
.
2.求满足{1,2}∪
B
={1,2,3}的集合
B
的个数. <
br>解:满足{1,2}∪
B
={1,2,3}的集合
B
一定含有元素3,
B
={3};还可含1或2其中
一个,有{1,3},{2
,3};还可含1和2,即{1,2,3},那么共有4个满足条件的集合
B
.
3.
设集合
A
={-4,2,
a
-1,
a
},
B
={9,
a
-5,1-
a
},已知
A
∩
B
={9},求
a
.
解:∵
A
∩
B
={9},则
9∈
A
,
a
-1=9或
a
=9.
∴
a
=10或
a
=±3.
当
a
=10时,
a
-5=5,1-
a
=-9;
当
a
=3时,
a
-1=2不合题意;
当
a
=-3时,
a
-1=-4不合题意.
故
a<
br>=10.此时
A
={-4,2,9,100},
B
={9,5,-9}
,满足
A
∩
B
={9}.
4.设集合
A
={x
|2
x
+1<3},
B
={
x
|-3<x
<2},则
A
∩
B
等于( )
A.{
x
|-3<
x
<1}
B.{
x
|1<
x
<2}
C.{
x
|
x
>-3}
D.{
x
|
x
<1}
解析:集合
A
={
x
|2
x
+1<3}={
x
|
x
<1},
观察或由数轴得
A
∩
B
={
x
|-3<
x
<1}.
答案:A
例2 设集合
A
={
x
|
x
+4
x
=0},
B
={
x
|
x
+2(
a
+1)
x
+
a
-1=0,
a
∈R
},若
A
∩
B
=
B
,
求
a
的值.
活动:明确集合
A
,
B
中的元素,教师和学生共同探讨满足
A
∩
B
=
B
的集合
A
,
B
的关系
.集
合
A
是方程
x
+4
x
=0的解组成的集合,可
以发现,
B
?
A
,通过分类讨论集合
B
是否为空集
来求
a
的值.利用集合的表示法来认识集合
A
,
B
均是方程
的解集,通过画Venn图发现集合
2
222
2
2
A
,B
的关系,从数轴上分析求得
a
的值.
解:由题意得
A
={-4,0}.
∵
A
∩
B=
B
,∴
B
?
A
.
∴
B
=
?
或
B
≠
?
.
当
B
=
?
时,即关于
x
的方程
x
+2(<
br>a
+1)
x
+
a
-1=0无实数解,
22
则Δ=4(
a
+1)-4(
a
-1)<0,解得
a
<-1.
当
B
≠
?
时,若集合
B
仅含有一个元素,则Δ=4
(
a
+1)-4(
a
-1)=0,解得
a
=-1,
22
22
此时,
B
={
x
|
x
=0}=
{0}?
A
,即
a
=-1符合题意.
若集合
B
含有两个元素,则这两个元素是-4,0,
即关于
x的方程
x
+2(
a
+1)
x
+
a
-1
=0的解是-4,0.
?
?
-4+0=-2(
a
+1),
则有
?
2
?
-4×0=
a
-1.
?
22<
br>2
解得
a
=1,则
a
=1符合题意.
综上所得,
a
=1或
a
≤-1.
变式训练
1.已知非空集合
A
={
x
|2
a+1≤
x
≤3
a
-5},
B
={
x
|
3≤
x
≤22},则能使
A
?(
A
∩
B
)
成立的所有
a
值的集合是什么?
?
2a?1?3a?5,
?
解:由题意知
A
?(
A
∩
B
),即
A<
br>?
B
,
A
非空,利用数轴得
?
2a?1?3,
解得
?
3a?5?22.
?
6≤
a
≤9,即所有
a
值的集合是{
a
|6≤
a
≤9}.
2.已知集合
A
={
x
|-2≤
x
≤5},集合
B
={
x
|
m
+1≤
x
≤2
m
-1},且
A<
br>∪
B
=
A
,
试求实数
m
的取值范围. 分析:由
A
∪
B
=
A
得
B
?
A
,则有
B
=
?
或
B
≠
?
,因此
对集合
B
分类讨论.
解:∵
A
∪
B
=
A
,∴
B
?
A
.
又∵
A
={
x<
br>|-2≤
x
≤5}≠
?
,∴
B
=
?
,或
B
≠
?
.
当
B
=
?
时,有
m
+1>2
m
-1,∴
m
<2.
当
B
≠
?
时,观察图4:
图4
?<
br>m?1?2m?1,
?
由数轴可得
?
?2?m?1,
解得2≤
m
≤3.
?
2m?1?5.
?
综上所述,实数
m
的取值范围是
m
<2或2≤
m
≤3,即
m
≤3.
点评:本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想,以及集合间关系的应用.已
知两个集合的运
算结果,求集合中参数的值时,由集合的运算结果确定它们的关
系,通过深刻理解集合表示法的转换,把
相关问题化归为其他常见的方程、不等
式等数学问题.这称为数学的化归思想,是数学中的常用方法,学
会应用化归和
分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
知能训练
课本本节练习1,2,3.
【补充练习】
1.设集合
A
={3,5,6,8},
B
={4,5,7,8},
(1)求
A
∩
B
,
A
∪
B
.
(2)用适当的符号(?,?)填空:
A
∩
B
________<
br>A
,
B
________
A
∩
B
,
A
∪
B
________
A
,
A
∪
B________
B
,
A
∩
B
________
A
∪
B
.
解:(1)因
A
,
B
的公共元素为5,8,故两集合的公共部分为5,8,
则
A
∩<
br>B
={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.
又
A
,
B
两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8,故
A
∪
B<
br>={3,4,5,6,7,8}.
(2)由Venn图可知
A
∩
B
?
A
,
B
?
A
∩
B
,
A
∪
B
?
A
,
A
∪
B
?
B
,
A
∩
B
?
A
∪
B
.
2.设
A
={
x
|
x
<5},
B
={x
|
x
≥0},求
A
∩
B
.
解:因
x
<5及
x
≥0的公共部分为0≤
x
<5,
故
A
∩
B
={
x
|
x
<5}∩{
x
|
x
≥0}={
x
|0≤
x
<5}.
3.设
A
={
x
|
x
是锐角三角形},
B
={
x
|
x
是直角三角形},求
A
∩
B<
br>.
解:因三角形按角分类时,锐角三角形和直角三角形彼此孤立,故
A
,B
两集合没有公
共部分.
所以
A
∩
B
={<
br>x
|
x
是锐角三角形}∩{
x
|
x
是钝角三
角形}=
?
.
4.设
A
={
x
|
x>-2},
B
={
x
|
x
≥3},求
A
∪
B
.
解:在数轴上将
A
,
B
分别表示出来,
得
A
∪
B
={
x
|
x
>-2}.
5.设
A
={
x
|
x
是平行四边形},
B
={
x
|
x
是矩形},求
A
∪
B
. <
br>解:因矩形是平行四边形,故由
A
及
B
的元素组成的集合为
A
∪
B
,
A
∪
B
={
x
|
x
是平行
四边形}.
6.已知
M
={1},
N
=
{1,2},设
A
={(
x
,
y
)|
x
∈
M
,
y
∈
N
},
B
={(
x,
y
)|
x
∈
N
,
y
∈
M<
br>},
求
A
∩
B
,
A
∪
B
.
分析:
M
,
N
中的元素是数,
A
,
B中的元素是平面内的点集,关键是找其元素.
解:∵
M
={1},
N<
br>={1,2},∴
A
={(1,1),(1,2)},
B
={(1,1
),(2,1)},故
A
∩
B
={(1,1)},
A
∪B
={(1,1),(1,2),(2,1)}.
7.若
A
,
B
,
C
为三个集合,
A
∪
B
=
B
∩
C
,则一定有( )
A.
A
?
C
B.
C
?
A
C.
A
≠
C
D.
A
=
?
解析:思路一:∵(
B
∩
C
)?
B
,(
B
∩
C
)?
C
,A
∪
B
=
B
∩
C
,
∴
A<
br>∪
B
?
B
,
A
∪
B
?
C<
br>.∴
A
?
B
?
C
.∴
A
?
C
.
思路二:取满足条件的
A
={1},
B
={1,2}
,
C
={1,2,3},排除B,D,
令
A
={1,2},
B
={1,2},
C
={1,2},则此时也满足条件
A
∪
B
=
B
∩
C
,
而此时
A
=
C
,排除C.
答案:A
拓展提升
观察:(1)集合
A
={1,2},
B
={1,2,3,4}时,
A
∩
B
,
A
∪
B
这两个运算结果与集合
A
,
B
的关系;
(2)当A
=
?
时,
A
∩
B
,
A
∪<
br>B
这两个运算结果与集合
A
,
B
的关系;
(3)当
A
=
B
={1,2}时,
A
∩
B
,
A
∪
B
这两个运算结果与集合
A
,
B
的关系.
由(1)(2)(3)你发现了什么结论?
图5
活动:依据集合的交集和并集的含义写出运算结果,并观察与集合
A
,
B
的关系.用Venn
图来发现运算结果与集合
A
,
B的关系.(1)(2)(3)中的集合
A
,
B
均满足
A
?
B
,用Venn图
表示,如图5所示,就可以发现
A
∩
B
,
A
∪
B
与集合
A
,
B
的关系.
解:
A
∩
B
=
A
?
A
?
B
?
A
∪
B
=
B
.
用类似方法,可以得到集合的运算性质,归纳如下:
A
∪
B
=B
∪
A
,
A
?(
A
∪
B
),
B
?(
A
∪
B
);
A
∪
A
=
A
,
A
∪
?
=
A
,
A
?
B
?
A
∪
B
=
B
;
A∩
B
=
B
∩
A
;(
A
∩
B<
br>)?
A
,(
A
∩
B
)?
B
;
A
∩
A
=
A
;
A
∩
?
=
?
;
A
?
B
?
A
∩
B
=
A
.
课堂小结
本节主要学习了:
1.集合的交集和并集.
2.通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集.
作业
1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律?
2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集、交集和补集的现实含义.
3.书面作业:课本习题1.1,A组,6,7,8.
设计感想
由于本节
课内容比较容易接受,也是历年高考的必考内容之一,所以在教学设计上注重
加强练习和拓展课本内容.
设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果,这是突
破本节教学难点的有效方法.
第2课时
作者:赵冠明
导入新课
问题:①分别在整数范围和实数范围内
解方程(
x
-3)(
x
-3)=0,其结果会相同吗?
②若集合<
br>A
={
x
|0<
x
<2,
x
∈Z},
B
={
x
|0<
x
<2,
x
∈R},则集合A
,
B
相等吗?
学生回答后,教师指明:在不同的范围内集合中的元素
会有所不同,这个“范围”问题
就是本节学习的内容,引出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①用列举法表示下列集合:
A
={
x
∈Z|(
x
-2)
?
x?
B
={
x
∈Q|(
x-2)
?
x?
C
={
x
∈R|(
x
-
2)
?
x?
?
?
?
?
?
?
1?
?
x?2
=0};
3
?
?
?
?<
br>?
?
?
1
?
?
x?2
=0};
3
?
1
?
?
x?2
=0}.
3
?
②问题①中三个集合相等吗?为什么?
③由此看,解方程时要注意什么?
④问题①中,集合Z,Q,R分别含有所解方程时所涉及的
全部元素,这样的集合称为全
集,请给出全集的定义.
⑤已知全集
U
={1
,2,3},
A
={1},写出全集中不属于集合
A
的所有元素组成的集合<
br>B
.
⑥请给出补集的定义.
⑦用Venn图表示?
U
A
.
活动:组织学生充分讨论、交流,使学生明确集合中的元素,提示学生注意集合中元素
的范围.
???
1
?
1
讨论结果:①
A
={2},
B
=
?
2,-
?
,
C
=
?
2,-
,2
?
.
3
?
3
???
②不相等,因为三个集合中的元素不相同.
③解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程,在不同的范围其解会有所不
同. <
br>④一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为
全集,通常
记为
U
.
⑤
B
={2,3}.
⑥对于一个集合
A
,全集
U
中不属于集合
A
的所有元素组成的集合称为集合
A
相对于全
集
U
的补集.
集合
A
相对于全集U
的补集记为?
U
A
,即?
U
A
={
x
|
x
∈
U
,且
x
?
A
}.
⑦如图6所示,阴影表示补集.
图6
应用示例
思路1
例1 设
U
={
x
|
x
是小于9的正整数},
A
={1,2,3},
B
={3,4,5,6},求?
U
A
,?
U
B
.
活动:让学生明确全集
U
中的元素,回顾补集的定义,用列举法表示全集
U
,
依据补集
的定义写出?
U
A
,?
U
B
.
解:根据题意,可知
U
={1,2,3,4,5,6,7,8},
所以?<
br>U
A
={4,5,6,7,8},?
U
B
={1,2,7,8
}.
点评:本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合,依据补集的含义,直接
观
察写出集合运算的结果.
常见结论:?
U
(
A
∩
B
)=(?
U
A
)∪(?
U
B
);?
U
(
A
∪
B
)=(?
U
A
)∩(?
U
B
).
变式训练
1.已知集合
U
={1,2,3,4,5,6,
7},
A
={2,4,5,7},
B
={3,4,5},则(?
U<
br>A
)∩(?
U
B
)
等于( )
A.{1,6}
B.{4,5}
C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}
解
析:思路一:观察得(?
U
A
)∩(?
U
B
)={1,3,
6}∩{1,2,6,7}={1,6}.思路二:
A
∪
B
={2,3,4,
5,7},则(?
U
A
)∩(?
U
B
)=?
U(
A
∪
B
)={1,6}.
答案:A
2.设集合<
br>U
={1,2,3,4,5},
A
={1,2,4},
B
={
2},则
A
∩(?
U
B
)等于( )
A.{1,2,3,4,5} B.{1,4}
C.{1,2,4}
D.{3,5}
答案:B
3.设全集
U
={1,2,3,4,5,6,7
},
P
={1,2,3,4,5},
Q
={3,4,5,6,7},则
P
∩(?
U
Q
)
等于( )
A.{1,2}
B.{3,4,5}
C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5}
答案:A
例2 设全集
U
={
x
|
x
是
三角形},
A
={
x
|
x
是锐角三角形},
B={
x
|
x
是钝角三角形}.求
A
∩
B
,?
U
(
A
∪
B
).
活动:学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补
集的含义写出结
果.
A
∩
B
是由集合
A
,
B
中公共元素组
成的集合,?
U
(
A
∪
B
)是全集中除去集
合A
∪
B
中剩下的元素组成的集合.
解:根据三角形的分类可知
A
∩
B
=
?
,
A
∪
B
={
x
|
x
是锐角三角形或钝角三角形}
,
?
U
(
A
∪
B
)={
x
|<
br>x
是直角三角形}.
变式训练
1.已知集合
A
={
x
|3≤
x
<8},求?
R
A
.
解:?
R
A
={
x
|
x
<3,或
x
≥8}.
2.设
S
={
x
|
x
是至少有一组对边平行的四边
形},
A
={
x
|
x
是平行四边形},
B
={
x
|
x
是菱形},
C
={
x
|
x
是矩形},求
B
∩
C
,?
A
B
,?<
br>S
A
.
解:
B
∩
C
={
x
|
x
是正方形},?
A
B
={
x
|
x<
br>是邻边不相等的平行四边形},?
S
A
={
x
|
x<
br>是梯形}.
3.已知全集
I
=R,集合
A
={
x<
br>|
x
+
ax
+12
b
=0},
B
=
{
x
|
x
-
ax
+
b
=0},满足(?<
br>I
22
A
)∩
B
={2},(?
I
B
)∩
A
={4},求实数
a
,
b
的值.
812
解:
a
=,
b
=-.
77
4.设
全集
U
=R,
A
={
x
|
x
≤2+3},
B
={3,4,5,6},则(?
U
A
)∩
B
等于
( )
A.{4} B.{4,5,6} C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
解析:∵
U
=R,
A
={
x|
x
≤2+3},∴?
U
A
={
x
|
x
>2+3}.而4,5,6都大于2+3,
∴(?
U
A
)∩
B
={4,5,6}.
答案:B
思路2
例1 已知全集
U<
br>=R,
A
={
x
|-2≤
x
≤4},
B={
x
|-3≤
x
≤3},求:
(1)?
U
A
,?
U
B
;
(2)(?<
br>U
A
)∪(?
U
B
),?
U
(
A<
br>∩
B
),由此你发现了什么结论?
(3)(?
U
A
)∩(?
U
B
),?
U
(
A
∪
B
),由此你发现了什么结论?
活动:学生回想补集的含义,教师指导学生利用数轴来解决.依据补集的
含义,借助于
数轴求得.
解:在数轴上表示集合
A
,
B
,如图7所示,
图7
(1)由图得?
U
A
={
x
|
x<
br><-2,或
x
>4},?
U
B
={
x
|x
<-3,或
x
>3}.
(2)由图得(?
U
A
)∪(?
U
B
)={
x
|
x
<-2,或
x
>4}∪{
x
|
x
<-3,或
x
>3}={
x
|
x
<-2,或
x
>3};∵<
br>A
∩
B
={
x
|-2≤
x
≤4}∩{
x
|-3≤
x
≤3}={
x
|-2≤
x
≤3},
∴?
U
(
A
∩
B
)=?
U
{x
|-2≤
x
≤3}={
x
|
x
<-2,或<
br>x
>3}.
∴得出结论?
U
(
A
∩
B)=(?
U
A
)∪(?
U
B
).
(3)由图
得(?
U
A
)∩(?
U
B
)={
x
|x
<-2,或
x
>4}∩{
x
|
x
<-3,或
x
>3}={
x
|
x
<-3,或
x
>4}
;∵
A
∪
B
={
x
|-2≤
x
≤4}∪{
x
|-3≤
x
≤3}={
x
|-3≤
x
≤
4},∴?
U
(
A
∪
B
)=?
U
{
x
|-
3≤
x
≤4}={
x
|
x
<-3
,或
x
>4}.∴得出结论?
U
(
A
∪
B
)=(?
U
A
)∩(?
U
B
).
变式训练 1.已知集合
U
={1,2,3,4,5,6,7},
A
={2,4,5
,7},
B
={3,4,5},则(?
U
A
)∪(?
UB
)等于( )
A.{1,6} B.{4,5}
C.{1,2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}
答案:D
2.设集合
I
={
x
||
x
|<3,
x
∈
Z},
A
={1,2},
B
={-2,-1,2},则
A
∪
(?
I
B
)等于( )
A.{1} B.{1,2}
C.{2} D.{0,1,2}
答案:D
例2 设全集
U
={<
br>x
|
x
≤20,
x
∈N,
x
是质数},A
∩(?
U
B
)={3,5},(?
U
A
)∩
B
={7,19},
(?
U
A
)∩(?
U
B
)={2,17},求集合
A
,
B
.
活动:学生回顾集
合的运算的含义,明确全集中的元素.利用列举法表示全集
U
,根据
题中所给的条件,
把集合中的元素填入相应的Venn图中即可.求集合
A
,
B
的关键是确定它
们的元素,由于全集是
U
,则集合
A
,
B
中的元素
均属于全集
U
,由于本题中的集合均是有限
集并且元素的个数不多,可借助于Venn
图来解决.
解:
U
={2,3,5,7,11,13,17,19},
由题意借助于Venn图,如图8所示,
图8
∴
A
={3,5,11,13},
B
={7,11,13,19}.
点评:本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力.借助于Venn图分析集合的运
算
问题,使问题简捷地获得解决,将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来,这正体现了
数形结合思想的
优越性.
变式训练
1.设
I
为全集,
M
,
N
,
P
都是它的子集,则图9中阴影部分表示的集合是( )
图9
A.
M
∩[(?
I
N
)∩
P
]
B.
M
∩(
N
∪
P
)
C.[(?
I
M
)∩(?
I
N
)]∩
P
D.
M
∩
N
∪(
N
∩
P
) 解析:思路一:阴影部分在集合
M
内部,排除C;阴影部分不在集合
N
内
,排除B,D.
思路二:阴影部分在集合
M
内部,即是
M
的子集,
又阴影部分在
P
内不在集合
N
内,
即在(?
I
N<
br>)∩
P
内,所以阴影部分表示的集合是
M
∩[(?
I
N
)∩
P
].
答案:A
2.设
U
={1,2,
3,4,5,6,7,8,9},(?
U
A
)∩
B
={3,7},(
?
U
B
)∩
A
={2,8},(?
U
A
)
∩(?
U
B
)
={1,5,6},则集合
A
=______
__,
B
=________.
解析:借助Venn图,如图10,把相关运算的结
果表示出来,自然地就得出集合
A
,
B
了.
图10
答案:{2,4,8,9} {3,4,7,9}
知能训练
课本本节练习4.
【补充练习】
1.设全集
U
=R,
A
={
x
|2
x
+1>0},试用文字语言表述?
U
A
的意义.
解:
A
={
x
|2
x
+1>
0},即不等式2
x
+1>0的解集,?
U
A
中元素均不能使2x
+1>0成立,
即?
U
A
中元素应当满足2
x
+1≤0.∴?
U
A
即不等式2
x
+1≤0的解集.
2
.如图11所示,
U
是全集,
M
,
P
,
S
是
U
的三个子集,则阴影部分表示的集合是________.
图11
解析:观察图可以看出,阴影部分满足两个条件:一是不在集合
S
内;二是在集合
M
,
P
的公共部分内,因此阴影部分表示的集合是集
合
S
的补集与集合
M
,
P
的交集的交集,即
(?<
br>U
S
)∩(
M
∩
P
).
答案:(?
U
S
)∩(
M
∩
P
)
3.设集合
A
,
B
都是
U
={1,2,3,4}的子集,
已知(?
U
A
)∩(?
U
B
)={2},(?
U<
br>A
)∩
B
={1},
则
A
等于( )
A.{1,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{1,4}
解析:如图12所示.
图12
由于(?
U
A
)∩(?
U
B
)={2},(?
U
A
)∩
B
={1},则有?
U
A
={1,2}.∴
A
={3,4}.
答案:C
4.设全集
U
={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S
={1,3,5},
T
={3,6},则?
U
(
S<
br>∪
T
)等于( )
A.
?
B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}
解析
:直接观察(或画出Venn图),得
S
∪
T
={1,3,5,6},则?<
br>U
(
S
∪
T
)={2,4,7,8}.
答案:B
5.已知集合
I
={1,2,3,4},
A
={1},
B<
br>={2,4},则
A
∪(?
I
B
)等于( )
A.{1} B.{1,3} C.{3} D.{1,2,3}
解析:∵?
I
B
={1,3},∴
A
∪(?
I
B<
br>)={1}∪{1,3}={1,3}.
答案:B
拓展提升
问题:某班有学生50人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34人,解对乙题者有28人,两题均解对者有20人,问:
(1)至少解对其中一题者有多少人?
(2)两题均未解对者有多少人?
分析:先利用集合表示解对甲、
乙两道数学题的各种类型,然后根据题意写出它们的运
算,问题便得到解决.
解:设全集为<
br>U
,
A
={只解对甲题的学生},
B
={只解对乙题的学生}
,
C
={甲、乙两题
都解对的学生},则
A
∪
C
=
{解对甲题的学生},
B
∪
C
={解对乙题的学生},
A
∪
B
∪
C
={至少解对一题的学生},?
U
(
A<
br>∪
B
∪
C
)={两题均未解对的学生}.
由已知,
A
∪
C
有34个人,
C
有20个人, <
br>从而知
A
有14个人;
B
∪
C
有28个人,
C
有20个人,所以
B
有8个人.因此
A
∪
B
∪<
br>C
有
N
1
=14+8+20=42(人),?
U
(<
br>A
∪
B
∪
C
)有
N
2
=50-42
=8(人).
∴至少解对其中一题者有42个人,两题均未解对者有8个人.
课堂小结
本节课学习了:
①全集和补集的概念和求法.
②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.
作业
课本习题1.1A组 9,10,B组 4.
设计感想
本节教学设计注重
渗透数形结合的思想方法,因此在教学过程中要重点指导学生借助于
数轴或Venn图进行集合的补集运
算.由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结
合,本节对此也予以体现,可以利用课余时间学
习有关解不等式的知识.
备课资料
【备选例题】
【例1】已知
A
={
y
|
y
=
x
-4
x
+6,
x
∈R,
y
∈N},
B
={
y
|
y
=-
x
-2
x
+7,
x
∈R,
y
∈N},
求
A
∩
B
,并分别用描述法、列举法表示它.
解:
y
=
x
-4
x
+6=(
x
-2)+2
≥2,
A
={
y
|
y
≥2,
y
∈N},
又∵
y
=-
x
-2
x
+7=-(
x
+1)+8≤8,∴
B
={
y
|
y
≤8,
y∈N}.
故
A
∩
B
={
y
|2≤
y
≤8}={2,3,4,5,6,7,8}.
【例2】设
S
={(
x
,
y
)|
xy
>0},
T
={(
x,
y
)|
x
>0,且
y
>0},则( )
A.
S
∪
T
=
S
B.
S
∪
T
=
T
C.
S
∩
T
=
S
D.
S
∩
T
=
?
解析:
S
={
(
x
,
y
)|
xy
>0}={(
x
,y
)|
x
>0且
y
>0,或
x
<0且
y
<0},则
T
?
S
,所以
22
22
22
S
∪
T
=
S
.
答案:A
【例3】某城镇有1 000户居民,其中有819户有彩电,有682户有空调,有535户彩
电和空调都有,则彩电和空调至少有一种的有________户.
解析:设这1 000户居民组成集合
U
,其中有彩电的组成集合
A
,有空调的组成集合
B
,
如图13所示.有彩电无空调的有819-535=284(
户);有空调无彩电的有682-535=
147(户),因此二者至少有一种的有284+147+5
35=966(户).填966.
图13
答案:966
【知识拓展】
差集与补集
有两个集合
A
,
B
,如果集合
C是由所有属于
A
但不属于
B
的元素组成的集合,那么
C
就叫做
A
与
B
的差集,记作
A
-
B
(或<
br>A
B
).
例如,
A
={
a
,b
,
c
,
d
},
B
={
c
,
d
,
e
,
f
},
C
=
A
-
B
={
a
,
b
}.
也可以用Venn图表示,如图14所示(阴影部分表示差集).
图14
图15
特殊情况,如果集合
B
是集合
I
的子集
,我们把
I
看作全集,那么
I
与
B
的差集
I
-
B
,
叫做
B
在
I
中的补集,记作
B<
br>.
例如,
I
={1,2,3,4,5},
B
={1,2,3
},
B
=
I
-
B
={4,5}.
也可以用Venn图表示,如图15所示(阴影部分表示补集).
从集合的观点来看,非负整
数的减法运算,就是已知两个不相交集合的并集的基数,以
及其中一个集合的
基数,求另一个集合的基数,也可以看作是求集合
I
与它的子集
B
的差集的基数.