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大学公式大全高中数学-柱锥台和球的体积教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 16:33
tags:球体积公式

红楼梦作者朝代-师范大学文理学院



1.1.7 柱、锥、台和球的体积
示范教案
整体设计

教学分析
本节教材介绍了祖暅原理,并利用长方体体积推导出了柱体的体积公式. 利用柱体体积
推导出了锥体和台体的体积.直接给出了球的体积公式.
值得注意的是教学重点放在体积的计算和应用,尽量在体积公式的推导上少“纠缠”.
三维目标
1.掌握柱、锥、台和球的体积公式,培养学生的探究能力.
2.能够利用体积公式解决有关应用问题,提高学生解决实际问题的能力.
重点难点
教学重点:体积的计算和应用.
教学难点:体积公式的推导.
课时安排
1课时
教学过程

导入新课
设计1.我们在初中的学 习中已经会根据长方体的长、宽、高来计算长方体的体积了,
那么,棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、 圆台的体积如何计算呢?
设计2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔,在1889年巴黎埃菲尔 铁塔落成前的
四千多年的漫长岁月中,胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具
很落后的中古时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如
此宏 伟的大金字塔的,真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑,
塔底边长230. 4米,塔高146.6米,假如知道每块石块的体积,你能计算出建此金字塔用了
多少石块吗?
推进新课

新知探究



提出问题


回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式,你能将它们统一成一种 形式吗?并依次
类比出柱体的体积公式?比较柱体、锥体、台体的体积公式:,V
柱体
=为底面积,
1
h为柱体的高;,V
锥体
=Sh
3
1
为底面积,h为锥体的高;,V
台体

3
+r(SS′)
+、S分 别为上、下底面积,h为台体的高你能发现三者之间的关系吗?柱
体、锥体是否可以看作“特殊”的台体 ?其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”
形式?
讨论结果:
32
(1)棱长为a的正方体的体积V=a=aa=Sh;
长方体的长、宽和高分别为a、b、c,其体积为V=abc=(ab)c=Sh;
2
底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πrh=Sh,
可以类比,一般的柱体的体积也是V=Sh,其中S是底面面积,h为柱体的高.
11
圆锥的体积公式是V=Sh(S为底面面积,h为高),它是同底等高的圆柱的体积的.
33

11
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V=Sh( S为底面面积,h为高).
33
由此可见,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底面面积乘高; 棱锥与圆锥的体积公式类
1
似,都是底面面积乘高的.
3
由于圆台(棱台) 是由圆锥(棱锥)截成的,因此可以利用两个锥体的体积差,得到圆台(棱
1
台)的体积公式V =(S′+S′S+S)h,其中S′、S分别为上、下底面面积,h为圆台(棱
3
台)高.
注意:不要求推导公式,也不要求记忆.
(2)柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体 可以看作是有一个底面是一个点的台
体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时,台体 的体积公式变为锥体的
体积公式;当S′=S时,台体的体积公式变为柱体的体积公式,因此,柱体、锥 体的体积
公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.
柱体和锥体可以看作由台体变化得到, 柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可
以看作是有一个底面是一个点的台体,因此很容易得出它 们之间的体积关系,如下图:


应用示例


思路1
例1如下图所示,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C—A′DD′,求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.

解:已知长方体可以看成直四棱 柱ADD′A′—BCC′B′,设它的底面ADD′A′面积为
S,高为h,则它的体积为V=Sh.
1
因为棱锥C—A′DD′的底面面积为S,高是h,所以棱锥C—A′DD′的体积V
C—A′DD′

2
111
×Sh=Sh.
326
15
余下的体积是Sh-Sh=Sh.
66
所以棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
变式训练
已知一正四棱台的上底边长为4 cm,下底边长为8 cm,高为3 cm.求其体积.
11
22223
解:V=(S

+S

+S
·S

)h=(4+8+4×8)×3=112(cm).
33
即正四棱台的体积为112 cm.
3


例2有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(下图),共重5.8 kg.已知螺帽的底面六边形边长
3
是12 mm,高是10 mm,内孔直径是10 mm,这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是7.8 gcm,
π≈3.14)?

解:六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差.
13
233
因为V
正六棱柱
=6××12×(12×sin60°)×10=3×12××10≈ 3.74×10(mm),
22
233
V
圆柱
=3.14×(10 ÷2)×10≈0.785×10(mm),
33333
所以一个螺帽的体积V=3.74× 10-0.785×10≈2.96×10(mm)=2.96(cm).
32
因此约有5.8×10÷(7.8×2.96)≈2.5×10(个).
答:这堆螺帽约有250个.
变式训练
埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年,其形状为正四棱锥.金字塔高146.6 m,
底面边长230.4 m.问这座金字塔的侧面积和体积各是多少?
解:如下图,AC为 高,BC为底面的边心距,则AC=146.6,BC=115.2,底面周长c=
4×230.4.

11
222
S
侧面积
=c·AB=×4×230.4×1 15.2+146.6≈85 916.2(m),
22
11
23
V=S·AC=×230.4×146.6≈2 594 046.0(m).
33
答:金字塔的侧面积约是85 916.2 m,体积约是2 594 046.0 m.

思路2
例3如下图所示,一个空间几何体的主视图、 左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,
如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为( )
23

111
A.1 B. C. D.
236

活动:让学生将三视图还原为实物图,讨论和交流该几何体的结构特征.
解析:根据三视图, 可知该几何体是三棱锥,下图所示为该三棱锥的直观图,并且侧棱
PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC .则该三棱锥的高是PA,底面三角形是直角三角形,所以这个几何
1111
体的体积为V=S
△ABC
PA=××1=.
3326

答案:D
点评: 本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图,求该几何体的体积
或面积时,首先根据三视 图确定该几何体的结构特征,再利用公式求得.此类题目成为新课
标高考的热点,应引起重视.
变式训练
1.如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半 径
为1的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( )
A.
3π23ππ
B. C.3π D.
333
解析:由三视图知 该几何体是圆锥,且轴截面是等边三角形,其边长等于底面直径2,
1
2
则圆锥的高是 轴截面等边三角形的高为3,所以这个几何体的体积为V=×π×1×3=
3

.
3
答案:A
2.已知某几何体的俯视图是如下图所示的矩形,正视图(或称主视图) 是一个底边长为
8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角 形.

(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
解 :由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形,高为4的四棱锥.设
底面矩形为ABCD .如下图所示,AB=8,BC=6,高VO=4.


1
(1)V=×(8×6)×4=64.
3
(2)设四棱锥侧面VAD、V BC是全等的等腰三角形,侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角
形,
在△VBC中,BC 边上的高为h
1

在△VAB中,AB边上的高为h
2

V O+
VO+
2
2
AB
2
BC
2
2


4+
4+
2
2
8
2
6
22
=42,
=5.
22
11
所以此几何体的侧面积S=2(×6×42+×8×5)=40+242.
22
点评:高考试题中对面积和体积的考查有三种方式:一是给出三视图,求其面积或体积;< br>二是与组合体有关的面积和体积的计算;三是在解答题中,作为最后一问,求出几何体的面
积或体 积.
3.(2008 山东省烟台市高三期末统考,文6)已知一个全面积为24的正方体,内有一< br>个与每条棱都相切的球,则此球的体积为 ( )
A.
C.

B.43π
3
246π82π
D. < br>33
2
解析:设正方体的棱长为a,则6a=24,解得a=2,又球与正方体的每条棱 都相切,
4
3
则正方体的截面对角线长22等于球的直径,则球的半径是2,则此球的 体积为π(2)
3
82
=π.
3
答案:D
点评:球与其 他几何体的简单组合体问题,通常借助于球的截面来明确构成组合体的几
何体的结构特征及其联系,本题 利用正方体的面的对角线长等于球的直径这一隐含条件使得
问题顺利获解.


知能训练


1.三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的
( )
A.1倍 B.2倍
97
C.倍 D.倍
54
解析:根据球的表面积等于其大圆面积的4倍,可设最小的一个半径为r,则另两个为
36πr92r、3r,所以各球的表面积分别为4πr、16πr、36πr,
22
=(倍).
4πr+16πr5
222
2
答案:C
2.(2008天津高考, 理12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上
的三条棱的长分别为1,2,3,则此 球的表面积为__________.
解析:长方体的对角线为1+2+3=14,则球的半径为222
14
,则球的表面积为
2

4π(
14
2
)=14π.
2
答案:14π
3 .一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为43π,则该正方体的
表面积为_____ _____.

3
解析:43π=R,∴R=3(R为球的半径).
3
∴3a=2R=23.
∴a=2(a为正方体棱长).
2
∴S

=6a=24.
答案:24
4.如下图所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:

2
(1)球的体积等于圆柱体积的;
3
(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.
活动:学生思考圆柱和球的结构特征,并展 开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学
生读懂图形.
证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.
4
323
则有V

=πR,V
圆柱
=πR·2R=2πR,
3
2
所以V

=V
圆柱.

3
( 2)因为S

=4πR,S
圆柱侧
=2πR·2R=4πR,所以S

=S
圆柱侧.

5.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路 上的积雪之用),已建的仓库
的底面直径为12 m,高4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以 存放更多食盐.现有两
种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不
变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的侧面积;
(3)哪个方案更经济些?
解:(1)如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,则仓库的体积
1116
2
256
3
V
1
=Sh=×π×()×4=π(m).
3323
1112
2
288
如果按方案二,仓库的高变成8 m,则仓库的体积V
2
=Sh=×π×()×8=
3323
22

π(m).
(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,半径为8 m.棱锥的母线长为l=8+4
=45.
2
则仓库的表面积S
1
=π×8×45=325π(m).
22
如果按方案二,仓库的高变成8 m,棱锥的母线长为l=8+6=10,
2
则仓库的侧面积S
2
=π×6×10=60π(m).
(3)∵ V
2
>V
1
,S
2
1

∴方案二比方案一更加经济.

拓展提升


1.如左下 图,一个正三棱柱形容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放
倒,把一个侧面作为底面, 如右下图,这时水面恰好为中截面,则左下图中容器内水面的高
度是__________.
22
3



分析:右上图中容器内水面的高度为h,水的体积为V,
则V=S
△ABC
h.

3
又右上图中水组成了一个直四棱柱,其底面积为S
△ABC
,高度为2a,
4
3
则V=S
△ABC
·2a,
4
3
S
△ABC
·2a
4
3
∴h==a.
S
△ABC
2
3
答案:a
2
2.圆台的两个底面 半径分别为2、4,截得这个圆台的圆锥的高为6,则这个圆台的体
积是__________. 26-h
解析:设这个圆台的高为h,画出圆台的轴截面,可得=,解得h=3,所以这个
46
π
22
圆台的体积是(2+2×4+4)×3=28π.
3
答案:28π

课堂小结


本节学习了:
1.简单几何体的体积公式.
2.解决有关计算问题.
设计感想


新课标对本节内容的要求是了解柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求
记忆公式),也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求,按通常的理解是会
求体积和面 积,以及很简单的应用即可.因此本节教学设计中就体现了这一点,把重点放在
了对公式的简单应用上. 由于本节图形较多,建议在使用时,尽量结合信息技术.
备课资料

从洗澡的故事说起
关于阿基米德,流传着这样一段有趣的故事.相传叙拉古赫国王让工匠替他 做了一顶纯
金的王冠,做好后,国王疑心工匠在金冠中掺了假,但这顶金冠的确与当初交给金匠的纯金< br>一样重,到底工匠有没有捣鬼呢?既想检验真假,又不能破坏王冠,这个问题不仅难倒了国
王,也 使诸大臣们面面相觑.
后来,国王请阿基米德来检验.最初,阿基米德也是冥思苦想而不得要领.一天 ,他去
澡堂洗澡,当他坐进澡盆里时,看到水往外溢,同时感到身体被轻轻托起.他突然悟到可以
用测定固体在水中排水量的办法,来确定金冠的比重.他兴奋地跳出澡盆,连衣服都顾不得
穿就跑了出 去,大声喊着:“尤里卡!尤里卡!”(Fureka,意思是“我知道了”)
他经过了进一步的实验 以后来到王宫,他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆
里,比较两盆溢出来的水,发现放王冠的 盆里溢出来的水比另一盆多.这就说明王冠的体积
比相同重量的纯金的体积大,所以证明了王冠里掺进了 其他金属.他的这一发现在物理学课
本上被称作“阿基米德原理”,是流体静力学中的第一个基本原理.

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