高中数学：第1章《集合与函数概念》知识点归纳

第一章《集合与函数概念》
主要知识点归纳
一、集合
对于以下几个问题，你弄清楚了吗？
1、集合中的元素有什么特征？（确定性、互异性、无序性）
2、符号“
?
”与“
?
”有什么区别？分别怎么用？
4、集合的表示方法主要有哪几类？你能用描述法正确表示集合了吗？
5、集合之间的关系主要有几种？他们分别怎么表示？各个关系怎么理解？
6、下面几个集合中的重要性质，你知道了吗？
（1）
A?A?B,A?B?A,A?B?A?B.
.
（2）
A?B?A?B?B
;
A?B?A?B?A
.
7、空集特殊性你知道了吗？（空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.）
8、如何用图像法（韦恩图、数轴法）正确表示集合之间的包含关系？
9、一个有限集有多少个子集？有多少个真子集？
10、对于集合
AB,AB,CA
的含义，你能正确理解吗？
(交集：A?B?
?
x|x?A,且x?B
?
；并集：
A?B?
?
x|x?A,或x?B
?
；
补集：若
B?U,则C
U< br>B?
?
x|x?U,且x?B
?
；)
11、对有关含参数问 题，你能正确运用分类讨论解题了吗？你能正确进行分类吗？书写格式
清楚吗？





























用心 爱心 专心

（二）主要方法：
1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；
2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；
3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；
4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．
5．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用，正确运用数形结合解题。
6．含参数的问题，要有讨论的意识，集合子集分类讨论时要防止在空集上出问题；
7．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．
8．在集合运算过程中应力求做到“三化”：
（1） 意义化：即首先分清集合的类型，是表 示数集、点集，还是某类图形？是表示函
数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？
（2） 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不
能具体 求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．
（3）直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将 有关集合直观地表示出来，从而
借助数形结合思想解决问题．












用心 爱心 专心

二、函数的概念
对于以下几个问题，你弄清楚了吗？
1、如何从集合与对应的角度来定义函数的概念？函数的 三要素分别是什么？如何判断两个函
数相同？
2、求函数的定义域是指什么？
3、求函数的值域是指什么？主要有哪些常用的求法？
（观察法、分离常数法、配方法（二次型函数）、反表示法、换元法、图像法、单调性法）
4、什么叫做映射？映射与函数有什么关系？你会判断一个对应具有映射关系？
5、你会求两个集合之间可以建立多少个映射吗？（如课本第10页 习题A组第10题）
6、函数表示法具体有哪些？
7、什么叫分段函数？它的表达式有什么特征？如何求它的定义 域和值域？如何求它的单调区
间？如何判断它的奇偶性？（图像法）
8、哪些集合可以用区间表示？（一些连续自然数的集合）
9、增（减）函数的图像有什么特征？他们的定义如何？如何利用单调性的可逆性解题？
10、什么叫函数的单调区间？常用方法有哪些？
11、函数单调性的等价含义
设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
，
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0?f
?
x
?
在是减函数。
x
1
? x
2
12、
Af(x)
与
f(x)
以及
f(x)( ?0)
与
f
?
x
1
?
?f
?
x< br>2
?
?0?f
?
x
?
在是增函数；
x
1
?x
2
f(x)
单调性之间的关系，你知道了吗？
13、什么是函数的最大（小）值？如何利用单调性求函数的最值？
14、不等式恒成立问题常用的处理办法是什么？它可以转化为怎样的等价问题？
把不等式恒成立问题转化为最值问题解决，即
已知函数y?f(x),x?D，M是实数

（1）如果
f(x)?M
恒成立，那么
f
min
(x)?M
（2）如果
f(x)?M
恒成立，那么
f
max
(x)?M

15、什么叫做函数的奇偶性？它们的图像有什么特征？它们的定义域有什么特殊要求？如何
利 用奇偶性的可逆性解题？定义法判断函数奇偶性的步骤，你知道了吗？
16．若奇函数
f(x )
的定义域包含
0
，则
f(0)?0
．
17、函数的奇偶性与单调性有什么联系？
18、函数
f(x)
关于直线< br>x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)












用心 爱心 专心

（二）主要方法：
1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；
2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；
3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．
4．定义域是函数的基础，考虑函数问题必须先求函数的定义域。
5．图像法可以有效处理许多函数问题，必须掌握函数图像的作图方法：描点法和图像变换法。
6．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域。
函数的单 调区间是定义域的子集，且必须用区间来表示；
7．牢记单调函数的图象特征，有助于求函数的单调区，判断函数的奇偶性。
8．判断函数的单调性和奇偶性的方法有：（1）用定义；（2）图象法；（3）性质法；
增+增=增 增—减=增 减+减=减
奇+奇=奇，奇
?
奇=偶，偶+偶=偶，偶
?
偶=偶，奇
?
偶=奇．
9 ．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，其次要考虑
f
?
x
?
与
f
?
?x
?
的关系。
10．判断函数的奇偶性有时 可以用定义的等价形式：
f(x)?f(?x)?0
，
11．判断函数的的方法有：（ 1）用定义；（2）图象法；（3）性质法；

f(x)
??1
．
f(?x)
用心 爱心 专心