2018年艺体生复习资料高中数学全套(含答案)

6.（17(2)）、利用单位圆写出符合条件的角的集合 sin
?
>-
7.(19)当角
1
?
7
?
(
2k
?
?,2k
?
?
)
?
k?Z
?

266
sin
?
,
?
满足什么条件时，有< br>?
=sin
?
？
?
?
?
?2k
?< br>或,
?
?
?
?
?
?2k
?
?
k?Z
?

x
?
?
)的图像可由y=sinx作怎样的变换得到？
24
?
9.（P
47
习题13(2)）求y=cos（-2x）的单调区间。
5
2
??
?
3
?
增[k
?
?
]k
?Z

,k
?
?
]减[ k
?
?,k
?
?
510105
8.( P
41
练习6)y=sin(
（P
49
习题12(3)）求y=tan（1-x） 的单调区间。减（
k
?
?
?
2
?1,k
?
?
?
2
?1
）k
?Z

2cos10
0
?sin20
0
10.（ P
99
例5）求的值。
3

cos20
0
?
171
),
?
?(,
?
),cos
?
??,si n(
?
?
?
)?,
求sin
?
的值
3< br>2239
3516
12.（习题11(2)）在ΔABC中，已知sinA=，cosB =，求cosC.
5
1365
11.（P
101
习题10）已知< br>?
?(0,
13.( P
109
例4)求证：sin50
0< br>（1+
3
tan10
0
）=1

14.(P
110
练习3)已知tan
?
?

15.（P
111
习题8）求值：sin10cos20cos40=18
000
?
11
?
， tan
?
?
且
?
,
?
都是锐角，求
?
?2
?
的值
7 34
sin15
0
cos5
0
?sin20
0
16 .（P
117
习题6）求值：=-2-
3

cos15
0
cos5
0
?cos20
0

17.（10(1)）在ΔABC中，求：tan

(必修5) 18.(P10例5)在ΔABC中，AD是
?
BAC的平分线，用正弦定理证明

0
19(P10练习3) 在ΔABC中，若A=60，a=
3
，则
ABBCAC
tan+tantan+ tantan=1
222222
ABBD
?

ACDC
a?b?c
?
2
sinA?sinB?si nC
20（P12习题10）在已知两边a，b和一边的对角A，求角B时，如果A是锐角，那么可能< br>出现哪几种情况?如果A为钝角呢？
21（P17习题10）在ΔABC中，已知2a=b+c ，sinA=sinBsinC,试判断ΔABC的形状。

2

正三角形
22（P24习题5）、已知向量a，b，c满足a+b +c=0，且a，b的夹角等于135
0
， b，c的
夹角等于120
0
，|
c
|=2，求|a| ，|b|。 |a|=
6
，|b|=
3
+1
23.（习题6）如图，已知
?
A为定角，P,Q分别在
?
A的两边上，PQ为定长。当PQ处于
a2
sin
?
什么位置时，ΔAPQ的面积最大？当x=时S
max
=
?
4(1?cos
?
)
2sin
2
a

高考题
π
?
5π
?
1.为得到函数
y?cos< br>?
2x?
?
的图像，只需将函数
y?sin2x
的图像向左平 移
3
?
12
?
个长度单位
2.（若动直线
x?a
与函数
f(x)?sinx
和
g(x)?cosx
的图像分别交于< br>M，N
两点，
则
MN
的最大值为
2
< br>?
?
4
?
3.若
0?
?
?2
?,sin
?
?3cos
?
，则
?
的取值范围是：
?
,
?
33
?
?

?
4.把函数
y?sinx
（
x?R
）的图象上所有点向左平行移动
所得图象上所有点的 横坐标缩短到原来的
示的函数是
y?sin(2x?)

3
?
个单位长度，再把
3
1
倍（纵坐标不变），得到的图象所表
2?
5. 将函数
y?sin(2x?)
的图象按向量
?
平移后所 得的图象关于点
(?,0)
中心
312
对称，则向量
?
的坐 标可能为
(,0)

12
π
4
47π
6.已知cos（α-）+sinα=
3,则sin(
α?
)的值是
-

56
65
3
?
??
?
7 .函数
f(x)?sin
2
x?3sinxcosx
在区间
?
,
?
上的最大值是
2
?
42
?
?
?
?
8.函数
f(x)
=
sinx?1
(
0?x?2
?
)

的值域是 [-1,0]
3?2cosx ?2sinx
x3
?
9.在同一平面直角坐标系中，函数
y?cos(?)( x?[0，2
?
])
的图象和直线
22

y?
1
的交点个数是 2
2
10.若
cosa?2sina??5,
则
tana
= 2
3?sin70
0
11. = 2
202?cos10
?
12.函数
f
(
x
)＝3sin x
+sin(+
x
)的最大值是 2
2
13. 已知
a
，
b
，
c
为△
ABC
的三个内角< br>A
，
B
，
C
的对边，向量
m
＝（
3 ,?1
），
n
＝（cos
A
,sin
A
）.若m
⊥
n
，且
a
cos
B
+
b
cos
A
=
c
sin
C
，则角
B
＝
π
.
6
?
?
?
?
14.
f
?
x
?
?cos
?
?
x?
?< br>的最小正周期为，其中
?
?0
，则
?
= 10 ．
6
?
5
?
15.已知函数
f(x)?(sinx?co sx)sinx
，
x?R
，则
f(x)
的最小正周期是
?
．
16.设
△ABC
的内角
A，B，C
所对的边长分别为
a，b，c
，且
acosB?bcosA?
（Ⅰ）求
tanAcotB
的值；（Ⅱ）求
tan(A?B)
的最大值．
解：解析 ：（Ⅰ）在
△ABC
中，由正弦定理及
acosB?bcosA?
可得
sinAcosB?sinBcosA?
3
c
．
5
3
c

5
3333
sinC?sin(A?B) ?sinAcosB?cosAsinB

5555
即
sinAcosB?4 cosAsinB
，则
tanAcotB?4
；
（Ⅱ）由
tanAcotB?4
得
tanA?4tanB?0

tanA?tanB3tanB33

tan(A?B)???
≤
2
1?tanAtanB1?4tanBcotB?4tanB4
1
当且仅当
4 tanB?cotB,tanB?,tanA?2
时，等号成立，
2
13
故 当
tanA?2,tanB?
时，
tan(A?B)
的最大值为.
24
54
17．在
△ABC
中，
cosB??
，
c osC?
．
135
（Ⅰ）求
sinA
的值；
33（Ⅱ）设
△ABC
的面积
S
△ABC
?
，求
B C
的长．
2
512
（Ⅰ）由
cosB??
，得
sinB?
，
1313
43
由
cosC?
，得
sinC?
．
55

所以
sinA?sin(B?C)?sinBcosC ?cosBsinC?
（Ⅱ）由
S
△ABC
?
33
．
65
33
133
得
?AB?AC?sinA?
，
222
33
由（Ⅰ）知
sinA?
，
65
AB? sinB20
故
AB?AC?65
，又
AC??AB
，
s inC13
2013AB?sinA11
故
AB
2
?65
，
AB?
．所以
BC??
．
132sinC2
平面向量
1．基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2． 加法与减法的代数运算：
(1)
A
1
A
2
?A
2
A
3
???A
n?1
A
n
?A
1
A
n
．
(2)若a=（
x
1
,y
1
）, b=（
x
2
,y
2
）则a
?
b=（
x1
?x
2
,y
1
?y
2
）．
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量
AB
=
a
、
AD
=
b
为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线 的向量
AC
=
a
+
b
,
BD
=
b
－
a
,
DB
=
a
－
b

且有︱
a
︱－︱
b
︱≤︱
a
?
b
︱≤︱< br>a
︱+︱
b
︱．
向量加法有如下规律：
a
＋
b
=
b
＋
a
(交换律);
a
+(
b
+c)=(
a
+
b
)+c （结合律）;

a
+0=
a

a
＋(－
a
)=0.
3．实数与向量的积：实数
?
与向量
a
的积是一个向量。
(1)︱
?
a
︱=︱
?
︱·︱
a
︱;
(2) 当
?
＞0时，
?
a
与
a
的方向相 同；当
?
＜0时，
?
a
与
a
的方向相反；当
?
=0时，
?
a
=0．
a
=（
?
x
1
,
?
y
1
）． (3)若
a
=（x
1
,y
1
），则
?
·
两个向量共线的充要条 件：
(1) 向量b与非零向量
a
共线的充要条件是有且仅有一个实数
?< br>，使得b=
?
a
．

(2) 若
a
=（
x
1
,y
1
）,b=（
x
2
,y
2
）则
a
∥b
?x
1
y
2
? x
2
y
1
?0
．
平面向量基本定理：
若e1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有
一对实数
?
1
，
?
2
，使 得
a
=
?
1
e
1
+
?
2
e
2
．

4．P分有向线段
P
1
P
2
所成的比：
设P1
、P
2
是直线
l
上两个点，点P是
l
上不同 于P
1
、P
2
的任意一点，则存在一个实数
?
使
P
2
，
?
叫做点P分有向线段
P
1
P
=?
PP
1
P
2
所成的比。
当点P在线段
P< br>1
P
2
上时，
?
＞0；当点P在线段
P
1< br>P
2
或
P
2
P
1
的延长线上时，
?
＜0；
分点坐标公式：若
P
（
x
1
,y
1
）,（
x,y
）,（
x
2
,y
2
）；< br>1
,P,P
2
的坐标分别为
2
；
P
1
P
=
?
PP
?
x
2
?
x?
x< br>1
1
?
?
?
?
则
y?
y
1
?
?
y
2
?
1?
?
（
?
≠－1）， 中点坐标公式：
x
2
?
x?
x< br>1
?
2
?
y?
y
1
?y
2
2
?
．
5． 向量的数量积：
（1）向量的夹角：
00
已知两个非零向量
a
与b，作
OA
=
a
,
OB
=b,则∠AOB=
?
（
0?
?
?180
）叫做向量
a
与b的夹角。
（2）两个向量的数量积：
已知两个非零向量
a
与b，它们的夹角为
?
，则
a
·b=︱
a
︱·︱b︱cos
?
．
其中︱b︱cos
?
称为向量b在
a
方向上的投影．
（3）向量的数量积的性质：
a
=
a
·若
a
=（
x
1
,y
1
）,b=（
x
2
,y
2
）则e·e=︱
a
︱cos
?
(e为单位向量);
a
⊥b
?
a
·b=0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
（
a
，b为非零向量）; ︱
a
︱=
a?a?x
1
?y
1
;
cos
?
=
22
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
=．
2222
a?b
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
(4) 向量的数量积的运算律： < br>a
·
a
;(
?
a
)·b=b·b=
?
(
a
·b)=
a
·(
?
b);(
a
＋b )·c=
a
·c+b·c．

6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问
题，特别是处 理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量
的模、两点的距离、向量的 夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往
会与三角函数、数列、不等式、解几等结 合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

课本题
1．已知
|a|?|b|?|a?b|?1
，则
|a?b|
=
3
。
2．若非零向量
?
,
?
满足< br>|
?
?
?
|?|
?
?
?
|
，则
?
与
?
所成角的大小为 90
0
。 < br>3．已知
|a|?|b|?2
，
a
与
b
的夹角为?
，则
a?b
在
a
上的投影为 3 。 3
4．在直角坐标平面上，向量
OA?(4,1)
，向量
OB?(2,? 3)
，两向量在直线
l
上的正射影长
度相等，则直线
l
的斜 率为
3或-
1

2
5 ．设平面向量
a
=(-2,1)，
b
=(1,
?
)，若a
与
b
的夹角为钝角，则
?
的取值范围是
11
(??,?)?(?,2)
。
22
6．已知向量
OB ?(2,0),OC?(2,2),CA?(2cos
?
,2sin
?
),则向量
OA,OB
的夹角范围是

[,]
。
1212
?
?
5
?
7．将函数
y?2x
的图象按向量
a
平移后得到
y?2x?6
的图象，给出以下四个命题：
①
a
的坐标可以是
(?3,0)
； ②
a
的坐标可以是
(?3,0)
和
(0,6)
；
③
a
的坐标可以是
(0,6)
； ④
a
的坐标可以有无数种情况。
上述说法正确的是 ①②③④ 。
8．已知
?ABC
中，
CB?a,CA?b,a?b?0,S
? ABC
?
9．在△ABC中，BC=1，∠B=
??
??
15

,|a|?3,|b|?5
，则
a
与
b
的夹角为
150
0
。
4
?
，当△ABC的面积为
3
时，< br>tan?C?

?23
。
3
10．若 △ABC三边长AB=5，BC=7，AC=8，则
AB?BC
等于
?5
。
高考题

uu uruuuruuuruuur
uuur
21
1.在
△ABC
中，< br>AB?c
，
AC?b
．若点
D
满足
BD?2DC，则
AD?
b?c

33
uuuruuur
uuur< br>2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
AB?(2,4)
，
AC ?(1,3)
,则
BD?

（－3，－5）

3.设
a?(1,?2)
,
b?(?3,4)
,
c?(3,2)
则
(a?2b)?c?
-3
uuuruuuruuuruuur
4 .设
D、E、F
分别是△
ABC
的三边
BC、CA、AB
上 的点，且
DC?2BD,CE?2EA,

uuuruuuruuuruuur
uuuruuur
AF?2FB,
则
AD?BE?CF
与
BC反向平行

5.
△ABC
的内角
A
若
c?
，B，C
的对边分别为
a，b，c
，
等于
2

2，b?6，B?120
o
，则
a
u uuur
6.若过两点
P
1
(-1,2),
P
2
( 5,6)的直线与
x
轴相交于点
P
，则点
P
分有向线段PP
12
所成的比
?
=
1
－

3222
7.在△
ABC
中，角
ABC
的对边分别为
a、 b、c
,若(
a
+
c
-
b
)tan
B=
3ac
,则角
B
的值为
?
2
?
或
3

3
8.在平行四边形
ABCD
中，
AC
与
BD
交于点
O，E
是线段< br>OD
的中点，
AE
的延长线与
uuuruuur
uuur21
CD
交于点
F
．若
AC?a
，
BD?b< br>，则
AF?
a?b

33
9.已知
a
，b是 平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
c
满足
(a?c)?(b?c)?0
,则
c
的
最大值是
2

10.将函数y?2?1
的图象按向量
a
平移得到函数
y?2
xx?1
，?1)
的图象，则
a?(?1
11.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那 么它的顶角的余弦值为
78

rrrr
rrrr
?
，b?2
且
a
与
b
的夹角为，则
a?b?
12.若向量
a
，
b
满足
a?1
3
7
．
，，2)b?(2，3)
，若向量
?
a?b
与向量
c? (?4，?7)
共线，则
?
?
2 ． 13.设向量
a?( 1
14.已知向量
a
与
b
的夹角为
120
，且a?b?4
，那么
b?(2a?b)
的值为 0 ．
o< br>r
rrr
rr
rr
b?(?1,2)
．15.已知平面向量< br>a?(2,4)
，若
c?a?(a?b)b
，则
|c|?
__ __
82
_________．

rr
rrrr
16.
a
，
b
的夹 角为
120?
，
a?1
，
b?3
则
5a?b?

7
．
17.若AB=2, AC=
2
BC ，则
S
?ABC
的最大值
22
．
18.直角坐标平面上三点
A(1,2)、B(3,? 2)、C(9,7)
，若
E、F
为线段
BC
的三等分点，则
uuuruuur
AE?AF
= 22 ．
19.在△
ABC中，三个角
A,B,C
的对边边长分别为
a?3,b?4,c?6
,则< br>bccosA?cacosB?abcosC
的值为
61
.
2
23
20.已知
a
>0，若平面内三点A（1，-
a
），B（2，
a
），C（3，
a
）共线，则
a
= __
1?2
______。
24.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
a
、b、c ，若
?3b?ccosA?acosC
，则
?
cosA?
_____
3
____________。
3
数列基础知识
一、等差数列与等比数列

文
字
定
义
符
号
定
义
等差数列 等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与一般地，如果一个数列从第 二项起，每一项与
它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列它的前一项的比是同一个常数，那么这个 数列
就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
a
n?1
?a
n
?d

a
n?1
?q(q?0)

a
n
a
n2
?a
n?1
?a
n?1
(a
n
?0)

a
n
?
a
n?1
?a
n?1

2
0?q?1
递增数列：
a
1
?0，q?1或a
1
?0，
分
类
递增数列：
d?0

递减数列：
d?0

常数数列：
d?0

0?q?1
递减数列：
a
1
?0，q?1或a
1
?0，
摆动数列：
q?0

常数数列：
q?1

通
项
a
n
?a1
?(n?1)d?pn?q?a
m
?(n?m)d

a
n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m（
q?0
）

其中
p?d,q?a
1
?d

前
n
项
和
中
项
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d
?na
1??pn
2
?qn

22
dd
其中
p?,q?a
1
?

22< br>?
a
1
(1?q
n
)
(q?1)
?
S
n
?
?
1?q

?
na(q?1)
?< br>1
a,b,c成等比的必要不充分条件：b
2
?ac

等积性：等比数列
?
a
n
?

若
m?n? p?q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

推论：若
m?n?2p
则
a
m
?a
n
?(a
p
)

2
a,b,c成等差的充要条件:2b?a?c

等和性：等差数列
?
a
n
?

若
m?n? p?q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

主
要
性
质
推论：若
m?n?2p
则
a
m
?a
n
?2a
p

a
n?k
?a
n?k
?2a
n

a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3?a
n?2
????

即：首尾颠倒相加，则和相等
a
n?k
?a
n?k
?(a
n
)
2

a< br>1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
????

即：首尾颠倒相乘，则积相等




其








它








性


1、等差数列中连续
m
项的和，组成的新数列
是等差数列。即：
1 、等比数列中连续项的和，组成的新数列是
等比数列。即：
s
m
,s
2m
?s
m
,s
3m
?s
2m
,???
等 比，
公比为
q
。
2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列
是一个等比数列。
如：
a
1< br>,a
4
,a
7
,a
10
,???
（下标成等 差数列）
3、
?
a
n
?
,
?
b
n
?
等比，则
?
a
2n
?
，
?
a
2n?1
?
，
?
ka
n
?

也等比。其中
k?0

4、等比数列的通项公式类似于
n
的指数函数，
n
即：
a
n
?cq
，其中
c?
s
m
,s
2m
?s
m
,s
3m
?s
2m
,???
等差，公差为
md
则
有
s
3m
?3(s
2m
?s
m
)

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是
一个等差数列。 < br>如：
a
1
,a
4
,a
7
,a
10< br>,???
（下标成等差数列）
3、
?
a
n
?
,
?
b
n
?
等差，则
?
a
2n
?
，
?
a
2n?1
?
，
2
m
?< br>ka
n
?b
?
，
?
pa
n
?qb< br>n
?
也等差。
4、等差数列
?
a
n
?的通项公式是
n
的一次函数，
即：
a
n
?dn?c(
d?0
)
等差数列
?
a
n
?
的 前
n
项和公式是一个没有常
数项的
n
的二次函数，
即：
S
n
?An?Bn
(
d?0
)
5、项数为奇数
2n?1
的等差数列有：
2
a
1

q
等比数列的前
n
项和公式是一个平移加振
n
幅的
n
的指数函数，即：
s
n
?cq?c(q?1)

5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数
列是等比数列。

质
s奇
n
s
奇
?s
偶
?a
n
?a
中

?
s
偶
n?1
s
2n?1
?(2n? 1)a
n

项数为偶数
2n
的等差数列有：
s
奇
a
?
n
，
s
偶
?s
奇
?nd< br>
s
偶
a
n?1
s
2n
?n(a
n
?a
n?1
)

6、
a
n
?m,a
m
?n
则
a
m?n
?0


s
n
?s
m
则
s
m?n
?0(n?m)

s
n
?m,s
m
?n
则
s
m?n
??(m? n)

证
明
方
法
证明一个数列为等差数列的方法：
1、定义法：
a
n?1
?a
n
?d(常数)
2、中项法：
a
n?1
?a
n?1
?2a
n
( n?2)

证明一个数列为等比数列的方法：
1、定义法：
a
n?1
?q(常数)

a
n
2
（a
n
）(n?2,a
n
?0)
2、中项法：
a
n?1
?a
n?1
?
设
元
技
巧
三数等差：
a?d,a,a?d

四数等差：
a?3d,a?d,a?d,a?3d

1、若数列
?< br>a
n
?
是等差数列，则数列
C
a
n
三数等比 ：
a
,a,aq或a,aq,aq
2

q
23
四数等比：
a,aq,aq,aq

d
??
是等比数列，公比为
C
，其中
C
是常数，
d
是?
a
n
?
联
系
的公差。
2、若数列
?
a
n
?
是等比数列，且
a
n
?0
，则 数列
?
log
a
a
n
?
是等差数列，公差为
log
a
q
，其中
a
是常数且
a?0,a?1
，
q
是
?
a
n
?
的公比。
(n?1)?
s
1
二、数列的项
a
n
与前
n
项和
S
n
的关系：
a
n
?
?

?
s
n
?s
n?1
(n?2)
课本题
1 ．等差数列
?
a
n
?
前n项之和为
S
n
， 若
a
17
?10?a
3
，则
S
19
的值为 。95
2．已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
??60,a
n?1
?a
n
?3
，那么
|a
1
|?|a
2
|???|a
30
|
的值为 。
765

3．等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?0
，且
3a
8
?5a
13
，则
{S
n
}
中最大项为 。20
4．已知一个等差数列前五项的和是120，后五项的和是180，又各项之和是360，则此 数列
共有 项。12
5．设等比数列
?
a
n
?< br>中，每项均是正数，且
a
5
a
6
?81
，则
log
3
a
1
?log
3
a
2
???l og
3
a
10
?

20
6．设
f(x)?
1
，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得：
3x
?3
f(?12)?f(?11)?f(?10)???f(0)???f(11)?f (12)?f(13)
的值为 13
7．已知数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?(2n?1)?2
n?1
，前n项和为
S
n
，则
S
n
=
( 2n-1)2
n
+13 。
8．数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2,a
2
?1,
211
??(n?2)
，则其通项公式为
a
n
?

a
n
a
n?1
a
n?1
2
。
n
P32习题5（2）; P37练习5; P39习题7，12; P41练习4; P45习题2（1），7，12，13; P48
练习2（2）;
P51例4，练习2；P5习题10；P55练习4；P58习题4，6，7；P62复习题4，7，8
高考题
1.已知等差数列
?
a
n
?
满足
a
2
?a
4
?4
，
a
3
?a
5< br>?10
，则它的前10项的和
S
10
?

95
2.已知数列
?
a
n
?
对任意的
p ，q?N
*
满足
a
p?q
?a
p
?a
q< br>，且
a
2
??6
，那么
a
10
等于
-30
3.已知等比数列
?
a
n
?
中
a
2
?1
，则其前3项的和
S
3
的取值范围是
?
??,?1
?
U
?
3,??
?

4.若等差数列
{a
n
}
的前5项和
S
5
?25
，且
a
2
?3
，则
a
7
?
13
1
5.在数列
{a
n
}
中，
a
1< br>?2
，
a
n?1
?a
n
?ln(1?)
， 则
a
n
?

2?lnn

n
6.已知
{a
n
}
是等差数列，
a
1
?a
2
?4
，
a
7
?a
8
?28
，则该数列前10项和
S
10
等于
100
7.记 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n，若
a
1
?

1
，
S
4
?2 0
，则
S
6
?
48
2

8.已知
?
a
n
?
是等比数列，
a
2
?2，a
5
?
1
，则
a
1
a
2
? a
2
a
3
???a
n
a
n?1
=
4
32
（
1?4
?n
）
3
9.设等比数 列
{a
n
}
的公比
q?2
，前n项和为
S
n
，则
S
4
15
?

a
2
2
10.将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数
n
2
?n?6
为 ．
2
11.已知 函数
f(x)?2
x
,等差数列
{a
x
}
的公差为
2
.若
f(a
2
?a
4
?a
6
? a
8
?a
10
)?4
,
则
log
2
[f(a
1
)?f(a
2
)f(a
3
)?L?f(a10
)]?
. －6
12.设
S
n
=是等差数列{
a
n
}的前
n
项和，
a
1 2
=-8,
S
9
=-9,则
S
16
= .-72
n
*
13.设数列
?
a
n
?
的 前
n
项和为
S
n
．已知
a
1
?a
，
a
n?1
?S
n
?3
，
n?N
． n
（Ⅰ）设
b
n
?S
n
?3
，求数列
?
b
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）若
a
n?1
≥
a
n
，
n?N
，求
a
的取值范围．
*
n
n
（Ⅰ）依题意，
S
n?1
?S
n
?a
n?1
?S
n
?3
，即
S
n?1
?2 S
n
?3
，由此得
S
n?1
?3
n?1
? 2(S
n
?3
n
)
．
nn?1
*
因此， 所求通项公式为
b
n
?S
n
?3?(a?3)2
，
n?N
．（Ⅱ）由①知
S
n
?3
n
?(a?3)2
n?1
，
n?N
*
，
于是，当
n
≥
2< br>时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?3?(a?3 )?2
nn?1
?3
n?1
?(a?3)?2
n?2
n?2
??
3
??
n?2
?2
?
12
g
??
?a?3
?
，
??
?
?
2
?
?
?2?3
n?1
?(a?3)2
n?2
，
a
n?1
?a
n
?4?3
n?1
?(a?3)2
n? 2
?
3
?
当
n
≥
2
时，
a
n?1
≥
a
n
?12
g
??
?
2
?
n?2
?a?3
≥
0
?a
≥
?9
．

又
a
2
?a
1
?3?a
1
．综上，所求的
a
的取值范围是
?
?9，??
?
．
导 数
１．求导法则：
(c)

=0 这里c是常数。即常数的导数值为０。
(x
n
)

=nx
n1
特别地：(x)

=1 (x
1
)

= (
－－
1

)=－x
-2

x
(f(x)±g(x))

= f

(x)±g

(x) (k?f(x))

= k?f

(x)
２．导数的几何物理意义：
k＝f

(x
0
)表示过曲线y =f(x)上的点P(x
0
,f(x
0
))的切线的斜率。
V＝s

(t) 表示即时速度。a=v

(t) 表示加速度。
３．导数的应用：
①求切线的斜率。 ②导数与函数的单调性的关系
㈠
f
?
(x)?0
与
f(x)
为增函数的关系。
f
?
(x)?0
能推出
f(x)
为增函数，但反之不一定。 如函数
f(x)?x
3
在
(??,??)
上单
调递增，但< br>f
?
(x)?0
，∴
f
?
(x)?0
是f(x)
为增函数的充分不必要条件。
(二)
f
?
(x)?0
与
f(x)
为增函数的关系。
f(x)
为增函数，一定可以推出< br>f
?
(x)?0
，但反之不一定，因为
f
?
(x)? 0
，即为
f
?
(x)?0
或
f
?
(x)? 0
。当函数在某个区间内恒有
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为常数，函数不具
有单调性。∴
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函数的必要不充分条件。
（三）单调区间的求解过程，已知
y?f(x)
（1）分析
y?f(x)
的定义域;（2）求
导数
y
?
?f
?
(x)
（3）解不等式
f
?
(x)?0
，解集在定义域内 的部分为增区间（4）解不等
式
f
?
(x)?0
，解集在定义域内的 部分为减区间。
③求极值、求最值。
注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最
小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
课本题
P70练习4（1）（2）（3）P71习题9，10，11，12；P78习题8，9

P83练习1，2，3；P84习题5；P88复习题7，9
高考题：1.设 曲线
y?
x?1
在点
(3，
则
a?
-2
2)
处的切线与直线
ax?y?1?0
垂直，
x?1
12.若
f(x)??x
2
?bln(x?2)在(-1,+?)
上是减函 数，则
b
的取值范围是
(??,?1]

2
3.设曲线< br>y?e
ax
在点
(0，1)
处的切线与直线
x?2y?1?0
垂直，则
a?
．2
4.（江苏卷8）直线
y?
＝ ．ln2－1．
5已知函数
f(x)?x?ax?x?1
，
a?R
．
（Ⅰ）讨论函数
f(x)
的单调区间；
32
1
x?b是曲线
y?lnx
?
x?0
?
的一条切线，则实数b
2
?
?
内是减函数，求
a
的取值范围． （Ⅱ）设函数
f(x )
在区间
?
?，
解：（1）
f(x)?x?ax?x?1
求 导：
f
?
(x)?3x?2ax?1

当
a
2322
?
2
?
3
1
?
3
?
≤
3
时，
?≤
0
，
f
?
(x)
≥< br>0
，
f(x)
在
R
上递增
?a?a
2?3
当
a
?
3
，
f
?
(x)?0求得两根为
x?

3
2
?
?
?a?a
2
?3?a?a
2
?3
?
?a?a
2
?3
?
，
即
f(x)
在
?
??，
?
递增，??
递减，
??
??
3
33
??
??
?
?a?a
2
?3
?
，??
?
递增
?
??
3
??
?
?a?
?
?
（2）
?
?
?a?
?
?
a
2
?32
≤
?
33
a
2
?31
≥
?
33
，且
a
2
?
3
解得：
a
≥
7

4
立体几何

一、空间的直线与平面
1、平面：几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.
(1)平面的表示方法： 。
(2)用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l表示点A在直线l上；
A
?
α表示点A不在平面α内；l
?
α表示直线l在平面α内；

a
?
α表示直线a不在平面α内；l∩m=A表示直线l与 直线m相交于A点；
α∩l=A表示平面α与直线l交于A点；α∩β=l表示平面α与平面β相交于直线l.
2.平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
3.证题方法
直接证法

反证法

证题方法
间接证法

同一法
4.空间线面的位置关系
平行—没有公共点
共面
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点
相交—有一条公共直线(无数个公共点)
(3)平面与平面
平行—没有公共点
5.异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.
6.线面平行与垂直的判定
(1)两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交
线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a ∥b.
③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.
④两平行平面与 同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a
∥b
(2)两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b
?
α，a
⊥b.
④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂 直，
则它也和这条斜线垂直.

(3)直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即
若a
?
α,b
?
α，a∥b,则a∥α.
③两个平面平行 ，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l
?
α，则l∥β.
(4)直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.
②如果 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若
m
?
α，n
?
α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一 条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥
α,则l⊥α.
④一条 直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，
则l⊥α. < br>⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即
若α⊥ β,a∩β=α，l
?
β，l⊥a,则l⊥α.
(5)两平面平行的判定
①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点
?
α∥β. < br>②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b
?α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.
③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.
④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(6)两平面垂直的判定
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相 垂直，即二面
角α－a－β=90°
?
α⊥β.
②如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l
?
α，
则α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥
γ.
(7)线、线关系和线、面关系的辨证法

7.射影及有关性质
(1) 点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的
射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在
这平面上的射 影.

(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
9.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a ′∥a,b′∥b,则a′
和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围： .
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
10、直线和平面所成的角
(1)定义 和平面所成的角有三种：
(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和
这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围：
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
11、二面角及二面角的平面角
(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的
棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一 半平面组成.
二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①
以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角
.
如图，∠PCD是二面角α-AB- β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无
关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的 平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角
的另一边(或其反向延长线 )上.
(iii)二面角的平面角所在平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，
平面PCD⊥β.
二、棱柱、球
1、多面体：

_________________________________________________ ___________________
2、棱柱：
（1）棱柱的有关概念： 的多面体叫棱柱； 的
棱柱叫直棱柱； 的棱柱叫正棱柱； 叫平行六面
体；
_______________________________叫长方体； 的叫正方体.
（2）棱柱的分类：
①按侧棱与底面的位置关系分：侧棱不垂直于底面的棱柱 叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的
棱柱叫直棱柱， 底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
②按底面多边形的边数分：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱
柱分别叫三棱柱、四 棱柱、五棱柱……
｛正方体｝?｛长方体｝?｛直平行六面体｝?｛平行六面体｝?｛四棱柱｝ （3）棱柱的性质：①___________________②__________________ _③__________________.
设长方体的长、宽、高分别为a
、
b
、
c，对角线长为l ，则l
2
=a
2
+b
2
+c
2
（4）两 个定理①______________________________；②______________ _________________.
3、棱椎：
⑴棱锥：有一个面是________ _______（底面）②其余各面都是有__________________(侧
面).
正棱锥：底面____________② 顶点________________ 叫正棱锥
⑵棱椎的截面性质定理：_________________________.
⑶正棱锥的性质 ：①________________________②___________ ________________.
4、正多面体的概念：__________________ __种类:_______________________________.
5、球的定义： 叫球体（简称球）， 叫球
面．
6、球的截面性质：用一个平面截一个球面，所得截线是以 为圆心，以ｒ＝
为半径的一个圆，截面是一个 ．
7、大圆、小圆与球面距离： 。
8、
S
球
＝ ，
V
球
= 。
9、球的截面的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面。作图并讨论垂直的理由。
②设球心到截面的距离为d， 截面圆的半径为r，球的半径为R，则：r=
R
2
?d
2

课本题
1．点A
、
B到平面
?
距离分别为12，20，若斜线AB与
?
成
30
0
的角，则AB的长 等于_____。

2．已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角 均为60
0
，则直线PC
与平面PAB所成角的余弦值是 。

3．已知△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120
0
，这三 角形所在平面α外的一点P与三
个顶点的距离都是14，那么P到平面α的距离是 。

4．在平面角为60
0
的二面角
?
?l?
?
内有一点P，P到α
、
β的距离分别为PC=2cm，
PD=3cm，则P到棱l的距离为____________。

5．三棱柱的一个侧面面积为S，此侧面所对的棱与此面的距离为h，则此棱柱的体积为 。

6．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA
、
PB
、
PC 两两垂直，D是底面三角形内一点，且
∠
DPA=45
0
，∠DPB=60< br>0
，则∠DPC=__________。

7．在正三棱锥S—ABC中， 侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC=
23
，则此正三棱锥的外接球的
表面积为 。

8． 自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA
、
PB、
PC,则
PA
2
?PB
2
?PC
2
=_____。

P23练习2,3,4 P26练习1；P28练习6;P29习题8,12,13,14；P32练习2；P35练习1,3
P37练习2,3习题2,3,7,8,911,13,14 P45练习3,4 P46习题3,5,6,7,8,9,10; P52练习5,6
P54练习3,4; P60练习3,5 P64复习题1，2，3，4，5，6，7，12，13，14，15

高考链接：
1． 给定空间中的直线
l
及平面
?< br>，条件“直线
l
与平面
?
内无数条直线都垂直”
是“直线l
与平面
?
垂直”的 条件

2.已 知三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面边长 都相等，
A
1
在底面
ABC
内的射影
为
△ABC< br>的中心，则
AB
1
与底面
ABC
所成角的正弦值等于

3.已知正四棱锥
S?ABCD
的侧棱长与底面边长都相等，
E< br>是
SB
的中点，则
AE，SD
所成的角的余弦值为

4.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共
弦 长为2，则两圆的圆心距等于

5.设直线
l?
平面
?
，过平面
?
外一点
A
与
l,
?< br>都成
30
0
角的直线有且只有：

6.设
a,b
是两条直线，
?
,
?
是两个平面，则
a?b
的一个充分条件是
（A）
a?
?
,b
?
,
?
?
?
（B）
a?
?
,b?
?
,
?

?

（C）
a?
?
,b?
?
,
?

?
（D）
a?
?
,b
?
,
?
?
?

7.．已知
m,n
是两条不同直线，
?
,
?
,?
是三个不同平面，下列命题中正确的是
A．
若m
‖?,n
‖?
,则m
‖
n

C．
若m
‖?
,m
‖?
,则
?‖?

B．
若
?
?
?
,
?
?
?
,则
?‖?

D．
若m?
?
,n?
?
,则m
‖
n
8.用与球心距离为
1
的平面去截球，所得的截面面积为
?
，则球的体积 为

9，设有直线
m
、
n
和平面
?、
?
.下列四个命题中，正确的是
A.若
m
∥
?
,
n
∥
?
,则
m∥n

B. 若
m
?
?
,
n
?
?
,
m
∥
?
,
n
∥
?
,则
?
∥
?

C.若
?
?
?
，
m
?
?
,则
m
?
?

D.若
?
?
?
，
m
?
?
，
m
?
?
,则
m∥
?< br>

10.如图，在长方体
ABCD
-
A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
=
BC
=2,
AA
1
=1,则
BC
1
与平
面
BB
1
D
1
D
所成角的正弦值为

11.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱
9
柱的 顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长
8
为3，那么这个球的体积为 ____

12.若一个球的体积为
43
?
，则它的表面积为_______ ．

13.已知正四棱柱的对角线的长为
6
，且对角线与底面所成角的余弦值为 ，则
该正四棱柱的体积等于_____________。

14.若三棱锥的三个 侧棱两两垂直，且侧棱长均为
3
，则其外接球的表面积
是 .
15.如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA
?
平面ABC，AB
?< br>BC，DA=AB=BC=
3
，
则球O点体积等于___________。

16.在体积为
43?
的球的表面上有
A
，
B< br>，
C
三点，
AB
=1，BC=
2
，A，
C< br>两点的球
面距离为
3
?
，则球心到平面
ABC
的距离 为_________．
3

17.如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是矩形．已知
AB?3,AD?2,PA?2,PD?22,?PA B?60
?
．
（Ⅰ）证明
AD?
平面
PAB
；
（Ⅱ）求异面直线
PC
与
AD
所成的角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。









O
M
A
B
NC
D

18.如图，在四棱锥
O?ABCD
中，底面
ABCD
四边长为1的菱形 ，
?ABC?
?
4
,
OA?底面ABCD
,
O A?2
,
M
为
OA
的中点，
N
为
BC的中点
（Ⅰ）证明：直线
MN
‖
平面OCD
；
O
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。


A
B
M
D
NC

不等式
知识清单：
一、常用的证明不等式的方法
1．比较法
比较法证明不等式的一般步骤：作差—变 形—判断—结论；为了判断作差后
的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个 或几个平
方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。
2．综合法 利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不
等式的性质，推导出所要 证明的不等式，这个证明方法叫综合法；
3．分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等 式出发，分析使这个不等式成立的充分条
件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如 果能够肯定这些
充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。
二、不等式的解法
解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形 ”
并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。
高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。
1．不等式同解变形
（1）同解不等式（(1)
f(
同解；
x) ?gx()
与
fx()?F(x)?g(x)?F(x)
（2）
m?0，f( x)?g(x)
与
mf()x?mg()x
同解，
m?0，f(x)?g(x)
与
mf()x?mg()x
同解；
（3）
f(x)
同解）；
?0
与
fx()?g(x)?0 (g(x)?0
g(x)
2．一元一次不等式

?
(1)a?0
?
ax?b?分
?
(2)a?0
情况分别解之。
?
?
(3)a?0
3．一元二次不等式
2
或
ax
2
?bx?c?0(a?0)?
分
a?0
及
a?0
情况分
ax?bx?c?0(a?0)
2
别解之，还要注意
?
的三种 情况，即
??0
或
??0
或
??0
，最好联系
?b ?4ac
二次函数的图象。
4．分式不等式
分式不等式的等价变形：
?< br>f(x)?g(x)?0
f(x)f(x)
>0
?
f(x)·g(x) >0，≥0
?
?
。
g(x)g(x)
g(x)?0
?

5．简单的绝对值不等式
①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，
转化为一般不等式；
②等价变形：
|f(x)|?
－g(x)|f(x)|>g(x)
?
f(x)>g (x)或f(x)6．指数不等式
f(x)gx()

a
；
(
；
?a?
(1)当a?1时，fx()?g(x)20)当?a?1时，f(x)?g(x)7．对数不等式
a
b
?N?b?log
a
N
(a?0 ，b?0)，log
a
m
b
n
?
n1
log
a
b，log
a
b?
mlog
b
a


logfx()?log(gx)?
aa
??
?
g(x) ?0
?
f(x)?0
（1）当
a?
时，
?
；（2） 当
0
时，
?
。
1?a?1
??
?
f(x )?g(x)
?
f(x)?g(x)
课前预习
a?b
2
a
2
?b
2
1.求证：（）≤
2
2

?
x
2
?1?0
2．（2002京 皖春，1）不等式组
?
2
的解集是 ｛x｜0＜x＜1
}
?
x?3x?0

x?1
3．不等式>0的解集为{x|x<1或x>3}.
x?3

4．不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是｛x｜x＜1且x≠－1
}

5．不等式（）
x
1
3
2
?8
＞3
－
2x
的解集是_____。{x|-26．在（0，2
π
）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为 （

?
5
?
，）
4
4
?
x?y ?1?0
?
7．（06安徽）如果实数
x、y
满足条件
?
y ?1?0
， 那么
2x?y
的最大值为1
?
x?y?1?0
?

知识清单：
1．定理1：
a?b
≥
ab
（当且仅当a=b时取“=”号）.
2
注：该不等式可推出:当a
、
b为正数时,
如果a,b∈{x| x是正实数}，那么
a
2
?b
2
a?b2
≥≥ab≥
11
22
?
ab
（当且仅当a = b时取“=”号）
即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
3.绝对值不等式：
⑴a?b≤a?b≤a?b(ab≥0时,取等号)

注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),
特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.
课前预习
1．（06上海文，14）如果
a?0,b?0
，那么，下列不等式中正确的是（ A ）
11
（A）
?
（B）
?a?b
（C）
a
2
?b
2
（D）
|a|?|b|

ab
2．（2003京春文）设a，b，c，d∈R ，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是A
A.a+c>b+d B.a－c>b－d >bd
ab
D.
?

dc
a
2< br>?b
2
3．（06浙江理，7）“a
＞
b
＞
0”是“ ab＜”的充分而不必要条件.
2
4．（2001京春）若实数a、b满足a+b=2，则3
a
+3
b
的最小值是 6

5．若a＞b＞1，P＝
lga?lgb
，Q＝
R
典型例题
例1、已知
a?b?0,c?0
，求证：

a?b
1
（lga＋lgb），R＝lg（），则P Q
2
2
cc
?
.
ab
例2、若关于
x的一元二次方程
x
2
?(m?1)x?m?0
有两个不相等的实数根，求
m
的取值范围.
变式1： 设不等式x
2
－2ax+a+2≤0的 解集为M，如果M
?
［1，4］，求实数a
的取值范围？
变式2：解关于x 的不等式
?
?
m?3
?
x?1
?
?
x?1
?
?0(m?R)

?
y?x
?
例3、求
z?2x?y
的最大值，使
x,y
满足约束条件
?
x?y?1
.
?
y??1
?
?
?x?y?2?0
?
例4、 画出不等式组
?
x?y?4?0
表示的平面区域.
?
x?3y?3 ?0
?
变式1：点（－2，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是____ __

例5、（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
1
变式1：函数
y
=
m
2
＋
2
的值域为
m?1
y
2
变式2：设x≥0, y≥0, x+=1,则
x1?y
2
的最大值为＿＿
2
2

例7、求证：
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?c a


例8、要制造一个无盖的盒子，形状为长方体，底宽为2m。现有制盒材料60 m
2
,
当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？

实战训练
x
?1
2
1（07全国2理科）.不等式:
x
?4
>0的解集为( -2, 1)∪ ( 2, +∞)

?
x?y ≥?，
?
2x?y≤2，
?
2．若不等式组
?
表示的平面区 域是一个三角形，则
a
的取值范围是
?
y≥0，
?
?
x?y≤a
4
0?a≤1
或
a≥

3
B? xx
2
?5x?4≥0
．3．（07北京理）已知集合
A?
?
x|x?a≤1
?
，若
AIB??
，
??
则实数
a
的取值范围是 ．
（2，3）

4.（07上海理）已知
x,y?R
?
，且
x?4y?1
，则
x?y
的最大值为_____
1

16
5.．(07上海理)已知
a,b
为非零实数，且
a?b
，则下列命题成立的是( C )
11ba
D、
?

?
ab
ab
2
a
2
b< br>?
x?y
≥
?1，
?
6.设变量
x，y
满足 约束条件
?
x?y
≥
1，
则目标函数
z?4x?y
的最大值为11
?
3x?y?3．
?
A、
a
2
? b
2
B、
a
2
b?ab
2
C 、
?
1
?
?
1
?
7.设
a，b，c
均为正数，且
2
a
?log
1
a
，
??
?log
1
b
，
??
?log
2
c
．则< br>a?b?c

?
2
?
?
2
?
22
8．（07浙江理）“
x?1
”是“
x
2
?x
”的充分而不必要条件
9．（07浙江理）不等式
|2x?1|?x?1
的解集是 _____________。
?
x0?x?2
?

10．（07湖 北理）3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q=
?
x|x?P,且x?Q
?
，
如果P={x|log
2
x<1},Q={x||x-2|<1},那么P- Q等于{x|011．（07福建．）“
x?2
”是“
x
2
?x?6?0
”的充分而不必要条件
b
c
1
12已知
f(x)
是R上的减函数，则满足
f()?f(1)
的实数x的取值范围是< br>x
(??,0)U(1,??)

实战训练B
1．（07湖南理）．不等式
x?2
2]

≤0
的解集是< br>(?1，
x?1
2．（07福建理）已知集合A＝
{x|x?a}
，B ＝
{x|1?x?2}
，且
AU(?
R
B)?R
错
误!未找到引用源。，则实数
a
的取值范围是
a?2