人教版高中数学必修一《集合与函数概念》全章小结及同步练习

数学·必修1(人教
A
版)

集合与函数概念
本章概述

学习内容
1.集合
(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
(3)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(4)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(5)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(6)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(7)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算．

2.函数概念
(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
(2)在 实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函
数．
(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．
(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几 何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质
知识结构

【补充练习】
1.判断正误:
(1)空集没有子集. ( )
(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )
(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )
(4)若B
?
A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )
分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.

解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.
对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.
对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲,当x∈ B时必有x∈A,则x
?
A时也必有x
?
B.
2.集合A={x|-1分析:区分子集与真子集的 概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2
n
个,真子集有2
n-1
个,则该题先找该集合元素,后找真子集.
解：因-1即a={x|-1真子集:
?
、{ 1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.
3.(1)下列命题正确的是 ( )
A.无限集的真子集是有限集
B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集
D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中,错误的个数为 ( )
①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}
?
{1,0,2}
④
?
∈{0,1,2} ⑤
?
∈{0}
A.5 B.2 C.3 D.4
(3)M={x|3 B.a
?
M C.{a}∈M D.{a}M
分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确, < br>无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于
?
只有一个子集,即 它本身,
排除B;由于1不是质数,排除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.
①应是{1}
?
{ 0,1,2},④应是
?
?
{0,1,2},⑤应是
?
?
{ 0}.
故错误的有①④⑤.
(3)M={x|3因3{a}是{x|3答案：(1)C (2)C (3)D
4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:
(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};
(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.
解：(1)因A= {x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的,即A=B.
(2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},
又x=4n=2·2n,
在x=2m中,m可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n中,2n只能是偶数.
故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成,则有BA.
点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.
5.已知集合P={x|x< br>2
+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足QP,求a所取的一切值.
解：因P={x|x
2
+x-6=0}={2,-3},
当a=0时,Q={x|ax+1=0}=
?
,QP成立.

又当a≠0时,Q={x|ax+1=0}={
?
综上所述,a=0或a=
?
1
1111
},要QP成立,则有
?
=2或
?
=-3,a=
?
或a=.
3
aaa2
1
1
或a=.
3
2
点评：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0 无解,即Q为
空集的情况,而当Q=
?
时,满足QP.
6.已知集合A={ x∈R|x
2
-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x
2
+3x- 4)=0},要使A
集合P.
解：由A={x∈R|x
2
-3x+4=0}=
?
,
B={x∈R|(x+1)(x
2
+3x-4)=0}={-1,1,-4},
由AP
?
B知集合P非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为
{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.
点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A、B,充分把握
子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.
7.设A={0,1},B={x|x
?
A},则A与B应具有何种关系？
解：因A={0,1},B={x|x
?
A},
故x为
?
,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B中一元素.故A∈B.
点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.
8.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},
(1)若B
?
A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;
(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
解：(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=
?
满足B
?
A.
当m+1≤2m-1即m≥2时,要使B
?
A成立,
P
?
B,求满足条件的
?
m?1?2m?1,
需
?
可得2≤m≤3.综上 所得实数m的取值范围m≤3.
m?1?5
?
(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
所以,A的非空真子集个数为2上标8-2=254.
(3)∵x∈R,且A={x|-2≤ x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.
则①若B≠
?
即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;
?
m? 1?2m?1,
?
m?1?2m?1,
②若B≠
?
,则要满足条件有 :
?
或
?
解之,得m>4.
m?1?52m?1??2
??
综上有m<2或m>4.
点评：此问题解决要注意：不应忽略
?
;找A中的元素;分类讨论思想的运用.