高中数学选考知识点-高中数学名师简介
重点高中数学必修一二三四五
知识点
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2
高中数学必修1知识点
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
1.元素的确定性;
2.元素的互异性;
3.元素的无序性
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象
或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象
,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判
定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,
不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ … }
如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)N 正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念:集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合
A 记作 a
∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的
公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属
于这个集合的方法
:①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法:例:不等式
x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}
4、集合的分类:
1.有限集 含有有限个元素的集合
2.无限集
含有无限个元素的集合
3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含
集合A,记作A
?
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设
A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论:对于两个集合A与B,
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A
的元素,我们就
说集合A等于集合B,即:A=B
① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
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B(或BA)
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2
2
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1、交集的定义:一般地,由所有属于A且
属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作"A交B"),即A
∩B=
{x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元
素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作"A
并B"),即A∪B={x|x∈A,或
x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B =
B∩A,A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)
补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即
A?S
),由S中所有不属于A的元素组成的
集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作:
C
S
A 即 C
S
A ={x ? x?S且 x?A}
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
(3)性质:⑴C
U
(C
U
A)=A
⑵(C
U
A)∩A=Φ ⑶(C
U
A)∪A=U
四、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系
f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有
唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A
→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其
中,x叫做自变量,x的取值
范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合
{f(x)| x∈A
}叫做函数的值域.
注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域
即是指能使这个式子有意义的实数的集合;
函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. <
br>(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义
的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定
义域还要保证实际问题有意义.(又注意:求出不等式组的解集即为函数
的定义域。)
构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
再注意:
(1)构成函数三个要素是
定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的
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33
S
A
C
s
A
定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)
(2)两个函数相等当且
仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判
断方法:①
表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)
值域补充:(1)、函数的值域取决于定义域和对
应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)应熟悉掌握一次函数、二次
函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域
的基础。
2.
函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) ,
(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,
叫做函数
y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满
足y=f(x)的
每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={
P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。图象C一般
的是一条光滑的连续曲线(或直线)
,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散
点组成。
(2)画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x
,y)为坐标在坐标系内描出相应的点
P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;
2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。
3.
了解区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
4.什么叫做映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使
对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中
都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A
?
B”
给定一个集
合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫
做元素
b 的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对
应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,
即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关
系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:
(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都
有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中
对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求
集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1
○
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;
2
○解析法:必须注明函数的定义域;
3
○图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;
4
○列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数 :在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必
须把自变量代入
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相应的表达式
。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并
用一个左大括号括起来
,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不
要把它误认为是几个函数;(
2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数:如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则
y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g的复合函数。例如:
y=2
y=2cos(X+1)
5.函数单调性
(1)增函数
设函数y
=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
,x2
,当x
1
时,都有
f(x
1
)
),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区
间 (睇清楚课本单调区间的概
念)
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1<
br>,x
2
,当x
1
时,都有f(x1)>f(
x2),那么就说f(x)在这个区间上
是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
1
注意:○函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2
○必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
,x
2
;
当x
1
时,总有f(x
1
)
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说
函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单
调区间上增函数的图象从左到右是上升的,
减函数的图象从左到右是下降的.
(3)函数单调区间与单调性的判定方法
(A)
定义法:
1
○任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
2
○作差f(x
1
)-f(x
2
);
3
○变形(通常是因式分解和配方);
4
○定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);
5
○下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y
=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
函数
u=g(x)
y=f(u)
y=f[g(x)]
增
增
增
增
减
减
单调性
减
增
减
减
减
增
2
sinX
注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间
,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?
6.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x
),那么f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数
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一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f
(x),那么f(x)就叫做奇函数.
1
注意:○函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶
性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶
性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2
○由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个
x,
则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
1
○首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
2
○确定f(-x)与f(x)的关系;
3
○作出相应结论:若f(-x) = f(x)
或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或
f(-
x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函
数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若
不对称则函数是非奇非偶函数.若
对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,
可考虑根据是否有
f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判
定 .
7、函数的解析表达式
(1).函数
的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如
果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;
已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,
这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;
若已知抽象函数表达式,则常用解方
程组消参的方法求出f(x)
8.函数最大(小)值
1
○利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
2
○利用图象求函数的最大(小)值
3
○利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函
数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减
则函数y=f(x)在x=
b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函
数
y=f(x)在x=b处有最小值f(b)
第二章 基本初等函数
一、指数函数
一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果
x
n
?a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方
根(n th root),其中
n
>1,且
n
∈
N
. <
br>*
当
n
是奇数时,正数的
n
次方根是一个正数,负数的
n
次方根是一个负数.此时,
,这里
n
叫做根指数
a
的<
br>n
次方根用符号
n
a
表示.式子
n
a
叫做根
式(radical)
(radical
exponent),
a
叫做被开方数(radicand).
当
n
是偶数时,正数的
n
次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数
a
的
正
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33
n
?
a(a?0)
a
n
?|a|?
?
?
?a(a?0)
的
n
次方根用符号
n
a
表示,负的
n
次
方根用符号-
n
a
表示.正的
n
次方根与负
的
n<
br>次方根可以合并成±
n
a
(
a
>0).由
此可得:负数没有偶次方根;0的任何
次方根都是0,记作
n
0?0
。 注意:当
n
是奇数时,
n
a
n
?a
,当
n
是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
a?a(a?0,m,n?N,n?1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
m
n
n
m*
a
?
m
n
?
1
a
m
n
?
1
n
a
m
(a?0,
m,n?N
*
,n?1)
指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数
推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性
质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
rr?s
r
(1)
a
·
a?a
(a
?0,r,s?R)
(a
r
)
s
?a
rs
(2
)
(
ab)
r
?a
r
a
s
(
3).
(a?0,r,s?R)
(a?0,r,s?R)
二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:
一般地,函数
y?a
x
(a?0,且a?1
)
叫做指数函数(exponential
function),其中x是自变量,函数的定义
域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
6
0
6
55
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-
1
246-4-2
0
-1
246
图象特征 函数性质
0?a?1
a?1
0?a?1
a?1
向x、y轴正负方向无限延伸
图象关于原点和y轴不对称
函数图象都在x轴上方
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,图象逐渐上升
在第一象限内的图象纵坐标
都大于1
在第二象限内的图象纵坐标
都小于1
33
函数的定义域为R
非奇非偶函数
函数的值域为R
a
0
?1
+
自左向右看,图象逐渐下降
在第一象限内的图象纵坐标
都小于1
在第二象限内的图象纵坐标
都大于1
增函数
x?0,a
x
?1
减函数
x?0,a
x
?1
x?0,a
x
?1
x?0,a
x
?1
Page 8 of
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢,到了某函数值开始减小极快,到了某
一值后增长速度极快;
一值后减小速度较慢;
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b
]上,
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(
b)]
或
[f(b),f(a)]
;
(2)若
x?0
,则
f(x)?1
;
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
;
(3)对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
,总有f(1)?a
;
(4)当
a?1
时,若
x
1
?x
2
,则
f(x
1
)?f(x
2
)
;
二、对数函数
一)对数
1.对数的概念:
a
为一般地,如果
a
x?N
(a?0,a?1)
,那么数
x
叫做以底对数作:
(
a
— 底数,
N
的
x
,
?
记
l
og
...
a
N
真数, — 对数式)
N
—
log
a
N
1
2
?
3
说明:○注意底数的限制
a?0
,且
a?
;○
;○注意对数的书写格式.
a
x
1
?Nlog
a
N?x
1
2
两个重要对数:○常用对数:以10为底的对数
lgN
;○自然对数:以
无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
.
对数式与指数式的互化
log
a
N?x
二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1
,
M?0
,
N?0
,那么:
1
N)
?
○
+
a
Nlog(Mlog
logM
a
a
M
2○
log
a
M
-
log
a
N
;
log?
a
?
a
x
?N
对数式
?
指数式 对数底数←
a
→ 幂底数
对数←
x
→指数 真数←
N
→幂
3
log
a
M
n
?n
log
a
M
○
(n?R)
.
logb
c
注意:换底公式
(
a?0
,且
a?1
;
c?0
,且
c?1
;
b?0
).
log
a
b?
log
c
a
1
n
n
log
logb?logb
a
b
利
用换底公式推导下面的结论()
;(2
?
).
a
a
1
loga
m
N
m
b
三)对数函数 <
br>1、对数函数的概念:函数
y?log
a
x(a?0
,且
a?
1)
叫做对数函数,其中
x
是自变量,函数的定义域是(0,
+∞).
1
注意:○对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
x
?
log
如:
y?2log
2
x
y
,
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5
5
2
○对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)
.
2、对数函数的性质:
a>1 0Page 9 of
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1
-1
3
1
13
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
图象特征
函数性质
0?a?1
a?1
0?a?1
a?1
函数图象都在y轴右侧
图象关于原点和y轴不对称
向y轴正负方向无限延伸
函数图象都过定点(1,0)
自左向右看,图象逐渐上升
函数的定义域为(0,+∞)
非奇非偶函数
函数的值域为R
log
a
1?0
自左向右看,图象逐渐下降 增函数 减函数
0?x?1,log
a
x?0
x?1,log
a
x?0
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0
x?1,log
a
x?0
第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0
0?x?1,log
a
x?0
四)幂函数
1、幂函数定
义:一般地,形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数,其中
?<
br>为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)
?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特
别地,当
?
?1
时,幂函数
的图象下凸;当
0?
?
?1
时,幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图象在区
间
(0,??)
上是减函数.在第一象限内,当
x
从右边趋向原点时,图象<
br>在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴,当
x
趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数<
br>y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫
做函数
y?f(x)(x?D)
的零
点。
2、函数零点的意义:函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根,亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐
标。即:方程
f(x)?0
有实数
根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
求函数
y?f(x)
的零点:
1
○(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
2
○(几何法)对于不能用
求根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
Page 10 of
33
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
.
1)△>0
,方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根,二次函数的图象与
x<
br>轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2)△=0,方程
ax
2
?b
x?c?0
有两相等实根(二重根),二次函数的图象与
x
轴有一个交点,二次函数有
一
个二重零点或二阶零点.
3)△<0,方程
ax
2
?bx?c?
0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交点,二次函数无零点.
数学必修2知识点
1. 多面体的面积和体积公式
名称
棱
柱
棱
锥
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
棱
台
侧面积(S侧)
直截面周长×l
Ch
各侧面面积之和
S侧+S底
ch′
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下
底
(c+c′)h′
+
h(S上底+S下底
)
S底·h
全面积(S全)
S侧+2S底
体 积(V)
S底·h=S直截面·h
S底·h
正棱台
表中S表示面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表示高,h′表示斜高,l表示侧棱长。
2. 旋转体的面积和体积公式
名称
S侧
S全
圆柱
2πrl
2πr(l+r)
圆锥
πrl
Πr(l+r)
圆台
π(r1+r2)l
π(r1+r2)l+π
(r21+r22)
球
4πR2
V πr2h(即πr2l)
πr2h πh(r21+r1r2+r22) πR3 表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2分别表示圆台上、
下
底面半径,R表示半径。
3、平面的特征:平的,无厚度,可以无限延展.
4、平面的基本性质:
公理1、若一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
Page
11 of
33
??l,??l,??
?
,??
?
?l?
?
公理2、过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
?,?,C三点不共线?有且只有一
个平面
?
,使??
?
,??
?
,C?
?
公理3、若两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
??
?
I
?
?
?
I
?
?l且??l
推论1、经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面.
推论2、经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3、经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.
ab,bc?ac
5、等角定理:空间中若两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
推论:若两
条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或
直角)相等.
6、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线
与此平面平
行.
数学符号表示:
a?
?
,b?
?
,ab?a
?
直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
数学符号表示:
a
?
,a?
?,
?
I
?
?b?ab
7、平面与平面平行的判定定理
:(1)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则
这两个平面平行.
数学符号表示:
a?
?
,b?
?
,aIb??,a
?
,b
?
?
?
?
(2)垂直于同一条直线的两个平面平行.
符号表示:
a?
?
,a?
?
?
?
?
(3)平行于同一个平面的两个平面平行. 符号表示:
?
?<
br>,
?
?
?
?
?
面面平行的性质定理:
(1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.
Page 12
of
33
?
?
,a?
?
?a
?
(2)若两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
?
<
br>?
,
?
I
?
?a,
?
I
?
?b?ab
8、直线与平面垂直的判定定理:(1)一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直,则
该直线与此平面垂直.
数学符号表示:
m?
?
,n??
,mIn??,l?m,l?n?l?
?
(2)若两条平行直线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
ab,a?
?
?b?
?
(3)若一条直线垂直于两个平行平面中一个,那么该直线也垂直于另一个平面.
?
?
,a?
?
?a?
?
直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
a?
?
,b?
?
?ab
9、两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
a?
?
,a?
?
?
?
?
?
平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直.
数学符号表示:
?
?
?
,
?
I
?
?b,a?
?
,a?b?a?
?
10、直线的倾斜角和斜率:
oo
(1)设直线的倾斜角为
?
0?
?
?180
,斜率为
k
,则
k?tan
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
.当时,
?
2
?
2
斜率不存在.
(2)当<
br>0?
?
?90
时,
k?0
;当
90?
??180
时,
k?0
.
(3)过
P
1
(x<
br>1
,y
1
)
,
P
2
(x
2
,y
2
)
的直线斜率
k?
11、两直线的位置关系:
Page 13 of
33
oooo
y
2
?y
1
(x
2
?x
1
)
.
x
2
?x
1
两条直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
,
l
2
:y?k<
br>2
x?b
2
斜率都存在,则:
(1)
l
1
∥
l
2
?
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2
(2)
l
1
?l
2
?k
1
?k
2
??1
(当
l
1
的斜率存在
l
2
的斜率不存在时
l
1
?l
2
) (3)
l
1
与
l
2
重合
?
k
1
?k
2
且
b
1
?b
2
12、直线方程的形式:
(1)点斜式:
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
(定点,斜率存在)
(2)斜截式:
y?kx?b
(斜率
存在,在
y
轴上的截距) (3)两点式:
y?y
1
x?x
1
?(y
2
?
y
1
,x
2
?x
1
)
(两点) (4)一般式:
y
2
?y
1
x
2
?x
1
?x??
y?C?0??
?
A
2
?B
2
?0
?
<
br>(5)截距式:
xy
??1
(在
x
轴上的截距,在
y
轴上的截距)
ab
13、直线的交点坐标:
设
l
1:A
1
x?B
1
y?c
1
?0,l
2
:A
2
x?B
2
y?c
2
?0
,则:
(
1)
l
1
与
l
2
相交
?
A
1B
1
ABC
?
;(2)
l
1
∥
l2
?
1
?
1
?
1
;(3)
l
1
与
l
2
重合
A
2
B
2A
2
B
2
C
2
?
A
1
B1
C
1
??
.
A
2
B
2
C
2
22
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
14、两点
P
1
(x
1
,y<
br>1
)
,
P
2
(x
2
,y
2
)
间的距离公式
PP
12
?
原点
?
?
0,
0
?
与任一点
?
?
x,y
?
的距离
OP?
x
2
?y
2
15、点
P
0
(x
0
,y
0
)
到直线
l:?x??y?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
Page 14 of
33
Ax
0
?
C
(1)点
P
0
(x
0
,y
0
)
到直线
l:?x?C?0
的距离
d?
A
(2)点
P
0
(x
0
,y
0
)
到直线
l:?y?C
?0
的距离
d?
By
0
?C
B
(3)点
?
?
0,0
?
到直线
l:?x??y?C?0
的距
离
d?
C
A?B
22
16、两条平行直线
?x?
?y?C
1
?0
与
?x??y?C
2
?0
间的距离
d?
C
1
?C
2
A?B
22
1
7、过直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?c
1
?0
与
l
2
:A
2
x?B
2
y?
c
2
?0
交点的直线方程为
(A
1
x?B
1y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?
c
2
)?0
?
?
?R
?
18、与直线<
br>l:?x??y?C?0
平行的直线方程为
?x??y?D?0
?
C?
D
?
与直线
l:?x??y?C?0
垂直的直线方程为
?
x??y?D?0
19、中心对称与轴对称:
x
1
?x
2
?
x?
?
?
0
2
(1)中心对称:设点
P(x
1
,y
1
),E(x
2
,y
2
)<
br>关于点
M(x
0
,y
0
)
对称,则
?
?
y?
y
1
?y
2
0
?
?2
(2)轴对称:设
P(x
1
,y
1
),E(x
2<
br>,y
2
)
关于直线
l:?x??y?C?0
对称,则: a、
B?0
时,有
x
1
?x
2
y?y
2
CC
??
且
y
1
?y
2
;
??
且
x
1
?x
2
b、
A?0
时,有
1
2A2B
?
y
1
?y
2
B
?
?
?
x
1
?x
2
A
c、A?B?0
时,有
?
?
A?
x
1
?
x
2
?B?
y
1
?y
2
?C?0
?
?22
20、圆的标准方程:
(x?a)?(y?b)?r
(圆心
A
?
a,b
?
,半径长为
r
)
222
Page
15 of
33
圆心
O
?
0,0?
,半径长为
r
的圆的方程
x?y?r
。
222
21、点与圆的位置关系:
设圆的标准方程
(x?a)?(y?b)
?r
,点
M(x
0
,y
0
)
,将M带入圆的标准方
程,结果>r2
在外,
x?y?Dx?Ey?F?0D?E?4F?0
(1)当
D?E?4F?0
时,表示以
?
?
圆;
(2)当
D?E?4F?0
时,表示一个点
?
?
22
22<
br>222
22
?
22
?
1
?
DE
?<
br>,?
?
为圆心,
D
2
?E
2
?4F
为半径的
2
?
22
?
?
DE
?
22
,?
?
;(3)当
D?E?4F?0
时,
?
22
?
不表示任何图形.
23、直线与圆的位置关系:
几何角度:圆心到直线的距离与半径大小比较;或代数角度:带入方程组算△>0、=0、
<0
.
24、圆与圆的位置关系:几何角度判断(圆心距与半径和差的关系)
(1)相
离
?C
1
C
2
?r
1
?r
2
;
(2)外切
?C
1
C
2
?r
1
?r
2; (3)相交
?r
1
?r
2
?C
1
C<
br>2
?r
1
?r
2
;
(4)内切
?C1
C
2
?r
1
?r
2
; (5)内含
?C
1
C
2
?r
1
?r
2
.
2222
25、过两圆
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
交点的圆的方程
(x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F)
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
(
?
??1)
.
当
?
??1
时,即两圆公共弦所在的直线方程.
P
2(x
2
,y
2
,z
2
)
间的距离
PP
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)?(z
2
?z
1
)
,26、点
P
1
(
x
1
,y
1
,z
1
)
,
12
?<
br>222
高中数学必修3知识点
第一章 算法初步
Page 16 of
33
1.1.1 算法的概念
算法的特点:
(1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的.
(
2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应
当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一
个确
定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且
每一步都准确无误,才
能完成问题.
(4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要
经过有限、事
先设计好的步骤加以解决.
1.1.2
1.2.1
程序框图
输入、输出语句和赋值语句
3、赋值语句
(1)赋值语句的一般格式
(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;(3)赋值语句中的“=”称作赋<
br>值号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边
的表达式的
值赋给赋值号左边的变量;(4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达
式,右边表达式可以是一个
数据、常量或算式;(5)对于一个变量可以多次赋值。
注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能
是表达式。如:2=X是错误的。②赋值号
左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不
同的。③不能利用赋值语句进
行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学
中的等号意义
不同。
分析:在IF—THEN—ELSE语句中,“条件”表示判
断的条件,“语句1”表示满足条件
时执行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容;
END IF表示条件语
Page 17 of
33
变量=表达式
图形
表达式
?
变量
句的结束。计算机在
执行时,首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,则执行THEN
后面的语句1;若条件不符合,
则执行ELSE后面的语句2
1.3.1辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
(1):用较
大的数m除以较小的数n得到一个商
n为m,n的最大公约数;若
(3):若
一个商<
br>S
0
和一个余数
R
0
;(2):若
R
0=0,则
R
0
≠0,则用除数n除以余数
R
0
得到一个
商
S
1
和一个余数
R
1
;
R
1
=
0,则
R
1
为m,n的最大公约数;若
R
1
≠0,则用除数
R
0
除以余数
R
1
得到
S
2
和一
个余数
R
2
;…… 依次计算直至
R
n
=0,
此时所得到的
R
n?1
即为所
求的最大公约数。
2、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减
损术求最
大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相
减损,求其等也,以等数
约之。
翻译为:(1):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。(2):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大
数减小数
。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大
公约数。
例2
用更相减损术求98与63的最大公约数.
分析:(略)
3、辗转相除法与更相减损术的区别:
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以
除法为主,更相减损术以减法为主,
计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别
较大时计算次数的
区别较明显。
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余
数为0则得到,而更相减损
Page 18 of
33
术则以减数与差相等而得到
1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念:
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
求值问题
f(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+….+a
1
x+a
0
=(
=(( a
n
x
n-2
+a
n-1
x
n-3
+….+a
2)x+a
1
)x+a
0
=......=(...(
a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a
0
a
n
x
n-1
+an-1
x
n-2
+….+a
1
)x+a
0
求
多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v
1
=a
n
x+a
n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
......
v
n
=v
n-1
x+a
0
这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
第二章
统计
2.1.1简单随机抽样
1.
总体和样本
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.
把每个研究对象叫做个体.
把总体中个体的总数叫做总体容量.
为了研究总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分
:
研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全
随
机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本
的每
个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样
Page 19 of
33
, , ,
形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。
3.简单随机抽样常用的方法:
(1)抽签法;⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容
量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允
许误差范围;③概率保证程度。
4.抽签法:
(1)给调查对象群体中的每一个对象编号;
(2)准备抽签的工具,实施抽签
(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查
例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5.随机数表法:
例:利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样
1.系统抽样(等距抽样或机械抽样):
把总体的单位进行排序,再计算出抽样距
离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样
本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。
K(抽样距离)=N(总体规模)n(样本规模)
前提条件:总体中个体的排列对于研究的变
量来说,应是随机的,即不存在某种与
研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样
本开始抽样,对比几
次样本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这
种
循环和抽样距离重合。
2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为
它对抽样框的要求较
低,实施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使
用,
总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。
Page 20 of
33
2.1.3分层抽样
1.分层抽样(类型抽样):
先将总体中的所有单
位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层
次,然后再在各个类型或层次中采用简单随
机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,
最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法:
1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2.先以
分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,
最后用系统抽样的方法抽取样
本。
2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总
体中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。
分层标准:
(1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
(2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为
分层变量。
(3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3.分层的比例问题:
(1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽
取子样本的方法。
(2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时
采用
该方法,主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用
样本资料推断总体时,
则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比
例,使数据恢复到总体中各层实际的比例
结构。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
Page 21 of
33
1、
本均值
:
x?
x1
?x
2
???x
n
n
2
(x1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(xn
?x)
2
2、.
样本标准差
:
s?s?
<
br>n
3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从
样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布
、均值和标准差并不是总体的真正的分
布、均值和标准差,而只是一个估计,但这种估计是合理的,特别
是当样本量很
大时,它们确实反映了总体的信息。
4.(1)如果把一组数据中的每一个数据
都加上或减去同一个共同的常数,
标准差
不变
(2)如果把一组数据中的每一个数据
乘以一个共同的常数k,
标准差
变为原来的k
倍
(3)一组数据中的最大值
和最小值对标准差的影响,区间
(x?3s,x?3s)
的应用;
“去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关
1、概念: (1)回归直线方程 (2)回归系数
2.回归直线方程的应用
(1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依
存的数量关系
(2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量x)代入回归方程对预报量
(即因变量Y)进行估计,即可得到个体Y值的容许区间。
(3)利用回归方程进行统计
控制规定Y值的变化,通过控制x的范围来实现统计
控制的目标。如已经得到了空气中NO
2<
br>的浓度和汽车流量间的回归方程,
即可通过控制汽车流量来控制空气中NO
2
的
浓度。
4.应用直线回归的注意事项
Page 22 of
33
(1)做回归分析要有实际意义;
(2)回归分析前,最好先作出散点图;
(3)回归直线不要外延。
第三章
概 率
3.1.1 —3.1.3随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念:
(1)必然事件:在某种条件下,一定会发生的事件,叫做必然事件;
(2)不可能事件:在某种条件下,一定不会发生的事件,叫做不可能事件;
(3)随机事件:在某种条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件;
(4)基本事
件:试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这
样的时间叫基本事件;
(5)基本事件空间:所有基本事件构成的集合,叫做基本事件空间,用大写希腊字母Ω
表示;
(5)频数、频率:在相同的条件下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试
验中事
件A出现的次数为事件A出现的频数;称事件A出现的比例为事件
A出现的频率;
(6)概率
:在n次重复进行的试验中,时间A发生的频率mn,当n很大时,总是在某
个常熟附近摆动,随着n的
增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常熟
叫做事件A的概率,记作P(A),0≤P(A)≤1;
(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数与试验总次数n
的比值
,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数
的不断增多,这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概
率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重
复
试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
Page 23 of
33
3.1.4 概率的基本性质
1、基本概念:
(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+
P(B);若事件A与B为对
立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+
P(B)=1,于是有P(A)=1
—P(B)
2、概率的基本性质:
1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+
P(B)=1,
于是有P(A)=1—P(B);
4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互
斥事件是指事件A与事件B在一次试验
中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生
且事件B不发生;(2)
事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生,而对立事件是
指事
件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)
事件B发生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型
(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
(2)古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式P(A)=
(3)概率的一般加法公式(选学):
Page 24 of
33
A包含的基本事件数
总的基本事件个数
①事件的交(或积):由时间A和B同时
发生所构成的事件D称为时间A与B的交
(或积),记作D=A∩B
或D=AB
②
=
P(A∪B)
=
A?B包含的基本事件数
Ω的基本事件总数
A中基本事件个数?B中基本事件个数-A?B中基本事件个数
Ω的基本事件总数
=P(A)+P(B)-P(A∩B)
称为概率的一般加法公式;
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念:
(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(
面积或
体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
P(A)=
构成事件A的区域程度(面积或者体积)
;
试验的全部结果所构
成的区域长度(面积或者体积)
(3)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有
无限多个;2)
每个基本事件出现的可能性相等.
高中数学必修4知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、
角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限
,则称
?
为第几象限角.
??
第二象限角的集合为
?
?<
br>k?360?90?k?360?180,k??
?
第三象限角的集合为?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?
第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?
终边在
x
轴上的角的集合为<
br>?
??
?k?180,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?
第一象限角的集合为
?
k?360
o
?
?
?k?360o
?90
o
,k??
oooo
oooo
oooo
o
oo
Page 25 of
33
终边在坐标轴上的角的集合为
??
?k?90
o
,k??
3、与角
?
终边相同的角的集合为
??
?k?360
o?
?
,k??
4、已知
?
是第几象限角,确定
所在象限的方法:先把各象限均分
n
等份,再从
x
轴的正半轴的上方起,依次
将各区域标
上一、二、三、四,则
?
原来是第几象限对应的标号即为
终边所落在的区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是.
7、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360
o
8、若扇形的圆心角为半径为
r
,弧长为
l
,周长为
C
,面积为
S
,则
l?r
?
,
C?2r?l
,.
?
?
?<
br>为弧度制
?
,
9、设
?
是一个任意大小的角,
?的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
,它与原点的
距离是
rr?
11、三角函数线:
sin
?
???
,
cos
?
???
,
tan
?
???
.
12、同角三角函数的基本关系:
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
sin
2
?
?1?c
os
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
;
.
13、三角函数的诱导公式:
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?
cos
?
,
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
.
OM
A
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??
sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
??
?cos
?
,
tan
?
?
?
???tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.口诀:函数名称不变,符号看象限
.
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
14、函数
y?sinx的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?<
br>x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的
图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
的纵坐标伸长(缩短)
到原来的
?
倍(横坐标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图
y?sin
?
?
x?
??
的图象上所有点
象.
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标
不变),得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函
数
y?s
in
?
x
的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度,得到函数
y?s
in
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
图象上所有点
的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的
y?sin
?
?
x?
?
?
的
图象.
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质:
①振幅:
?
;
②周期:
③频率:
④相位:
?
x?
?
;
⑤初相:
?
. <
br>函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
,当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x
2
时,取得最大值为
y
max
,则
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
Page 26 of
33
?
?
?
?
?
x
2
?y
2
?0
,则,
?
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正
,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
??
y
P
T
x
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin
?
?
x??
?
的图象;再将函数
图
象
定
义域
值
域
最
值
周
期性
奇
偶性
单
调性
对
称性
在
?
k??
?
上是增函
数.
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?
对称轴
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k
??
?
上是增函
在
?
2k
?
,2k
??
?
?
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
对称轴
x?k
?
?
k??
?
在
?
k??
?
上是增
函数.
对称中心
无对称轴
奇函数 偶函数 奇函数
y?sinx
y?cosx
y?tanx
R
R
?
?1,1
?
当
?
k??
?
时,
y
max
?1
;
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
时,
R
当
?
k??
?
时,
y
min
??1
. y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
2
?
既无最大值也无最小值
2
?
?
数;在
?
k??
?
上是减函数;
16、向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
rr
rrr
r
.⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a
rr
?b
⑷运算性质:①交换律:
a?b
r
r
rr
⑸坐标运算:设
a
则
a
?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.<
br>?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
18、向量减法运算:⑴三角形
法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
rr
r
r
⑵坐标运算:
设
a
则
a?b?
?
x
1
?x
2
,
y
1
?y
2
?
.
?
?
x
1,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
33
r
?b?a
;
r
rrr
rr
②结合律:
a?b?c?a?b?c
r
rr
rr
③
a?0?0?a?a
.
r
????
;
r
a
C
r
b
?
?
Page 27 of
19、向量数乘运算:
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
???
?
x<
br>1
?x
2
,y
1
?y
2
?
. ⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
a?
?
a
;
uu
ur
rr
rr
??
rr
⑶坐标运算:设
a?
?x,y
?
,则
?
a?
?
?
x,y
?<
br>?
?
?
x,
?
y
?
.
r
r
r
r
rr
20、向量共线定理:向量
a
?
a?0
?
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
r
r
r
r
rr
r
r
设
a
,其中,则当且仅当时,向量、线.
a
b?0
x
y?xy?0
x,y
?
?
x
1
,y
1
?<
br>,
b?
?
u
b?0
共
?
?
b
1221
2
r
2
uur
r
?
21、平面向量基本
定理:如果
e
1
、共那么对于这一平面内的任意向量
a
,有且只有一
对实数
?
1
、
e
2
是同一平面内的两
uruuru
r
个不
uur
线向量,
r
?
2
,使
a?<
br>?
1
e
1
?
?
2
e
2
.(
不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基
底)
uuuruuur
22、分点坐标公式:设点
?
是线段
?1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
?x
2
,y
2
?
,当
?
1
??
?
??
2
时,点
?
的
坐标是.
23、平面向量的数量积:
rr
rrr
r
r
r
o
⑴
a
零向量与任一向量的数量积为
0
.
?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
o
.
r
r
rrr
;
rr
;
r
r
r
⑵运算律:①
?
?
?
a
②③.
?
?
?
a?<
br>?
a?
?
a
?
??
a
?
a?b?<
br>?
a?
?
b
??
???
rrrr
r
r
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a的方向相反;当
?
?0
时,
?
a?0
.
r<
br>⑵性质:设
a
和
b
?
r
r
r
r都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.
r
r
r
rr
r
②当
a
与
b同向时,
a?b?ab
;
r
r
r
r
r
③
a?b?ab
.
?
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
或
rrr
当
a
与
b
反向时,
a?b??ab
;
a?a?a?a
a?a?a
.
r
r
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
r
r
.⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?<
br>b
;③
?
a?b
?
?c?a?c?b?c
r
r
r
r
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x<
br>1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
r
r
r
2
若
a?
?
x,y
?,则
a
或
a?x
2
?y
2
.
?x<
br>2
?y
2
,
r
r
r
r
设
a
则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
?
?
x
1
,y
1
?<
br>,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,<
br>b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则.
????
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
;
⑵
cos
?
??
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
si
n
?
;
⑷
sin
?
?
?
?
?<
br>?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?<
br>;
⑸
(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?<
br>?
??
1?tan
?
tan
?
?
);
⑹ (
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
??
??
1?tan
?
tan
?
?
).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴
sin2
?
⑶. 26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??<
br>2
sin
?
?
?
?
?
,其中.
Page 28 of
33
?2sin
?
cos
?
.
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
(
, ).
高中数学必修5知识点
1、正弦定理:在
???C
中,
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C<
br>的对边,
R
为
???C
的
abc
???2R
.
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式:①
a?2Rsin?
,
b?2Rsin?
,
c?2RsinC
;
abc
②<
br>sin??
,
sin??
,
sinC?
;
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
;
a?b?cabc
④.
???
sin??sin??sinCsin?si
n?sinC
111
3、三角形面积公式:
S
???C
?bcsin
??absinC?acsin?
.
222
外接圆的半径,则有
4、余弦定
理:在
???C
中,有
a?b?c?2bccos?
,
b?a?c?
2accos?
,
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cos??cos??cosC?
5、余弦定理的推
论:,,.
2bc2ac2ab
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的
对边,则:①若
a?b?c
,则
C?90
;
②若
a?b?
c
,则
C?90
;③若
a?b?c
,则
C?90
.
7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
8、数列的项:数列中的每一个数.
9、有穷数列:项数有限的数列.
10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
13、常数列:各项相等的数列.
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
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33
222
o
222
o
222
o
15、数列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n项与序号
n
之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
17、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列
称为等差数列,
这个常数称为等差数列的公差.
18、由三个数
a
,
?
,
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则
?
称为
a
与
b
的
等差中项.若
b?
19、若等差数列
a?c
,则称<
br>b
为
a
与
c
的等差中项.
2
1
?
a
n
?
的首项是
a
,公差是
d
,则
a
a
n
?a
1
d?
n?1
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
.
20、通项公式的变形:
①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d<
br>; ②
a
1
?a
n
?
?
n?1<
br>?
d
;
; ④③
n?
a
n<
br>?a
1
?1
;⑤
d
d?
a
n
?a<
br>m
n?m
.
*
21、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
),则
a
m
若
?
a
n
?
是等差数列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
2a
n
*
?a
n
?a<
br>p
?a
q
;
?a
p
?a
q
. n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?
1
?
S?
S?na?d
. 22、等差数列的前
n
项和的公
式:①
n
;②
n1
2
2
23、等差数列的前
n项和的性质:①若项数为
2nn??
*
,则
S
2n
??
?n
?
a
n
?a
n?1
?
,
S<
br>奇
a
n
S?S?nd
?
且
偶
,
奇<
br>S
偶
a
n?1
②若项数为
2n?1n??
.
?
*
?
,则
S
2n?1
?
?
2n?1<
br>?
a
n
,且
S
奇
?S
偶
?a
n
,
S
奇
n
(其
?
S
偶
n?1
中
S
奇
?na
n
,
S
偶
?
?
n?1
?
a
n
).
24、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列
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33
称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
2
5、在
a
与
b
中间插入一个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等比数列,则
G
称为
a
与
b
的等比中
项.若
G?ab
,则称
G
为
a
与
b
的等比中项.
n?1
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则
a<
br>n
?a
1
q
.
2
?
?
n?1?
n?m
n?1
a?aq
27、通项公式的变形:①
n
;②
a
1
?a
n
q
;③
q
m
?<
br>a
n
;
a
1
n?m
?
④
q
a
n
.
a
m
*
28、若
?
a
n
?
是等比数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??
),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;
若
?
a
n
?<
br>是等比数列,且
2n?p?q
(
n
、
p
、
q
??
),则
a
n
*
2
?a
p
?a
q
.
?
na
1
?
q?1
?
?
2
9、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式:
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?<
br>a?aq
.
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
30、等比数列的前
n
项和的性质:①若项数为2nn??
*
,则
②
S
n?m
??
S
偶
S
奇
?q
.
?S
n
?q
n
?S
m
.
③
S<
br>n
,
S
2n
?S
n
,
S
3n
?S
2n
成等比数列.
31、
a?b?0?a?b
;
a
?b?0?a?b
;
a?b?0?a?b
.
32、不等式的性质: ①a?b?b?a
;②
a?b,b?c?a?c
;③
a?b?a?c?b?
c
;
④
a?b,c?0?ac?bc
,
a?b,c?0?ac?b
c
;⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
;
⑥
a?b?0,c?d
?0?ac?bd
;⑦
a?b?0?a?b
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
.
Page
31 of
33
nn
?
n??,n?1
?
;
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的不等式.
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
??b?4ac
2
??0
??0
??0
二次函数
y?ax?bx?c
2
?
a?0
?
的图象
有两个相异实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0
2
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
一元二次
不等式的
解集
?b??
x
1,2
?
2a
有两个相等实数根?
x
1
?x
2
?
b
x
1
?x
2
??
2a
没有实数根
?
xx?x或x?x
?
12
?
a?0
?
ax
2
?bx?c?0
?b?
xx??
??
2a
??
R
?
a?0
?
?
xx
1
?x?x
2
?
?
?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是
1
的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式(
组)的解集:满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数
对<
br>?
x,y
?
,所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
,坐标平
面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
.
①若
??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,
则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?
x??y?C?0
的上方.
②若
??0
,
?x
0
??y
0
?C?0
,则点
?
?
x
0
,y<
br>0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方.
39、在平面直角坐标系中,已知直线
?x??y?C?0
.
Page
32 of
33
①若
??0
,则
?x
??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域;
?x??y?C?
0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域.
②若
??0
,则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域;
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域.
40、线性
约束条件:由
x
,
y
的不等式(或方程)组成的不等式组,是
x,
y
的线性约
束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
,
y
的解析式.
线性目标函数:目标函数为
x
,
y
的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解
?
x,y
?
.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
41、设
a
、
b
是两个正数,则
的几何平均数.
42、均值不等式定理: 若
a?0
,
b?0
,则
a?b?
2ab
,即
22
a?b
称为正数
a
、
b
的
算术平均数,
ab
称为正数
a
、
b
2
a?b
?ab
.
2
a
2
?b
2
43、常用的基本不等
式:①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
;②
ab?
?
a,b?R
?
;
2
a
2
?b
2
?
a?b
??
a?b
?
③
ab?
?
?<
br>??
?
a?0,b?0
?
;④
?
?
a,b?
R
?
.
2
?
2
??
2
?
44、
极值定理:设
x
、
y
都为正数,则有
22
s
2<
br>⑴若
x?y?s
(和为定值),则当
x?y
时,积
xy
取得最大值.
4
⑵若
xy?p
(积为定值),则当
x?y
时,和
x?y
取得最小值
2p
.
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33