高中数学家教试讲视频-高中数学斜二测法公式
第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
◆ 教材通关 ◆
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)
集合中元素与集合的关系有且仅有两种:属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号
“?”表示).
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
关系
相等
集合间的
基本关系
子集
文字语言
集合
A
与集合
B
中的所有元素都相
同
符号语言
A
=
B
A
?
B
A
中任意一个元素均为
B
中的元素
A
中任意一个元素均为
B
中的元
真子集
素,且
B
中至少有一个元素不是
A
中的元素
空集
[必记结论]
AB
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子
集
集合的子集、真子集个数的规律为
:含
n
个元素的集合有2个子集,有2-1个真子集
(除集合本身),有2-1个非空
子集,有2-2个非空真子集(除集合本身和空集,此时
n
≥1).
nn
nn
3.集合的基本运算
符号
表示
图形
表示
集合的并集
集合的交集
集合的补集
若全集为
U
,则集合
A
的补集为?
U
A
A
∪
B
A
∩
B
{
x
|
x
∈
A
,
或
x
∈
B
}
{
x
|
x
∈
A
,
且
x
∈
B
}
{
x
|
x
∈
U
,且
x
?
A
} 意义
[必记结论]
(1)
A
∩?=?,
A
∪?=
A
;
(2
)
A
?
B
?
A
∩
B
=
A
?
A
∪
B
=
B
??
U
A
??U
B
?
A
∩(?
U
B
)=?;
(3
)
A
∪(?
U
A
)=
U
,
A
∩(
?
U
A
)=?,?
U
(
A
∩
B
)
=(?
U
A
)∪(?
U
B
),?
U
(A
∪
B
)=(?
U
A
)∩(?
U
B<
br>).
[小题诊断]
1.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合
A
=
{
x
|
x
<2},
B
={
x
|3-2x
>0},则( )
?
?
?
3
A.
A∩
B
=
?
x
?
x
<
?
?2
?
?
?
?
3
C.
A
∪
B<
br>=
?
x
?
x
<
?
?
?
2<
br>
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B.
A
∩
B
=?
D.
A
∪
B
=R
?
?
?
3解析:因为
A
={
x
|
x
<2},
B
={
x
|3-2
x
>0}=
?
x
?
x<
?
?
?
2
??
??
?
3
?
,所以
A
∩
B
=
?
x
?
x
<
??
??
?
2
?
?
?<
br>,
A
∪
B
?
?
={
x
|
x
<2}.故选A.
答案:A
2.设集合
M
={-1,1},N
={
x
|
x
-
x
<6},则下列结论正确的
是( )
A.
N
?
M
C.
M
?
N
B.
N
∩
M
=?
D.
M
∩
N
=R
2
2
解析:由已知得集
合
M
={-1,1},
N
={
x
|
x
-<
br>x
<6}={
x
|-2<
x
<3},所以
M
?
N
,故选
C.
答案:C
3.(2018·唐山模拟)已知全集
U
={1,2,3,4,5},
A
={1,2,4},
B
=
{2,5},则(?
U
A
)∪
B
=( )
A.{3,4,5}
C.{5}
B.{2,3,5}
D.{3}
解析:因为
U
={1,2,3,4,5},
A
={1,2,4},所
以?
U
A
={3,5},又
B
={2,5},所以(?
U<
br>A
)
∪
B
={2,3,5}.
答案:B <
br>4.(2018·衡水中学联考)若集合
B
={
x
|
x
≥0},且
A
∩
B
=
A
,则集合
A
可能
是( )
A.{1,2}
C.{-1,0,1}
B.{
x
|
x
≤1}
D.R
解析:由
A
∩
B
=
A
得
A
?
B
,因为B
={
x
|
x
≥0},所以集合
A
可能是{1
,2},故选A.
答案:A
5.已知全集
U
=R,集合
A
={0,1,2,3,4,5},
B
={
x
∈R|
x
≥2
},则图中阴影部分所表示
的集合为( )
A.{0,1}
C.{1,2}
B.{1}
D.{0,1,2}
解析:由Venn图
可知,阴影部分的元素由属于
A
且不属于
B
的元素构成,所以用集合
表示为
A
∩?
U
B
.∵
U
=R,
A
={0,1,2,3,4,5},
B
={
x
∈R|
x
≥2
},
∴
A
∩?
U
B
={0,1},故选A.
答案:A
6.已知集合
A
={(
x
,
y
)|
x
,
y
∈R,
x
+
y
=1},
B
={(
x
,
y
)|
x
,
y
∈
R,
y
=4
x
-1},则
222
A
∩
B<
br>的元素个数是________.
解析:集合
A
是以原点为圆心,半径等于1
的圆周上的点的集合,集合
B
是抛物线
y
=
4
x
-
1上的点的集合,观察图象可知,抛物线与圆有3个交点,因此
A
∩
B
中含有
3个元素.
2
答案:3
◆ 易错通关 ◆
1.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.
2.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.
3.在解决含参数的集合问题时,要注意检
验集合中元素的互异性,否则很可能会因为
不满足“互异性”而导致解题错误.
[小题纠偏]
1.设全集
U
=R,集合
A
={
x
|7-6
x
≤0},集合
B
={
x
|
y<
br>=lg(
x
+2)},则(?
U
A
)∩
B
等
于
( )
7
??
A.
?
-2,
?
6
??
7
??
C.
?
-2,
?
6
??
?
?
?
7
解析:依题意得
A
=
?
x
?
x
≥
6
?
?
?
?
?
?
7
因此(?
U
A
)∩
B
=
?
x
?
-2<
x
<
6
?
??
?
7
?
B.
?
,+∞
?
?
6
?
7
??
D.
?
-2,-
?
6
??
??
??
?
7
?
,?<
br>U
A
=
?
x
?
x
<
6
??
??
?
?
?
?
;
B
={
x
|
x
+2>0}={
x
|
x
>-2},
?
?
?
?
?
.
?
?
答案:A
2.若集合
A
={
x
|-
2≤
x
≤5},
B
={
x
|
m
+1≤x
≤2
m
-1},且
B
?
A
,则由
m
的可取值组
成的集合为________.
解析:当
m
+1>2<
br>m
-1,即
m
<2时,
B
=?,满足
B
?<
br>A
;若
B
≠?,且满足
B
?
A
,如图所m
+1≤2
m
-1,
?
?
示,则
?
m
+1≥-2,
?
?
2
m
-1≤5,
m<
br>≥2,
?
?
即
?
m
≥-3,
?
?<
br>m
≤3,
∴2≤
m
≤3.故
m
<2或2≤
m
≤3,即所求集合为{
m
|
m
≤3}.
答案:{
m
|
m
≤3}
3.已知集合
A
={
x
∈N|
x
-2
x
≤0},则满足
A
∪
B
={0,1,2}的集合
B
的个数为________.
解析
:由
A
中的不等式解得0≤
x
≤2,
x
∈N,即
A
={0,1,2}.∵
A
∪
B
={0,1,2},∴
B可能为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},?,共8个.
答案:8
核心考点
考点一 集合的概念与关系 自主探究
基础送分考点——自主练透
[题组练通]
1.已知集合
A
={1,-1}
,
B
={1,0,-1},则集合
C
={
a
+
b<
br>|
a
∈
A
,
b
∈
B
}中元素的个<
br>数为( )
A.2
C.4
B.3
D.5
2
解析:由题意,当
a
=1,
b
=1时,
a
+
b
=2;当
a
=1,
b
=0时,
a
+
b
=1;当
a
=1,
b
=-1时,
a
+<
br>b
=0;当
a
=-1,
b
=1时,
a
+b
=0;当
a
=-1,
b
=0时,
a
+
b
=-1;当
a
=-1,
b
=-1时,
a
+b
=-2.因此集合
C
={2,1,0,-1,-2},共有5个元素.故选D.
答案:D
2.(2018·兰州模拟)已知集合
A
={
x
|
y
=ln(
x
+3)},
B
={
x
|<
br>x
≥2},则下列结论正确
的是( )
A.
A
=
B
C.
A
?
B
B.
A
∩
B
=?
D.
B
?
A
解析:
A
={
x<
br>|
x
>-3},
B
={
x
|
x
≥2
},结合数轴可得:
B
?
A
.
答案:D
?
?<
br>?
k
ππ
3.已知集合
M
=
?
x
?
x
=+,
k
∈Z
44
?
?
?
<
br>?
?
?
,集合
?
?
?
?
?
k
ππ
N
=
?
x
?
x
=-,
k<
br>∈Z
84
?
?
?
?
?
?
,则
?
?
( )
A.
M
∩
N
=?
C.
N
?
M
?
?
?
解析:由
题意可知,
M
=
?
x
?
x
=
?
?
?
?
?
?
2
k
ππ
-或
N
=
?
x
?
x
=
84
?
?
?B.
M
?
N
D.
M
∪
N
=
N
k
+
8
π
π-,
k
∈Z
4
?
?
?
?
?
2
n
ππ
?
=<
br>?
x
?
x
=-,
n
∈Z
84
???
??
?
?
?
,
?
?
x
=
k
-
8
π
π-,
k
∈Z
4
?
?
?
,所以
M
?
N
,故选B.
?
?
答案:B
4.已知集合
A
={
x
|
log
2
x
≤2},
B
=(-∞,
a
),若
A
?
B
,则实数
a
的取值范围是(
c
,+
∞),其中
c
=________.
解析:由log
2
x
≤2,得0<
x
≤4,
即
A
={
x
|0<
x
≤4},
而
B
=(-∞,
a
),
由于
A
?
B
,如图所示,则
a
>4,即
c
=4.
答案:4
1.集合中元素的互异性常常容易被忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方
法常用于解决集合问题.如题组中1易错.
2.已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系
转化为元素间的关系,进而转
化为参数满足的条件,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助
分析.如题组中2,4
均用了数轴进行分析求解.
考点二
集合的基本运算 多维探究 题点多变考点——多角探明
[锁定考向] 集合运算多与
解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合
的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽
象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活
处理问题的能力.
常见的命题角度有:(1)集合的基本运算;(2)利用集合运算求参数或范围.
角度一
集合的基本运算
1.(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合
A
={(
x,
y
)|
x
+
y
=1},
B
={(<
br>x
,
y
)|
y
=
x
},则
A
∩
B
中元素的个数为( )
A.3
C.1
22
22
B.2
D.0
解析:因为
A
表示圆<
br>x
+
y
=1上的点的集合,
B
表示直线
y
=
x
上的点的集合,直线
y
=
x
与圆
x
+<
br>y
=1有两个交点,所以
A
∩
B
中元素的个数为2.
答案:B
?
?
?
3
2.设集合
A
={<
br>x
∈Z||
x
|≤2},
B
=
?
x
?
≤1
?
?
?
2
x
22
?
?
?
,则
A
∩
B
=( )
?
?
A.{1,2}
C.{-2,1,2}
B.{-1,2}
D.{-2,-1,0,2}
?
?
?
2
x
-3
≥0
解析:
A
={-2,-1,0,1,2},<
br>B
=
?
x
?
2
x
?
?
?<
br>
?
?
?
?
?
3
?
=
?<
br>x
?
x
≥或
x
<0
2
?
?
?
?
?
?
?
?
,所以
A
∩B
=
?
?
{-2,-1,2},故选C.
答案:C
3.已知集合
A
={
y
|
y
=
x
-1},
B
={
x
|
y
=lg(
x
-2
x
)},则?
R
(
A
∩
B
)=( )
22
?
1
?
A.
?
0,
?
<
br>?
2
?
?
1
?
C.
?
0,
?
?
2
?
2
?
1
?
B.(-
∞,0)∪
?
,+∞
?
?
2
?
?
1
?
D.(-∞,0]∪
?
,+∞
?
?
2
?
解析:
A
={
y
|
y
=
x
-1}=[0,+∞),
B
={
x
|
y
=lg(
x
-2
x
2
)}=
?
0,
?
,
2
?
?
1
?
?
?
1
?
所
以
A
∩
B
=
?
0,
?
,
?2
?
?
1
?
所以?
R
(
A
∩
B
)=(-∞,0]∪
?
,+∞
?
.
?
2
?
答案:D
解决集合运算的两个方法
方法
解读
利用数轴解决实数集合间的运算问题,用数轴
数轴
法
表示时注意
端点值的取舍步骤是:①化简集
合;②将集合在数轴上表示出来;③进行集合
运算求范围,重叠
区域为集合的交集,合并区
域代表集合的并集
利用Venn图,即利用封闭曲线的内
部表示集
合与集合之间的关系.对于Venn图要熟悉.如
Venn
图法
图所示
抽象的
集合
适合题型
以不等
式形式
给出的
集合
角度二 利用集合运算求参数或范围
4.(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合
A
={1,2,4},
B
={
x
|
x
-4
x
+
m
=0}.若
A
∩
B
={1},
则
B
=( )
A.{1,-3}
C.{1,3}
B.{1,0}
D.{1,5}
2
2
解析:因为
A
∩
B
={1},所以1∈
B
,所以1是方程
x
-4
x
+
m
=0的根,所以1-4+
m
=0,
m
=3,方程为
x
-4
x
+3=0,解得
x
=1或
x
=3,所以
B
={1,3}.
答案:C
5.已知集合
A
={
x
|log
2
x
<1},<
br>B
={
x
|0<
x
<
c
},若
A<
br>∪
B
=
B
,则
c
的取值范围是( )
A.(0,1]
C.(0,2]
B.[1,+∞)
D.[2,+∞)
2
解析:
A
={
x
|log<
br>2
x
<1}={
x
|0<
x
<2},因为
A
∪
B
=
B
,所以
A
?
B
,所以<
br>c
≥2,所以
c
∈[2,+∞),故选D.
答案:D
?<
br>?
?
1
6.(2017·合肥模拟)已知
A
=[1,+∞),
B
=
?
x
∈R
?
a
≤
x
≤2
a
-1
?
2
?
?
?
??
,若
?
?
A
∩
B
≠?,
则实数a
的取值范围是( )
A.[1,+∞)
?
1
?
B.
?
,1
?
?
2
?
?
2
?
C.
?
,+∞
?
?
3
?
D.(1,+∞)
2
a
-1≥1,
?
?
解析:因为
A
∩
B
≠?,所以?
1
2
a
-1≥
a
,
?
2
?
答案:A
解得
a
≥1,故选A.
根据集合运算的结果确定参数的取值范围
解决此类问题的步骤一般为:(1)化简所给集合;
(2)用数轴表示所给集合;(3)根据集
合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);(
5)检验,通过返回代入验证端点是否能
够取到.
解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn图进行求解.
[即时应用]
1.(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合
A
={1,2,3},
B
={2,3,4},则
A
∪
B
=( )
A.{1,2,3,4}
C.{2,3,4}
解析:由题意得
A
∪
B
={1,2,3,4}.
答案:A
2.(2017·高考浙江卷)已知集合
P
={
x
|-1<
x
<1},
Q
={
x
|0<
x
<2},则
P
∪
Q
=( )
A.(-1,2)
C.(-1,0)
解析:
P
∪
Q
=(-1,2).
答案:A
3.
(2017·高考山东卷)设函数
y
=4-
x
的定义域为
A
,函数
y
=ln(1-
x
)的定义域为
2
B.{1,2,3
}
D.{1,3,4}
B.(0,1)
D.(1,2)
B
,则
A
∩
B
=( )
A.(1,2)
C.(-2,1)
2
B.(1,2]
D.[-2,1)
解析
:由4-
x
≥0,解得-2≤
x
≤2,由1-
x
>0,解得
x
<1,∴
A
∩
B
={
x
|-2≤
x
<1}.故
选D.
答案:D
4.(2018·长沙模拟)已知集合<
br>A
={1,2,3},
B
={
x
|
x
-3<
br>x
+
a
=0,
a
∈
A
},若
A∩
B
≠?,
则
a
的值为( )
A.1 B.2
2
C.3 D.1或2
解析:当
a
=1时,B
中元素均为无理数,
A
∩
B
=?;
当
a<
br>=2时,
B
={1,2},
A
∩
B
={1,2}≠?
;
当
a
=3时,
B
=?,则
A
∩
B=?,
所以
a
的值为2,故选B.
答案:B
5.设集合<
br>A
={0,1},集合
B
={
x
|
x
>a
},若
A
∩
B
=?,则实数
a
的取值范围是
( )
A.
a
≤1
C.
a
≥0
B.
a
≥1
D.
a
≤0
解析:由
A<
br>∩
B
=?知0?
B,
1?
B
,∴
a
≥1,故选B.
答案:B
考点三 集合的新定义问题 创新探究
交汇创新考点——突破疑难
与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题,它是化归思想的
具体运用,是近几年高
考的热点问题,这类试题的特点是:通过给出的新的数学概念或新的运算法则,在
新的情境
下完成某种推理证明,或在新的运算法则下进行运算.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.解决此类题型的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则
等的含义
,然后分析题目中的条件,设法进行套用.
[典例] 设
A
是自然数集的一个非空子
集,对于
k
∈
A
,如果
k
?
A
,且
k
?
A
,那么
k
是
2
A
的一个“酷元”
,给定
S
={
x
∈N|
y
=lg(36-
x
2
)},设
M
?
S
,集合
M
中有两个元素,且这
两个元素都是
M
的“酷元”,那么这样的集合
M
有( )
A.3个
C.5个
2
B.4个
D.6个 <
br>解析:由36-
x
>0可解得-6<
x
<6,又
x
∈
N,故
x
可取0,1,2,3,4,5,故
S
=
{0,1,2,3,
4,5}.
由题意可知:集合
M
不能含有0,1,且不能同时含有2,4.故集合<
br>M
可以是{2,3}、{2,5}、
{3,5}、{3,4}、{4,5}.
答案:C
[即时应用]
1.设
A
,
B
是两个非空集合,定义集合
A
-
B
={
x
|
x<
br>∈
A
,且
x
?
B
}.若
A
={x
∈N|0≤
x
≤5},
B
={
x
|
x
2
-7
x
+10<0},则
A
-
B
=(
)
A.{0,1} B.{1,2}
C.{0,1,2}
D.{0,1,2,5}
2
解析:∵
A
={
x
∈N|0≤
x
≤5}={0,1,2,3,4,5},
B
={
x
|x
-7
x
+10<0}={
x
|2<
x
<5}
,
A
-
B
={
x
|
x
∈
A
且
x
?
B
},
∴
A
-
B
={0,1,2,5}.故选D.
答案:D <
br>2.设
P
,
Q
为两个非空实数集合,定义集合
P
?<
br>Q
={
z
|
z
=
a
÷
b
,
a
∈
P
,
b
∈
Q
},若
P
={-
1,0,1},
Q
={-2,2},则集合
P
?
Q
中元素的个数是( )
A.2
C.4
B.3
D.5
解析:当
a
=0时,无论
b
取何值,
z
=
a
÷
b
=0;
1
当
a
=-1,
b
=-2时,
z
=; <
br>2
1
当
a
=-1,
b
=2时,
z
=
-;
2
1
当
a
=1,
b
=-2时,
z<
br>=-;
2
1
当
a
=1,
b
=2时,
z
=.
2
?
11
?
?
0,-,
?,该集合中共有3个元素,所以选B.
故
P
?
Q
=
22
??
答案:B
A组——基础对点练
1.(2017·高考天津卷)设集合
A
={1,2,
6},
B
={2,4},
C
={1,2,3,4},则(
A
∪
B
)∩
C
=( )
A.{2}
C.{1,2,4,6}
解析:由题意知
A
∪
B
={1,2,4,6},
∴(
A
∪
B
)∩
C
={1,2,4}.
答案:B
2.(2018·成都市模拟)设集合
A
={0,1},
B
={
x
|(
x
+2)(
x
-1)<0,
x
∈Z},则
A
∪
B
=( )
A.{-2,-1,0,1}
C.{0,1}
B.{-1,0,1}
D.{0}
B.{1,2,4}
D.{1,2,3,4,6}
解析:因
为集合
A
={0,1},
B
={
x
|(
x
+2)(
x
-1)<0,
x
∈Z}={-1,0},所以
A
∪
B
={-
1,0,1}.故选B.
答案:B
3
.设集合
A
={
x
|
x
<2},
B
={<
br>y
|
y
=2-1},则
A
∩
B
=( )
A.(-∞,3)
C.(-∞,2)
x
x
B.[2,3)
D.(-1,2)
x
解析:
A
={
x
|
x
<2},因为
y
=2-1>-1,所以
B
={
y
|
y
=2-1}=(-1,+∞),所以
A
∩
B
=(-1,
2),故选D.
答案:D
4.设
a
,
b
∈R,集合{1
,
a
+
b
,
a
}=
?
0,,
b<
br>?
,则
b
-
a
=( )
??
?
b
a
?
A.1
C.2
?
?
B.-1
D.-2
解析:根据题意,集合{1,
a
+
b
,
a
}=
?
0,,
b
?,又∵
a
≠0,∴
a
+
b
=0,即
a
=-
b
,
?
b
a
?
∴=-1,
b
=1.故
a
=-1,
b
=1,则
b
-
a
=
2.故选C.
答案:C
5.已知集合
A
={-2,-1,0,1,2,3
},
B
={
x
|
A.{-2,-1,0,1,2,3}
C.{-1,2}
b
a
x
+1
<0},则
A<
br>∩
B
=( )
x
-2
B.{-1,0,1,2}
D.{0,1}
解析:由题意,得
B
={
x
|-1<x
<2},所以
A
∩
B
={0,1},故选D.
答案:D
6.已知集合
A
={1,2,3,4},
B
={
y
|
y
=3
x
-2,
x
∈
A},则
A
∩
B
=( )
A.{1}
C.{1,3}
B.{4}
D.{1,4}
解析:由题意,得
B
={1,4,7,10},∴
A
∩
B
={1,4}.
答案:D
7.(2018·长沙市模拟)已知集合
P
={
x
|-2
016≤
x
≤2 017},
Q
={
x
|2
017-
x
<1},
则
P
∩
Q
=( )
A.(2 016,2 017)
C.[2 016,2 017)
B.(2
016,2 017]
D.(-2 016,2 017)
解析:由已知可得
Q
={
x
|0≤2
017-
x
<1}=(2 016,2
017],则
P
∩
Q
=(2 016,2 017].
答案:B
8.(2018·石家庄模拟)函数
y
=
x
-2与
y
=ln(1-
x
)的定义域分别为
M
,
N
,则
M
∪
N
=( )
A.(1,2]
C.(-∞,1]∪[2,+∞)
B.[1,2]
D.(-∞,1)∪[2,+∞)
解析:使
x
-2有意义的实数
x
应满足
x
-2≥0,∴
x
≥2,∴
M
=[2,+∞
),
y
=ln(1
-
x
)中
x
应满足1-
x
>0,∴
x
<1,∴
N
=(-∞,1),所以
M
∪
N
=(-∞,1)∪[2,+∞),
故选D.
答案:D
9.(
2018·沈阳市模拟)设全集
U
=R,集合
A
={
x
|<
br>x
≥2},
B
={
x
|0≤
x
<6},则集
合(?
U
A
)∩
B
=( )
A.{
x
|0<
x
<2}
C.{
x
|0≤
x
<2}
B.{
x
|0<
x
≤2}
D.{
x
|0≤
x
≤2}
解析:∵
U
=
R,
A
={
x
|
x
≥2},∴?
U
A={
x
|
x
<2}.又
B
={
x
|0
≤
x
<6},∴(?
U
A
)∩
B
=
{x
|0≤
x
<2}.故选C.
答案:C
10.(2017·
天津模拟)设集合
M
={0,1,2},
N
={
x
|
x
-3
x
+2≤0},则
M
∩
N
=( )
A.{1}
C.{0,1}
2
2
B.{2}
D.{1,2}
解析:
N
={
x
|
x
-
3
x
+2≤0}={
x
|1≤
x
≤2},又
M={0,1,2},所以
M
∩
N
={1,2}.
答案:D <
br>11.已知集合
A
={1,2,3,4},
B
={
x
|
x
=
n
,
n
∈
A
},则
A∩
B
=( )
A.{1,4}
C.{9,16}
B.{2,3}
D.{1,2}
2
解析:
n
=1,2,
3,4时,
x
=1,4,9,16,∴集合
B
={1,4,9,16},∴<
br>A
∩
B
={1,4}.
答案:A
12.(2018·长春
市模拟)已知集合
A
={
x
|
x
-
x
+4
>
x
+12},
B
={
x
|2
R
2
x
-1
<8},则
A
∩(?
B
)=( )
A.{
x
|
x
≥4}
C.{
x
|
x
≥-2}
B.{
x
|
x
>4}
D.{
x
|
x
<-2或
x
≥4}
解析:
由题意易得,
A
={
x
|
x
<-2或
x
>
4},
B
={
x
|
x
<4},则
A
∩(?
R
B
)={
x
|
x
>4}.故
选B.
答案:B
13.已知集合
A
={-1,2,3,6},
B
={
x
|-2<
x
<3},则
A
∩
B
=_
_______.
答案:{-1,2}
14.已知集合
U
={1,2,3
,4},
A
={1,3},
B
={1,3,4},则
A
∪(
?
U
B
)=________.
解析:?
U
B
={2},∴
A
∪?
U
B
={1,2,3}.
答案:{1,2,3}
15.集合{-1,0,1}共有__________个子集. <
br>解析:集合{-1,0,1}的子集有?,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{
0,1},{-
1,0,1},共8个.
答案:8
16.已知集合
U={1,2,3,4,5},
A
={1,3},
B
={1,3,4},则
A
∪(?
U
B
)=__________.
答案:{1,2,3,5}
B组——能力提升练
1.已知全集
U
={0,1,2,3},?
U
M
={2},则集合
M
=( )
A.{1,3}
C.{0,3}
解析:
M
={0,1,3}.
答案:B
2.已知集合
A
={0,1,2},
B
={1,
m
}.若
A
∩B
=
B
,则实数
m
的值是( )
A.0
C.0或2
B.2
D.0或1或2
B.{0,1,3}
D.{2}
解析:∵
A
∩
B
=
B
,∴<
br>B
?
A
,∴
m
=0或
m
=2.
答案:C
3.(2018·南昌市模拟)已知集合
A
={
x
∈R|0<
x
≤5},
B
={
x
∈R|log
2
x
<2},则(?
A
B
)∩Z
=( )
A.{4}
C.[4,5]
B.{5}
D.{4,5}
解析:∵集合
A
={
x
∈R|0<
x
≤5},
B<
br>={
x
∈R|log
2
x
<2}={
x
|0
<
x
<4},∴?
A
B
=
{
x
|4≤x
≤5},∴(?
A
B
)∩Z={4,5},故选D.
答案:D
?
?
?
x
-1
≤0
4.已知集
合
A
=
?
x
?
x
+2
?
?
?
?
?
?
,
B
={
x
|y
=lg(-
x
2
+4
x
+5)},则
A∩(?
R
B
)=( )
?
?
A.(-2,-1]
C.(-1,1]
?
?
?
x
-1
≤0
解析:依题意,
A
=
?
x
?
x
+2
??
?
2
B.[-2,-1]
D.[-1,1]
?
?
?
={
x
|-2<
x
≤1},
B
={
x
|
y
=lg(-
x
2
+4
x+5)}={
x
|
?
?
-
x
+4
x<
br>+5>0}={
x
|-1<
x
<5},∴?
R
B={
x
|
x
≤-1或
x
≥5},
A
∩
(?
R
B
)=(-2,-1],选A.
答案:A
5.(2018·惠州模拟)已知集合
A
={0,1},
B
={
z<
br>|
z
=
x
+
y
,
x
∈
A<
br>,
y
∈
A
},则集合
B
的
子集的个数为(
)
A.3
C.7
B.4
D.8
3
解析:由题
意知,
B
={0,1,2},则集合
B
的子集的个数为2=8.故选D.
答案:D
6.(2018·太原市模拟)已知全集
U
=R,集合
A
={
x
|
x
(
x
+2)<0},
B
={
x
||
x
|≤1},则
如图所示的阴影部分表示的集合是(
)
A.(-2,1)
B.[-1,0]∪[1,2)
C.(-2,-1)∪[0,1]
D.[0,1]
解析:因为集合
A={
x
|
x
(
x
+2)<0},
B
=
{
x
||
x
|≤1},所以
A
={
x
|-
2<
x
<0},
B
={
x
|
-1≤
x≤1},所以
A
∪
B
=(-2,1],
A
∩
B
=[-1,0),所以阴影部分表示的集合为?
A
∪
B
(
A
∩
B
)
=(-2,-1)∪[0,1],故选C.
答案:C 7.(2018·郑州质量预测)设全集
U
={
x
∈N|
x≤4},集合
A
={1,4},
B
={2,4},则?
U
(
A
∩
B
)
=( )
A.{1,2,3}
C.{1,3,4}
B.{1,2,4}
D.{2,3,4}
*解析:因为
U
={1,2,3,4},
A
∩
B
={4}
,所以?
U
(
A
∩
B
)={1,2,3},故选A.
答案:A
8.(2018·广雅中学测试)若全集
U
=R,则正确表示集合
M
={-1,0,1}和
N
={
x
|
x
+
x
=0}关系的Venn图是( )
2
解析:由题意知,N
={
x
|
x
+
x
=0}={-1,0},而
M
={-1,0,1},所以
N
答案:B
9.已知集合
A
满足条件{1,2}?
A
A.8
C.4
B.7
D.3
,则集合
A
的个数为( )
2
M
,故选B.
解析:由题意可知,集合
A
中必含有元素1和2,可含有3,4,5中的0个、1个、2个,
则集合
A
可以为{
1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{
1,2,4,5},
共7个.故选B.
答案:B
10.已知集合
A
={2,0,1,4},
B
={
k
|
k
∈R,
k
-2∈
A
,
k
-2?
A
},则集合
B中所有的元
素之和为( )
A.2
C.0
2
2
B.-2
D.2
解析:若
k
-2=2,则
k
=2或
k
=-2,当
k
=2时,
k
-2
=0,不满足条件,当
k
=-2
时,
k
-2=-4,满足条件;若<
br>k
-2=0,则
k
=±2,显然满足条件;若
k
-2=1,则
k
=±3,显然满足条件;若
k
-2=4,得
k
=±6,显
然满足条件.所以集合
B
中的元素
为-2,±2,±3,±6,所以集合
B<
br>中的元素之和为-2,故选B.
答案:B
11.给出下列四个结论:
①{0}是空集;
②若
a
∈N,则-
a
?N;
③集合
A
={
x
|
x
-2
x
+1=0}中
有两个元素;
?
?
?
6
④集合
B
=
?<
br>x
∈Q
?
∈N
?
x
?
?
2
2
22
?
?
?
是有限集.
?
?
其中正确结论的个数是( )
A.0
C.2
B.1
D.3
解析:对于①,{0}中含有元素0,不是空集,故①错误;
对于②,比如0∈N,-0∈N,故②错误;
对于③,集合
A
={
x
|
x
-2
x
+1=0}={1}中有一个元素,故③错误; ?
?
66
?
6
对于④,当
x
∈Q且∈N时,可
以取无数个值,所以集合
B
=
?
x
∈Q
?
∈N2
xx
?
?
?
x
?
?
?
是无限集,
?
?
故④错误.
综上可知,正确结论的个数是0.故选A.
答案:A
12.已知集合
A<
br>={(
x
,
y
)|
x
+
y
≤1,<
br>x
,
y
∈Z},
B
={(
x
,
y<
br>)||
x
|≤2,|
y
|≤2,
x
,
y∈Z},定义集合
A
数为( )
A.77 B.49
22
B
={(
x
1
+
x
2
,
y
1<
br>+
y
2
)|(
x
1
,
y
1
)∈
A
,(
x
2
,
y
2
)∈
B<
br>},则
AB
中元素的个
C.45
22
D.30
解析:集合
A
={(
x
,
y
)|
x
+
y
≤1,
x
,
y
∈Z
},所以集合
A
中有5个元素(即5个点),即图中圆内及圆上的整点.集合
B
={(
x
,
y
)||
x
|≤2,|
y
|
≤2,
x
,
y
∈Z}中有25个元素(即25个
点),即图中正方形
ABCD
内及正方形
ABCD
上的整点.集合
AB
={(<
br>x
1
+
x
2
,
y
1
+
y<
br>2
)|(
x
1
,
y
1
)∈
A
,(
x
2
,
y
2
)∈
B
}中的元素可看
作
正方形
A
1
B
1
C
1
D
1内及正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
上除去四个顶点外的整点,共
7×7-4=45个.
答案:C
13.设全集U
={
n
∈N|1≤
n
≤10},
A
={1,
2,3,5,8},
B
={1,3,5,7,9},则(?
U
A
)∩
B
=
________.
解析:依题意得
U
={1,2,
3,4,5,6,7,8,9,10},?
U
A
={4,6,7,9,10},(?<
br>U
A
)∩
B
={7,9}.
答案:{7,9}
1
4.集合
A
={
x
∈R||
x
-2|≤5}中的最小整数为
________.
解析:由|
x
-2|≤5,得-5≤
x
-2≤
5,即-3≤
x
≤7,所以集合
A
中的最小整数为-3.
答案:-3
15.若集合
A
={
x
|(
a
-1)
x
+3
x
-2=0,
x
∈R}有且仅有两个子集,
则实数
a
的值为
________.
解析:由题意知,方程(
a<
br>-1)
x
+3
x
-2=0,
x
∈R,有一个根,∴当
a
=1时满足题意,
1
当
a
≠1时,Δ=0,即9+8(<
br>a
-1)=0,解得
a
=-.
8
1
答案:1或-
8
2
2