高中数学必修1 第一章 集合与常用逻辑用语1.5.1

1．5 全称量词与存在量词
1．5.1 全称量词与存在量词
学习目标
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.
理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．

知识点 全称量词和存在量词


量词
符号
命题
命题形式


1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( × )
2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √ )
3．“三角形内角和是180°”是全称量词命题．( √ )
全称量词
所有的、任意一个
?
含有全称量词的命题是全称量词命题
“对M中任意一个x，p(x)成立”，可
用符号简记为“?x∈M，p(x)”
存在量词
存在一个、至少有一个
?
含有存在量词的命题是存在量词命题
“存在M中的元素x，p(x)成立”，可
用符号简记为“?x∈M，p(x)”

一、全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1 (1)下列语句不是存在量词命题的是 ( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．存在x∈R,2x＋1是奇数
答案 C
解析 因为“有的”“存在”为存在量 词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为
存在量词命题，选项C为全称量词命题．
(2)给出下列几个命题：
①至少有一个x，使x
2
＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x
2
＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x
2
＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x
2
＋2x＋1＝0成立．
其中是全称量词命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 B
解析 因为“至少有一个” 、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存
在量词命题，②③为全称量词命题，所以 全称量词命题的个数为2.
反思感悟 全称量词命题或存在量词命题的判断

注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
跟踪训练1 下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①②是全称量词命题，③是存在量词命题．
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假．
(1)?x∈Z，x
3
<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)?x∈N，x
2
>0.
解 (1)因为－1∈Z，且(－1)
3
＝－1<1，
所以“?x∈Z，x
3
<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N ,0
2
＝0，所以命题“?x∈N，x
2
>0”是假命题．
反思感悟 全称量词命题和存在量词命题真假的判断

(1)要判断一个全称量 词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；但要
判断一个全称量词命题为假时 ，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．
(2)要判断一个存在量词命题为真， 只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；
要判断一个存在量词命题为假，必须对于给 定集合的每一个元素x，命题p(x)为假．
跟踪训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1)?x∈N,2x＋1是奇数；
1
(2)存在一个x∈R，使＝0.
x－1
解 (1)是全称量词命题，因为?x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
1
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使
＝0成立，所以该命题是假命题．
x－1
三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.
(1)若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)命题q：“?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
解 (1)由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，
所以B?A，B≠?，
m＋1≤2m －1，
?
?
所以
?
m＋1≥－2，
?
?
2 m－1≤5，
解得2≤m≤3.
(2)q为真，则A∩B≠?，
因为B≠?，所以m≥2.



?
m＋1≤5，
所以
?
2m－1≥－2，
?
m≥2.
解得2≤m≤4.

反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略
对于全称(存在)量词命题为真的问题，实 质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函

数的最大值(或最小值)．
跟踪训练3 若命题“对任意实数x,2x>m(x
2
＋1)”是真命题，求实数m的取值范围．
解 由题意知，不等式2x>m(x
2
＋1)恒成立，
即不等式mx
2
－2x＋m<0恒成立．
(1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意．
(2)当m≠0时，要使不等式mx
2
－2x＋m<0恒成立，
?
?
m<0，
则
?

2
?
?
4－4m<0.
解得m<－1.
综上可知，所求实数m的取值范围是m<－1.


1．下列语句不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个学生都充满阳光
答案 C
解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量
词命题．
2．下列命题中为全称量词命题的是( )
A．有些实数没有倒数

B．矩形都有外接圆
C．存在一个实数与它的相反数的和为0
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
答案 B
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x
2
－2x＋1＝0成立
答案 C
解析 B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax
2
＋bx＋c( a<0)的图象开口
向下，也应排除，故应选C.
4．下列命题，是全称量词命题的是___ _____，是存在量词命题的是________(填序号)．
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
答案 ①②③ ④
解析 ①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．
5．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是______________．
答案 a≤3
解析 对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.

1．知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．
(2)含量词的命题的真假判断．
(3)通过含量词的命题的真假求参数．
2．常 见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调
“个别、部分”．

1．下列命题是“?x∈R，x
2
>3”的另一种表述方式的是( )
A．有一个x∈R，使得x
2
>3
B．对有些x∈R，使得x
2
>3
C．任选一个x∈R，使得x
2
>3
D．至少有一个x∈R，使得x
2
>3
答案 C
2．存在量词命题“存在实数x，使x
2
＋1<0”可写成( )
A．若x∈R，则x
2
＋1>0
C．?x∈R，x
2
＋1<0
答案 C
解析 存在量词命题中“存在”可用符号“?”表示，故选C.
3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
B．?x∈R，x
2
＋1<0
D．以上都不正确

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x
2
≤0
C．两个无理数的和必是无理数
1
D．存在一个负数x，使>2
x
答案 B

4．给出下列三个命题：
①对任意的x∈R，x
2
>0；
②存在x∈R，使得x
2
≤x成立；
③对于集合A，B，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 对于①，存在x＝0，使得x
2
＝0，故①是假命题；显然②③是真命题．
5．下列说法正确的是( )
A．对所有的正实数t，有tB．存在实数x，使x
2
－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x
2
＋5x－24＝0
D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x
2
>4
答案 B
1
解析 t＝
时，t>t，所以A选项错；由x
2
－3x－4＝0， 得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1
4
或x＝4时，x
2
－3x－4＝0， 故B选项正确；由x
2
＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C
选项错；x＝ 0时，不成立，所以D选项错．
6．下列存在量词命题中真命题有________．
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形．
答案 ①②③
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)( 1－9x)
2
>0”用“?”写成存在量词命题为________．
答案 ?x<0，(1＋x)(1－9x)
2
>0
解析 存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．
8．下列命题中，是全称量词命题的有________．(填序号)

①有的实数是整数；
③矩形的对角线互相垂直；
⑤有些素数是奇数．
答案 ②③④
9．判断下列命题的真假．
②三角形是多边形；
④?x∈R，x
2
＋2>0；
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)存在一个实数x，使得等式x
2
＋x＋8＝0成立．
解 (1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2 就不能用正有理数表示．
(2)假命题，方程x
2
＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
(1)?x，x－2≤0.
(2)三角形两边之和大于第三边．
(3)有些整数是偶数．
解 (1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“?x，x－2≤0”是真命题．
(2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和
大于第 三边”是真命题．
(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．

11．下列全称量词命题中真命题的个数为( )
①对任意的实数a，b，都有a
2
＋b
2
≥2ab；
②二次函数y＝x
2
－ax－1与x轴恒有交点；
③?x∈R，y∈R，都有x
2
＋|y|>0.

A．1 B．2 C．3 D．0
答案 B
12．已知命题p：?x∈R，x
2
＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1
答案 B
解析 依题意不等式x
2
＋2x －a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
13．若存在x∈R，使ax
2
＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．
答案 {a|a<1}
解析 当a≤0时，显然存在x∈R，使ax
2
＋2x＋a<0；
当a>0时，需满足Δ＝4－4a
2
>0，得－1故0综上所述，实数a的取值范围是a<1.
14．若任意x∈R，函 数y＝mx
2
＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数y＝mx< br>2
＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋
4m(m＋a)≥0恒成 立，
即4m
2
＋4am＋1≥0恒成立．
又4m
2
＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，
恒成立的充要条件是Δ＝(4a)
2
－16≤0，
解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，－1≤a≤1.

15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“?x∈A，x
2
－a≤0”是真命题的一 个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
答案 C
解析 当该命题是真命题时，只需a≥(x
2
)
max< br>，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x
2
在1≤x≤2上的
最大值是4，所 以a≥4.因为a≥4?a≥5，a≥5?a≥4，故选C.
16．已知函数y
1
＝ x
2
y
2
＝－2x
2
－m，若对?x
1
∈ {x|－1≤x≤3}，?x
2
∈{x|0≤x≤2}，使得y
1
≥y
2
，
1
，
求实数m的取值范围．
解 因为x
1
∈{x|－1≤x≤3}，x
2
∈{x|0≤x≤2}，
所以y
1
∈{y|0≤y≤9}，y
2
∈{y|－4－m≤y≤－m}， < br>又因为对?x
1
∈{x|－1≤x≤3}，?x
2
∈{x|0≤x≤2 }，使得y
1
≥y
2
，
即y
1
的最小值大于等于y
2
的最小值，
即－4－m≤0，
所以m≥－4.