高中数学教案——集合的并集和交集

第3课时 集合的并集和交集
（一）教学目标
1．知识与技能
（1） 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.
（2）能使用Venn图表示集合 的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的
作用。
（3）掌握的关的术语和符号，并 会用它们正确进行集合的并集与交集运算。
2．过程与方法
通过对实例的分析、思考，获得并集 与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与
内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力 .
3．情感、态度与价值观
通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知 识和数学思想认识
客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值.
（二）教 学重点与难点
重点：交集、并集运算的含义，识记与运用.
难点：弄清交集、并集的含义，认识 符号之间的区别与联系
（三）教学方法
在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在独立钻研 和探究中提升思维能力，尝试
实践与交流相结合.
（四）教学过程

教学
环节
教学内容 师生互动 设计意图
师：两数存在大小关系，两集合
思考 ：观察下列各组集合，联想实数加
存在包含、相等关系；实数能进
法运算，探究集合能否进行类 似“加法”
行加减运算，探究集合是否有相
提出运算.
应运算.
问题（1）A = {1，3，5}，B = {2，4，6}，C 生疑析疑，
生：集合A与B的元素合并构成
引入= {1，2，3，4，5，6}导入新知
C.
新知 （2）A = {x | x是有理数}，
师：由集合A、B元素组合为C，
B = {x | x是无理数}，
这种形式的组合就是为集合的并
C = {x | x是实数}.
集运算.
思考：并集运算.
集合C是由所有属于集合A或属于集合
B的元素 组成的，称C为A和B的并集.师：请同学们将上述两组实例的
定义：由所有属于集合A或集合B的元共 同规律用数学语言表达出来.
形成
素组成的集合. 称为集合A与B的并集；学生合作交流：归纳→回答→补
概念
记作：A∪B；读作A并B，即A∪B = {x 充或修正→完善→得出并集的定
| x∈A，或x∈B}，Venn图表示为：义.
A B

例1解：A∪B = {4, 5, 6, 8}∪{3, 5,
7, 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
例2解：A∪B = {x |–1＜x＜2}∪
{x|1＜x＜3} = {x = –1＜x＜3}.
在老师指导
下，学生通
过合作交
流，探究问
题共性 ，感
知并集概
念，从而初
步理解并集
的含义.
学生尝试求
解，老师适
应用师：求并集时，两集合的相同元时适当指
举例 素如何在并集中表示.导，评析.
例2 设集合A = {x | –1＜x＜2}，集合B
生：遵循集合元素的互异性.固化概念
= {x | 1＜x＜3}，求A∪B.
师：涉及不等式型集合问题.提升能力

注意利用数轴， 运用数形结
合思想求解.
生：在数轴上画出两集合，然后
合并所有区间. 同时注意集
合元素的互异性.
x
例1 设A = {4，5，6，8}，B = {3，
–1



0

1 2 3
5，7，8}，求A∪B.
①A∪A = A， ②A∪
?
= A，
探究
③A∪B = B∪A，
性质
④
A?A
∪B，
B?A
∪B.
老师要求学生对性质进行合理解培养学生数
释. 学思维能力.
老师给出自学提要， 学生在老师
的引导下自我学习交集知识，自
我体会交集运算的含义. 并总结
交集的性 质.
自学提要：
①由两集合的所有元素合并可得两集合
形成
的并集，而由两集 合的公共元素组成的
概念
集合又会是两集合的一种怎样的运算？
自学辅导，
合作交流，
探究交集运
算. 培养学
生的自学能

②交集运算具 有的运算性质呢？
交集的定义.
由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合，称 为A与B的交集；记作
A∩B，读作A交B.
即A∩B = {x | x∈A且x∈B}
Venn图表示
生：①A∩A = A；
②A∩
?
=
?
；
③A∩B = B∩A；
④A ∩
B?A
，A∩
B?B
.
力，为终身
发展培养基
本 素质.
师：适当阐述上述性质.
A
A∩B
B

学生上台板演，老师点评、总结.
例1 解：（1）∵A∩B = {8}，
∴A∩B = C.
（2）A∩B就是新华中学高一年
例1 （1）A = {2，4，6，8，10}，
级中那些既参加百米赛跑又参加
跳高比赛的同学组成的集合. 所
B = {3，5，8，12}，C = {8}.
以，A∩B = {x | x是新华中学高一
（2）新华中学开运动会，设
年级既参加百米赛跑又参加跳高
A = {x | x是新华中学高一年级参加提升学生的
应用比赛的同学}.
百米赛跑的同学}，动手实践能
举例 例2 解：平面内直线l
1
，l
2
可能
B = {x | x是新华中学高一年级参加力.
有三种位置关系，即相交于一点，
跳高比赛的同学}，求A∩B.
平行或重合.
例2 设平面内直线l
1
上点的集合
（1）直线l
1
，l
2
相交于一点P可
为L
1
，直线l
2
上点的集合为 L
2
，试用集
表示为 L
1
∩L
2
= {点P}；
合的运算表示l
1
，l
2
的位置关系.
（2）直线l
1
，l
2
平行可表示为
L
1
∩L
2
=
?
；
（3）直线l
1
，l
2
重合可表示为
L
1
∩L
2
= L
1
= L
2
.
并集：A∪B = {x | x∈A或x∈B}
交集：A∩B = {x | x∈A且x∈B}
归纳
性质：①A∩A = A，A∪A = A，
总结
②A∩
?
=
?
，A∪
?
= A，
③A∩B = B∩A，A∪B = B∪A.
课后
1.1第三课时 习案
作业
学生合作交流：回顾→反思→总归纳知识、
理→小结 构建知识网
老师点评、阐述 络
巩固知识，
提升能力，
反思升华
学生独立完成
备选例题
例1 已知集合A = {–1，a
2
+ 1，a
2
– 3}，B = {– 4，a – 1，a + 1}，且A∩B = {–2}，求
a的值.
【解析】法一：∵A∩B = {–2}，∴–2∈B，
∴a – 1 = –2或a + 1 = –2，
解得a = –1或a = –3，
当a = –1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B = {–2}.
当a = –3时，A = {–1，10，6}，A不合要求，a = –3舍去

∴a = –1.
法二：∵A∩B = {–2}，∴–2∈A，
又∵a
2
+ 1≥1，∴a
2
– 3 = –2，
解得a =±1，
当a = 1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，0，2}，A∩B≠{–2}.
当a = –1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B ={–2}，∴a = –1.
例2 集合A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，
（1）若A∩B =
?
，求a的取值范围；
（2）若A∪B = {x | x＜1}，求a的取值范围.
【解析】（1）如下图所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，且A∩B=
?
，

∴数轴上点x = a在x = – 1左侧.
∴a≤–1.
（2）如右图所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}
且A∪B = {x | x＜1}，
∴数轴上点x = a在x = –1和x = 1之间.
∴–1＜a≤1.
例3 已知集合A = {x | x
2
– ax + a
2
– 19 = 0}，B = {x | x
2
– 5x + 6 = 0}，C = {x | x
2
+ 2x – 8
?

与A∩C =
?
同时成立？ = 0}，求a取何实数时，A∩B
≠

?

2
【解析】B = {x | x – 5x + 6 = 0} = {2，3}，C = {x | x
2
+ 2x – 8 = 0} = {2，– 4}.
由A∩B
?


?
和A∩C =
?
同时成立可知，3是方程x
2
– ax + a
2
– 19 = 0的解. 将3代入
≠
方程得a
2
– 3a – 10 = 0，解得a = 5或a = –2.
当a = 5时，A = {x | x
2
– 5x + 6 = 0} = {2，3}，此时A∩C = {2}，与题设A∩C =
?
相矛
盾，故不适合.

与A∩C =
?
，同时成当a = –2时，A = {x | x
2
+ 2x – 15 = 0} = {3，5}，此时A∩B
?

?
≠
立，∴满足条件的实数a = –2.
例4 设集合A = {x
2
，2x – 1，– 4}，B = {x – 5，1 – x，9}，若A∩B = {9}，求A∪B.
【解析】由9∈A，可得x
2
= 9或2x – 1 = 9，解得x =±3或x = 5.
当x = 3时，A = {9，5，– 4}，B = {–2，–2，9}，B中元素违背了互异性，舍去.
当x = –3时，A = {9，–7，– 4}，B = {–8，4，9}，A∩B = {9}满足题意，故A∪B = {–7，
– 4，–8，4，9}.
当x = 5时，A = {25，9，– 4}，B = {0，– 4，9}，此时A∩B = {– 4，9}与A∩B = {9}
矛盾，故舍去.
综上所述，x = –3且A∪B = {–8，– 4，4，–7，9}.