高中数学平方公式高考-高中数学笔记应该记些什么
坐标系
1.(2015·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为
( )
1
π
A.ρ=,0≤θ≤
2
cos θ+sin
θ
1
π
B.ρ=,0≤θ≤
4
cos θ+sin
θ
π
C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
2
π
D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤
4
解析
由x=ρcos θ,y=ρsin θ,y=1-x可得
1
ρsin θ=1-ρcos
θ,即ρ=
,
cos θ+sin θ
再结合线段y=1-x(0≤x≤1)在极坐
标系中的情形,可知θ∈
π
??
?
0,
?
。
2<
br>??
1
因此线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ=,
cos
θ+sin θ
π
0≤θ≤
2
。故选A。
答案 A
π<
br>??
??
2,-
2.(2015·安徽皖北协作区联考)在极坐标系中,点3
?
到圆ρ
?
=-2cos θ的圆心的距离为( )
A.2
C.
π
2
9+
9
B.
π
2
4+
9
D. 7
π
??
?
解析 在直角坐标系中,点
2,-
3
?
的坐标即(1,-3),圆ρ=
??
-2cos θ的方程为x
2
+y
2
=-2x,即(x+1)
2
+y
2
=1,
圆心坐标是(-
π
??
1,0),所以点
?
2,-
3
?
到圆ρ=-2cos θ的圆心的距离为
??
?1+1?
2
+?
-3-0?
2
=7,故选D。
答案 D
π
??
3.(2
015·北京西城一模)在极坐标系中,过点
?
2,
2
?
且与极轴平
行
??
的直线方程是( )
A.ρ=2
C.ρcos θ=2
??
π
B.θ=
2
D.ρsin θ=2
π
??
解析 极坐标为
?
2,
2
?
的点的
直角坐标为(0,2),过该点且与极轴
平行的直线的方程为y=2,其极坐标方程为ρsin
θ=2,故选D。
答案 D
?
x′=
1
x,
2
4.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为
?
?
y′=3y,
坐标变换下正弦曲
线y=sin x的方程变为________。
则在这一
解析
?x′=
1
x,
2
∵
?
?
y′=3y,
?
x=2x′,
∴
?
1
?
y=
3
y′。
代入y=sin x得y′=
3sin 2x′。
答案
y′=3sin 2x′
5.(2015·天津卷)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin
θ和直
线ρsin
θ=a相交于A,B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值
为________。
解析 由ρ=4sin θ可得ρ
2
=4ρsin
θ,所以x
2
+y
2
=4y。
所以圆的直角坐标方程为x
2
+y
2
=4y,其圆心为C(0,2),半径r
=2;
由ρsin θ=a,得直线的直角坐标方程为y=a,由于△AOB是等
边三角形,所以圆心
C是等边三角形OAB的中心,若设AB的中点
为D(如图)。
1
则CD=CB·sin
30°=2×
2
=1,即a-2=1,所以a=3。
答案 3
π
6.(2015·安徽卷)在极坐标系中,圆ρ=8sin
θ上的点到直线θ=
3
(ρ∈R)距离的最大值是________。
解析
圆ρ=8sin θ化为直角坐标方程为x
2
+y
2
=8y,即x
2
+(y
-4)
2
=16。
故其圆心为(0,4),半径r=4。
ππ
直线θ=
3
(ρ∈R)化为直角坐标方程为y=xtan
3
=3x。
|3×0-4|
故圆心到直线y=3x的距离d==2。
2
所以圆上的点到直线y=3x距离的最大值为d+r=6。
答案 6
?
?
x=4+5cos t,
7.已知曲线C
1
的参数方程
为
?
(t为参数),以坐
?
y=5+5sin t,
?
<
/p>
标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C
2
的极坐标<
br>方程为ρ=2sin θ。
(1)把C
1
的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C
1
与C
2
交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ≤2π)。
?
?
x=4+5cos t,
解 (1)将
?
消去参数t,
化为普通方程(x-4)
2
+(y
?
y=5+5sin
t,
?
-5)
2
=25,即C
1
:x
2
+y
2
-8x-10y+16=0。
?
?
x=ρcos
θ,
将
?
代入x
2
+y
2
-8x-10y+16=
0得
?
?
y=ρsin θ,
ρ
2
-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0。
所以C
1
的极坐标方程为ρ
2
-8ρcos θ-10ρsin
θ+16=0。
(2)C
2
的普通方程为x
2
+y
2
-2y=0。
22
?
?
x+y-8x-10y+16=0,
由
?
22
?
?
x+y-2y=0,
??
?
x=1,
?
x=0,
解得
?
或
?
??
y=1,y=2。
??
π
??
π
??
????
2,2,
所以C
1
与C
2
交点的极坐
标分别为
4
?
,
?
2
?
。
?
8
.(2016·遵义模拟)以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,已知
点P的直角坐标为(1,-5),点M
π
??
π
??
的极坐标为4,
2
,若直线l过点P,且倾斜角为
3
,圆C以M为圆
??<
br>心,4为半径。
(1)求圆C的极坐标方程。
(2)试判定直线l与圆C的位置关系。
解 (1)M点的直角坐标为(0,4),
因为圆C以M为圆心,4为半径,
所以圆C的直角坐标方程为x
2
+(y-4)
2
=16,
即x
2
+y
2
=8y,
所以圆C的极坐标方程为ρ=8sin θ。
π
(2)因为直线l过点P(1,-5),且倾斜角为
3
,
所以直线斜率为3,
所以直线l的普通方程为3x-y-5-3=0,
?
-4-5-3
?
9+3
?
=圆心M到l的距离为d=
?
2<
br>>4,
2
??
所以直线l与圆C相离。
9.在极坐标系中,已知曲
线C
1
与C
2
的极坐标方程分别为ρ=2sin
θ与ρcos
θ=-1(0≤θ<2π),求:
(1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标。
(2)过点P被曲线C
1
截得弦长为2的直线的极坐标方程。
?
?
x=ρcos θ,
解 (1)由公式
?
?
y=ρsin θ,
?
得曲线C
1
:ρ=2sin θ与C
2
:ρcos θ=-1(0≤
θ<2π)的直角坐标方
程分别为x
2
+y
2
=2y,x=-1。
?
?
x=-1,
联立方程组,解得
?
?
?
y=1。
222
ρ
=x+y,
?
由公式
?
y
?
tan θ=
x
?x≠0?,
3π
??
?
得点P(-1,1)的极坐标为
2,
4
?。
??
(2)解法一:由上述可知,曲线C
1
:ρ=2sin
θ即圆x
2
+(y-1)
2
=1,
如图所示,
过P(-1,1)被曲线C
1
截得弦长为2的直线有两条:
3π
一
条过原点O,倾斜角为
4
,直线的普通方程为y=-x,极坐标
3π
方程为θ
=
4
(ρ∈R);
π
另一条过点A(0,2),倾斜角为
4
,直线的普通方程为y=x+2,
极坐标方程为ρ(sin θ-cos θ)=2,
π
??
即ρsin
?
θ-
4
?
=2。
??
解法二:由上述可知,曲线C
1
:ρ=2sin θ即圆x
2<
br>+(y-1)
2
=1,
3π
??
过点P
?
2
,
4
?
被曲线C
1
截得弦长为2的直线有两条:一条过原点
??
3π3π
O,倾斜角为
4
,极坐标方程为θ=
4
(ρ∈
R);
π
??
π
另一条倾斜角为
4
,极坐标方程为ρsi
n
?
θ-
4
?
??
π
??
3π
π
??
=2sin
?
4
-
4
?
,
即ρsin
?
θ-
4
?
=2。
????
10.(
2015·山西考前监测)在极坐标系中,曲线C的方程为ρ
2
=
π
??3
,点R
?
22,
4
?
。
??
1+
2sin
2
θ
(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,
p>
把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐
标;
(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边
垂直于极轴,求矩形PQRS周长
的最小值,及此时P点的直角坐标。
解 (1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,
的直角坐标方程为
x
2
∴曲线C
3
+y
2
=1。
点R的直角坐标为R(2,2)。
(2)设P(3cos θ,sin
θ),根据题意可得|PQ|=2-3cos θ,
=2-sin θ,
∴|PQ|+|QR|=4-2sin(θ+60°)。
当θ=30°时,|PQ|+|QR|取最小值2,
∴矩形PQRS周长的最小值为4, <
br>此时点P的直角坐标为
?
?
31
?
?
2
,<
br>2
?
?
。
QR||