(浙江专用)高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1

(3)集合
A
＝{(1，2)，(0，3)}中共有4个元素.( )

提示 (1)不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思.
(2)虽然两个集合的代 表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集

合.

(3)集合
A
是由坐标平面上的点构成的集合，
A< br>中只有2个元素.

答案 (1)× (2)√ (3)×

2.已知
A
＝{
x
|3－3
x
>0}，则有( )

D.－1?
A

C.0∈
A


B.1∈
A


A.3∈
A


解析
A
＝{
x
|3－3
x
>0}＝{
x
|
x
<1}，所以0∈
A
.

答案 C

3.用列举法表示集合{
x
|
x
2
－2
x
＋1＝0}为( )

B.{1}


D.{
x
2
－2
x
＋1＝0}



A.{1，1}
C.{
x
＝1}

解析 方程
x
2
－2
x
＋1＝0可化简为(
x
－1)2
＝0，所以
x
1
＝
x
2
＝1，故方程
x
2
－2
x
＋1＝0的解集为{1}.

答案 B

4.平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合可表示为{(
x
，
y
)|________}.
解析 平面直角坐标系中第一象限的点满足横、纵坐标都大于0 ，即
x
>0，
y
>0，故第一象限的点组成的集合

可表示 为{(
x
，
y
)|
x
>0，
y
>0}.< br>答案
x
>0，
y
>0

类型一 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数组成的集合；
(2)方程(
x
－4)(
x
－2)＝0的根组成的集合；
(3)一次函数
y
＝
x
－1与
y
＝－
x
＋ 的图象的交点组成的集合.
解 (1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}；
(2)方程(
x
－4)(
x
－2)＝0的根是4，2，所求集合为{4，2 }；
2
2
2
3
4
3
7
x＝，
?
?
5
?
x－y＝1，
?
?
72
?
?
?
(3)方程组
?
的解是
?
所求集合为
?
?
，
?
?
.
?
?
55
?
?< br>?
2
?
2x＋3y＝4
y＝，
?
?
5
?
72
?
规律方法 1.本例(2)在求解中易出现{4，4，2}的错误表示；本 例(3)在求解时易出现
?
，
?
的错误.
?
55
?
2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集{(
x
，
y
)}，而非数集{
x
，
y
}.
【训练1】用列举法表示下列集合：
(1)小于10的正偶数组成的集合；
(2)方程
x
(
x
－1)＝0的所有实数根组成的集合；
(3)直线
y
＝
x
与
y
＝2
x
－1的交点 组成的集合.
解 (1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为{2，4，6，8}. < br>2

(2)方程
x
(
x
－1)＝0的根为0，± 1，所求集合为{0，－1，1}.
??
?
y＝x，
?
x＝1，< br>(3)方程组
?
的解是
?
所求集合为{(1，1)}.
??
y＝2x－1y＝1，
??
2
类型二 用描述法表示集合
【例2】用描述法表示下列集合：
(1)使
y
＝
1
有意义的实数
x
的集合；
x2＋x－6
2
(2)函数
y
＝
ax
＋
bx＋
c
(
a
≠0)的图象上所有点的集合；
(3)方程
x
＋(
m
＋2)
x
＋
m
＋1＝0(
m∈Z)的解集.
解 (1)要使
y
＝
2
1
2
有意义，则
x
＋
x
－6≠0，即
x
≠2且
x
≠－3，故可写成{
x
∈R|
x
≠2且
x
≠－3}. < br>x2＋x－6
2
(2)易知集合可写成{(
x
，
y
) |
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
，
a≠0，
x
∈R}.
(3)易知集合可写成{
x
|
x< br>＋(
m
＋2)
x
＋
m
＋1＝0，
m
∈Z，
x
∈R}.
规律方法 1.描述法表示集合的两个步骤：①写出代表元素，明 确代表元素含义，注意区别数集与点集.②
明确元素的特征，并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线 的后面.
2.描述法表示集合，注意三点：①所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{
x
∈Z|
x
＝2
k
，
k
∈Z}；②不能
出现 未被说明的字母；③在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围务必说明，如果省略不写，则默认
2
x
∈R.
【训练2】 用描述法表示下列集合：
(1)满足不等式3x
＋2>2
x
＋1的实数
x
组成的集合；
(2)坐标平面上第一、三象限内点的集合；
(3)所有正奇数组成的集合.
解 (1){
x
|3
x
＋2>2
x
＋1}＝{
x
|
x
>－1}.
(2){(
x
，
y
)|
xy
>0，且
x
，
y
∈R}.
(3){
x|
x
＝2
k
－1，
k
∈N}.
类型三 集合表示方法的应用(互动探究)
【例3】已知
f
(
x
)＝
x
－
ax
＋
b
(
a
，
b
∈R) ，
A
＝{
x
∈R|
f
(
x
)－
x
＝0}，
B
＝{
x
∈R|
f
(
x
)－
ax
＝0}，若
A
＝{1，－
3}，试用列举法表示集合
B
.
[思路探究]
探究点一 如何利用条件首先确定函数
f
(
x
)的解析式？
提示 根据
A
＝{1，－3}，进而由根与系数的关系确定
f
(
x
)－
x
＝0中的
a
，
b
.
探究点二 怎样用列举法表示出集合
B?

提示 解出方程
f
(
x)－
ax
＝0的实根，确定集合
B
.
解 ∵
f
(
x
)－
x
＝0，即
x
－(
a
＋1)< br>x
＋
b
＝0，又集合
A
＝{1，－3}，由根与系数的关系得
?
?
1＋（－3）＝a＋1，
?

?
1×（－3） ＝b.
?
?
?
a＝－3，
2
所以
?
所以< br>f
(
x
)＝
x
＋3
x
－3.
?< br>b＝－3，
?
2
2
*
f
(
x
)－< br>ax
＝0，亦即
x
2
＋6
x
－3＝0，
解得
x
＝－3±2
3
.

因此
B< br>＝{
x
|
x
＋6
x
－3＝0}＝{－3－2
3
，－3＋2
3
}.
规律方法 1.(1)已知集合是用列举法给出的，整 体把握元素的共同特征是解题的关键.(2)若已知集合是用
描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属 性是解题的关键.
2.对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素个数)，求参数 的问题，常把此集合的问题转
化为方程的解的问题，但必要时要注意讨论.
【训练3】 已知 集合
A
＝{
x
∈R|
ax
－3
x
＋2＝0 }，若集合
A
中有两个元素，求实数
a
取值范围的集合.
解 若
A
中有两个元素，则一元二次方程
ax
－3
x
＋2＝0
有两个不等的实根，
?
?
Δ＝（－3）2－8a>0，
9
所以
?
解得
a
<，且
a
≠0.
8
?a≠0，
?
2
2
2
?
因此实数
a
取值 范围的集合为
?
a
?
a<，且a≠0
?
.
?
9
?
?
8
??
[课堂小结]
1.表示集合的要求：
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.
(2) 一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以
表 示元素个数有限的集合.
2.在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式 (即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.
(2)元素具有怎样的 属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的
字母形式所迷惑 .


1.集合{
x
|－3≤
x
≤3，
x
∈N}用列举法表示应是( )

A.{1，2，3}

B.{0，1，2，3}

C.{－2，－1，0，1，2}

D.{－3，－2，－1，0，1，2，3}

解析 由－3≤
x
≤3，
x
∈N，

∴
x
＝0，1，2，3，则
B
＝{0，1，2，3}.

答案 B

2.集合{(
x
，
y
)|
y< br>＝2
x
＋3}表示( )

A.方程
y
＝2
x
＋3

B.点(
x
，
y
)

C.函数
y
＝2
x
＋3图象上的所有点组成的集合

D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
解析 集合{(
x
，
y< br>)|
y
＝2
x
＋3}的代表元素是(
x
，
y
)，
x
，
y
满足的关系式为
y
＝2
x＋3，因此集合表示的是满

足关系式
y
＝2
x
－1的点组成的集合.

答案 C

3.设
A
＝{4，
a
}，
B
＝{2，
ab
}，若集合
A
与集合
B
相等，则
a
＋
b
＝________.

解析 由于{4，
a}＝{2，
ab
}，所以
a
＝2且
ab
＝4，

从而
a
＝2，且
b
＝2，所以
a
＋
b＝4.

答案 4

4.用适当的方法表法下列集合：

(1)已知集合
P
＝{
x
|
x
＝2
n
， 0≤
n
≤2，且
n
∈N}；

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.

解 (1)用列举法表示为
P
＝{0，2，4}.

(2)可用列举法表示为{6 ，9，12}；也可用描述法表示为{
x
|
x
＝3
n
，4<
x
<15，且
n
∈N}.

基 础 过 关


B.{1}


D.(1，1)

?
?
x＋y＝2，
1.方程组
?
的解集是( )
?
x－2y＝－1
?


A.{
x
＝1，
y
＝1}
C.{(1，1)}

解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D不是集合的形式，排除D.

答案 C

2.下列各组集合中，表示同一集合的是( )

A.
M
＝{(3，2)}，
N
＝{(2，3)}

B.
M
＝{3，2}，
N
＝{2，3}

C.M
＝{(
x
，
y
)|
x
＋
y
＝1}，
N
＝{
y
|
x
＋
y
＝1}

D.
M
＝{(3，2)}，
N
＝{3，2}
解析 A中 集合
M
，
N
表示的都是点集，而(3，2)与(2，3)是两不同的点，所以 表示不同的集合；B中根据两
集合相等的定义知表示同一集合；C中集合
M
表示直线< br>x
＋
y
＝1上的点，而集合
N
表示直线
x
＋
y
＝1上点的

纵坐标，所以是不同集合；D中的集合
M
表 示点集，
N
表示数集，所以是不同集合.

答案 B

3.由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( )

A.{
x
|－3<
x
<11，
x
∈Q}

B.{
x
|－3<
x
<11，
x
∈R}

C.{
x
|－3<
x
<11，
x
＝2
k< br>，
k
∈N}

D.{
x
|－3<
x
<11，
x
＝2
k
，
k
∈Z}

解析 {
x
|
x
＝2
k
，
k
∈Z}表示所有偶数组 成的集合.由－3<
x
<11及
x
＝2
k
，
k∈Z，可限定集合中元素.

答案 D

4.点(2，11)与集合{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋9}之间的关系为_ _______.

解析 ∵11＝2＋9，

∴(2，11)∈{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋9}.

答案 (2，11)∈{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋9}

5.下列集合中，不同于另外三个集合的是________.

①{
x
|
x
＝1}；②{
y
|(
y
－1)
2
＝0}；③{
x
＝1}；④{1}
解析 由集合的含义知 {
x
|
x
＝1}＝{
y
|(
y
－1)＝0 }＝{1}，而集合{
x
＝1}表示由方程
x
＝1组成的集合，所以
2

答案为③.

答案 ③

6.用描述法表示下列集合：

(1)由方程
x
(
x
2
－2
x
－3)＝0的所有实数根组成的集合；

(2)大于2且小于6的有理数；

(3)由直线
y
＝－
x
＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.

解 (1)用描述法表示为{
x
|
x
(
x
2
－2
x
－3)＝0 }.

(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故可以用描述法表示该集合为{
x
∈Q|2<
x
<6}.

(3)用描述法表示该集 合为{(
x
，
y
)|
y
＝－
x
＋4，x
∈N，
y
∈N}.

7.用列举法表示集合
A
＝{(
x
，
y
)|
y
＝
x
2
， －1≤
x
≤1，且
x
∈Z}.

解 由－1≤
x
≤1且
x
∈Z，得
x
＝－1，0，1，

当
x
＝－1时，
y
＝1，

当
x
＝0时，
y
＝0，

当
x
＝1时，
y
＝1，

∴
A
＝ {(－1，1)，(0，0)，(1，1)}.
8.设集合
A
＝{
x
|
x
＝2
k
，
k
∈Z}，
B
＝{
x
|
x
＝2
k
＋1，
k
∈Z}，若
a∈
A
，
b
∈
B
，试判断
a
＋
b
与集合
A
，
B
的关

系.

解 因为
a
∈
A
，则
a
＝2
k
1
(< br>k
1
∈Z)；
b
∈
B
，则
b
＝2< br>k
2
＋1(
k
2
∈Z)，所以
a
＋
b
＝2(
k
1
＋
k
2
)＋1.

又
k
1
＋
k
2
为整数，2(
k
1
＋
k
2
)为偶数，

故2(
k
1
＋
k
2
)＋1必为奇数，所以
a
＋
b
∈
B
且
a
＋
b
?
A
.
能 力 提 升
9.集合
A
＝{(
x
，
y
)|
x
＋< br>y
≤1，
x
∈N，
y
∈N}中元素的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ∵
x
∈N，
y
∈N，且
x
＋
y
≤1，∴当
x
＝0时，
y
＝0或1；当
x
＝1时，
y
＝0.故
A
＝{(0，0)， (0，1)，

(1，0)}.

答案 C
10.(2016·德州 高一检测)用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标

的集合是( )

A.{－2≤
x
≤0且－2≤
y
≤0}
B.{(
x
，
y
)|－2≤
x
≤0且－2≤
y
≤0}

C.{(
x
，
y
)|－2≤
x< br>≤0且－2≤
y
<0}

D.{(
x
，
y< br>)|－2≤
x
<0或－2≤
y
≤0}
解析 由阴影知，－2≤
x
≤0且－2≤
y
≤0，∴集合{(
x
，
y
)|－2≤
x
≤0，且－2≤
y
≤0}表示阴影部分点的集

合.

答案 B

11.已知集合
A
＝{(
x
，
y
)|
y
＝2
x
＋1}，
B
＝{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋3}，a
∈
A
，且
a
∈
B
，则
a
为 ________.
解析 集合
A
，
B
都表示直线上点的集合，a
∈
A
表示
a
是直线
y
＝2
x
＋1上的点，
a
∈
B
表示
a
是直线
y
＝
x
＋

3上的点，所以
a
是直线
y
＝2< br>x
＋1与
y
＝
x
＋3的交点，即
a
为(2， 5).

答案 (2，5)

12.下列命题中正确的是________( 只填序号).
①0与{0}表示同一集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3， 2，1}；③方程(
x
－1)(
x
－2)
2

＝0 的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{
x
|2<
x
<5}可以用 列举法表示.
解析 对于①，0表示元素与{0}不同，对于③不满足集合中元素的互异性，故不正确，对于④无法用列举

法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的.

答案 ②

13.用列举法表示下列集合：

(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；

( 2)式子
|a||b|
＋(
a
≠0，
b
≠0)的所有值组成 的集合.
ab

解 (1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}.

(2)∵
a
≠0，
b
≠0，∴
a
与
b
可能同号也可能异号，故

①当
a
>0，
b
>0时，

②当
a
<0，
b
<0时，
|a||b|
＋＝2；
ab
|a||b|
＋＝－2；
ab

③当
a
>0，
b< br><0或
a
<0，
b
>0时，

＋


探 究 创 新
|b||a|
＝0.故所有的值组成的集合为{－2，0，2}.
ba
14.(2014·福建高考改编)若集合{
a
，
b
，
c
，
d
}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：

①
a
＝1；②
b
≠1；③
c
＝2；④
d
≠4有且只有一个是正确 的，试写出所有符合条件的有序数组(
a
，
b
，
c
，
d
).

解 若只有①对，即
a
＝1，则
b
≠1 不正确，所以
b
＝1，与集合元素互异性矛盾，不符合题意.

若只有②对，则有序数组为(3，2，1，4)，(2，3，1，4)；

若只有③对 ，则有序数组为(3，1，2，4)；
若只有④对，则有序数组为(2，1，4，3)，(3，1，4， 2)，(4，1，3，2).
1.1.2 集合间的基本关系
目标定位 1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.理解子集、真子集的概念，会写出给定集合的子集、真

子集，会判断集合间的关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.

自 主 预 习

1.子集和真子集的概念
类别

文字语言

集合
A
中任意一个元素都是集合
B
中的元
子集
< br>素，就说两个集合有包含关系，称集合
A
为
集合
B
的子集
真子集

温馨提示：(1)若
A
如果集合
A
?
B
，但存在元素
x
∈
B
，且
x
?
A
，
称集合
A
是集合
B
的真子集

图形语言

符号表示
A
?
B
或
B
?
A


AB
和
BA


B
，则
A
中的元 素是
B
中的元素的一部分或是
B
的全部.(2)注意“∈”与“?”有什么区别：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“?”表示集合与集合之间的关系.
2.集合相等
若
A
?
B
且
B
?
A
，则集合A
＝
B
.
3.空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.
(2)空集用符号表示为：?.
(3)规定：空集是任何集合的子集.

温馨提示：0不是一个集合，而是一个 元素，而{0}，?，{?}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合，
?为不含任何元素的集合 ，{?}为含有一个元素?的集合.
4.子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即
A
?
A
.
(2) 对于集合
A
，
B
，
C
，如果
A
?
B
，且
B
?
C
，那么
A
?
C
.
即 时 自 测

1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)空集是任何集合的真子集.( )

(2)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}.( )

(3)已知
A
＝
B
，
A
＝{1，2，3}，
B
＝{< br>x
，
y
，3}，则
x
＝1，
y
＝2.( )

(4)对于集合
A
，
B
，
C
，由A
?
B
，
B
?
C
，可得
A
?
C
.( )

提示 (1)错，空集是任何非空集合的真子集.

(2)错，?也是集合{0，1}的子集.

(3)错，
x
＝1，< br>y
＝2或
x
＝2，
y
＝1.

(4)对，由集合的包含关系可得.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.集合{1，2}的真子集有( )

D.1个

C.2个

B.3个

A.4个

解析 集合{1，2}的真子集有?，{1}，{2}共3个.

答案 B

3.设 集合
M
＝{
x
|
x
>－1}，则下列选项正确的是( )

B.{0}∈
M


D.0?
M



A.{0}?
M

C.?∈
M


解析 选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.

答案 A

4.已知集合
A
＝{2，9}，集合
B
＝{1－
m
，9}，且
A
＝
B
，则实数
m
＝________.

解析 因为
A
＝
B
，所以1－m
＝2，所以
m
＝－1.
答案 －1


类型一 有限集合的子集问题

【例1】 已知集合
A
＝{(
x
，
y
)|
x
＋
y
＝2，
x
，
y
∈N}，试写出
A
的所有子集.

解 ∵
A＝{(
x
，
y
)|
x
＋
y
＝2，x
，
y
∈N}，

∴
A
＝{(0，2)，(1 ，1)，(2，0)}.
∴
A
的子集有：?，{(0，2)}，{(1，1)}，{( 2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，

(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.
规律方法 1.本题在求解中，常 因没把握住集合
A
的含义而把集合
A
表达为{0，1，2}，究其原因是没有 看

清集合
A
的代表元素为点集，而非数集.
2.(1)写一个集合 的子集时，常按不含元素，含1个元素，含2个元素……依次类推，按规律书写.(2)一般

地，若集合
A
中有
n
个元素，则其子集有2
n
个，真子集有 2
n
－1个，非空真子集有2
n
－2个.

【训练1】 已知集合
A
＝{1，2}，
B
＝{
x
|
xA
}，求集合
B
.

解 由题意可知，集合
B
的元素是集合
A
的所有真子集，故
B
＝{?，{1}，{2}}.< br>
类型二 集合间关系的判断

【例2】 (1)下列关系中，正确的个数是( )

①0∈{0}；②?{0}；③{0，1}{(0，1)}；④{(
a
，
b
)}＝{(
b
，
a
)}

D.4

C.3

B.2

?
?
A.1

(2)设
a
，
b
∈R，集合{1，
a
＋
b
，
a
}＝
?
0 ，
a
，b
?
，则
b
－
a
等于( )
?
b
?

D.－2

C.2

B.－1

A.1
解析 (1)对于①，集合{0}中含有1个元素 0，所以0∈{0}正确；对于②，由于空集是任何非空集合的真子
集，所以?{0}正确；对于③，{ 0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以③错误；对于④，{(
a
，
b
)}与{(
b
，

a
)}是不同的点集，所以④错误.
< br>(2)因为
a
≠0，所以
a
＋
b
＝0，所以＝－1， 所以
b
＝1，
a
＝－1.故
b
－
a
＝2. 故选C.

答案 (1)B (2)C
规律方法 (1)集合间关系的判断有两种方法 ：(1)用定义判断：①判断一个集合
A
中的任意元素是否属于另
一集合
B< br>，若是，则
A
?
B
，否则
A
不是
B
的子集；②判断另一个集合
B
中的任意元素是否属于第一个集合
b
a

A
，若是，则
B
?
A
，否则
B
不是
A
的子集；③若既有
A
?
B
，又有
B
?
A
，则
A
＝
B
.
(2)数形结合判断：对于不等式表示的数 集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点

值的取舍.

【训练2】 集合
A
＝{
x
|
x
2
＋x
－6＝0}，
B
＝{
x
|2
x
＋7>0}， 试判断集合
A
和
B
的关系.

解
A
＝{ －3，2}，
B
＝
?
x
?
?
x>－
2?
.
?
?
7
?
?
?

∵－3 >－，2>－，∴－3∈
B
，2∈
B
，∴
A
?
B< br>，

又0∈
B
，但0?
A
，∴
AB
.

类型三 由集合间关系求参数问题(互动探究)

【例3】已知集合
A
＝{
x
|－2≤
x
≤5}，
B
＝{
x
|
m
－6≤
x
≤2
m
－1}，若
B
?
A
，求实数
m
的取值范围.

[思路探究]

探究点一
B
?
A
，集合
B
是否满足
B< br>≠?？

提示 不能，因为集合
B
中的元素不确定，有
B＝?和
B
≠?两种情况.

探究点二 若
B
≠?，< br>B
?
A
，
m
应满足什么条件？
－2≤m－6，
?
?

提示 根据子集定义，
m
应满足
?
m－6 ≤2m－1，
?
?
2m－1≤5，
7
2
7
2

解 (1)
B
＝?时，有
m
－6>2
m
－1， 则
m
<－5，此时
B
?
A
成立.
－2≤m－6，m ≥4，
??
??

(2)当
B
≠?时，
B
?
A
，此时满足
?
m－6≤2m－1，
?
?
m≥－ 5，
不等式组解集为?.
??
?
2m－1≤5
?
m≤3.< br>
由(1)(2)知，实数
m
的取值范围是{
m
|
m
<－5}.
规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合；(2)利 用数轴分析法，将各个集合在数

轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.

2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.

【迁移探究1】 (变换条件) 本例中若将“
B
?
A
”改为“A
?
B
”，其他条件不变，求
m
的取值范围.
2m－1 >m－6，
?
?

解 由
A
?
B
题设条件 ，所以
?
m－6≤－2，
?
?
2m－1≥5，
m>－5，< br>?
?

解得
?
m≤4，
故3≤
m
≤ 4.所以
m
的取值范围是{
m
|3≤
m
≤4}.
?
?
m≥3，
【迁移探究2】(变换条件) 本例中若将“
A
＝{x
|－2≤
x
≤5}”改为“
A
＝{
x
|x
<2或
x
>5}”，其余条件不

变，求实数
m
的取值范围.

解 (1)当
B
＝?时，
m
－6>2
m
－1，

则
m
<－5，此时满足条件
B
?
A
.

(2)当
B
≠?时，
B
?
A
，

?
?
m－6≤2m－1，
?
?
m－6≤2m－1，
?
则或
?
?
2m－1<－2
?
m－6>5.
??

解之得－5≤
m
<－或
m
>11.综合(1)，(2)知，
1
2