高中数学必修1 第一章 集合与常用逻辑用语1.5.2

1．5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
学习目标
1.通过实例总 结含有一个量词的命题与它
们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定 ．

知识点 含量词的命题的否定
p
全称量词命题?x∈M，p(x)
存在量词命题?x∈M，p(x)


1．?x∈M，p(x)与?x∈M，綈p(x)的真假性相反．( √ )
2．“任意x∈ R，x
2
≥0”的否定为“?x∈R，x
2
<0”．( √ )
3．“?x∈R，|x|＝x”是假命题．( × )
綈p
?x∈M，綈p(x)
?x∈M，綈p(x)
结论
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题的否定是全称量词命题

一、全称量词命题的否定

例1 写出下列命题的否定．
(1)所有矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)?x∈R，x
2
－2x＋1≥0.
解 (1)存在一个矩形不是平行四边形；
(2)存在一个素数不是奇数；
(3)?x∈R，x
2
－2x＋1<0.
反思感悟 全称量词命题p：?x ∈M，p(x)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)，全称量词命
题的否定是存在量词命题．
跟踪训练1 写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x
2
＋mx－1＝0必有实根；
(2)p：?x∈N,2
x
>0.
解 (1)綈p：存在一个实数m，使方 程x
2
＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝
m
2
＋ 4>0恒成立，故綈p为假命题．
(2)綈p：?x∈N,2
x
≤0.綈p为假命题．
二、存在量词命题的否定
例2 写出下列命题的否定．
(1)有些四边形有外接圆；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x∈R，x
2
＋1<0.
解 (1)所有的四边形都没有外接圆；
(2)所有平行四边形都不是菱形；
(3)?x∈R，x
2
＋1≥0.
反思感悟 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行
否定 ，可以结合命题的实际意义进行表述．
跟踪训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)?x，y∈Z，使得2x＋y＝3.
解 (1)命题的否定：“不存在一个实数，它的 绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都

不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题 的否定为假命题．
(2)命题的否定：“?x，y∈Z，2x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，
∴命题的否定是假命题．
三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用
例3 对于任意实数x，不等式x
2
＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．
解 令y＝x
2
＋4x－1，x∈R，
则y＝(x＋2)
2
－5，
因为?x∈R，不等式x
2
＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
延伸探究
本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x
2
＋4x－1>m有解”，求实数m的取 值范围．
解 令y＝－x
2
＋4x－1，
因为y＝－x
2
＋4x－1＝－(x－2)
2
＋3.
又因为?x∈R，－x
2
＋4x－1>m有解，
所以只要m小于函数的最大值即可，
所以所求m 的取值范围是{m|m<3}．
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“?x∈M，a> y(或a常转化为求函数y的最大值(或最小值) ，即a>y
max
(或amin
)．
(2)对于存在量词命题 “?x∈M，a>y(或a常转化为求函数y的最 小值(或最大值)，即a>y
min
(或amax
)．
跟踪训练3 若命题p：?x∈R，x
2
＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a>1 C．a<1 D．a≤1
答案 D
解析 命题p：?x∈R，x
2
＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.

1．命题“?x∈R，|x|＋x
2
≥0”的否定是( )
A．?x∈R，|x|＋x
2
<0
B．?x∈R，|x|＋x
2
≤0
C．?x∈R，|x|＋x
2
<0
D．?x∈R，|x|＋x
2
≥0
答案 C
解析 条件?x∈R 的否定是?x∈R，结论“|x|＋x
2
≥0”的否定是“|x|＋x
2
<0 ”．
2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
答案 C
解析 利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．
“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.
3．关于命题p：“?x∈R，x
2
＋1≠0”的叙述，正确的是( )
A．綈p：?x∈R，x
2
＋1≠0
B．綈p：?x∈R，x
2
＋1＝0
C．p是真命题，綈p是假命题
D．p是假命题，綈p是真命题
答案 C

解析 命题p：“?x∈ R，x
2
＋1≠0”的否定是“?x∈R，x
2
＋1＝0”．所以p是真命题 ，
綈p是假命题．
4．命题“同位角相等”的否定为________．
答案 有的同位角不相等
解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．
5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________.
答案 所有的三角形都不是直角三角形
解析 命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是 全称量词命题，按照
存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．

1．知识清单：
(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．
(2)命题真假的判断．
2．方法归纳：转化思想．
3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．

1．若p：?x∈R，|x|≤1，则( )
A．綈p：?x∈R，|x|>1
B．綈p：?x∈R，|x|>1
C．綈p：?x∈R，|x|≥1
D．綈p：?x∈R，|x|≥1
答案 A
解析 根据全称量词命题的否定为存在 量词命题可知，?x∈R，|x|≤1的否定为：?x∈R，
|x|>1，故选A.
2．命题“?x>0，都有x
2
－x＋3≤0”的否定( )
A．?x>0，使得x
2
－x＋3≤0
B．?x>0，使得x
2
－x＋3>0
C．?x>0，都有x
2
－x＋3>0
D．?x≤0，都有x
2
－x＋3>0
答案 B
解析 命题“? x>0，都有x
2
－x＋3≤0”的否定是：?x>0，使得x
2
－x＋3> 0.
3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案 B

解析 量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有
理数”，故选B.
4．命题p：?x∈N，x
3
>x
2
的否定形式綈p为( )
A．?x∈N，x
3
≤x
2

C．?x∈N，x
3
2

答案 D
解析 命题p：?x∈N，x
3
>x
2
的否定形式是存在量词命题；
∴綈p：“?x∈N，x
3
≤x
2
”．
故选D.
5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )
A．命题綈p是真命题
B．命题p是存在量词命题
C．命题p是全称量词命题
D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
答案 C
解析 命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，
故选C.
6．命题“?x∈N，x
2
>1”的否定是________．
答案 ?x∈N，x
2
≤1
解析 由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题 “?x∈N，x
2
>1”的
否定为“?x∈N，x
2
≤1”．
7．命题：?x∈R，x
2
－x＋1＝0的否定是____________．
答案 ?x∈R，x
2
－x＋1≠0.
解析 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以?x∈R，x
2
－x＋1＝0的否定 是：?x∈R，x
2
－x＋1≠0.
8．命题“任意一个x∈R，都有x
2
－2x＋4≤0”的否定是________．
答案 存在x∈R，使得x
2
－2x＋4>0
解析 原命题为全称量词命 题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在x∈R，使得
x
2
－2x＋4>0.
B．?x∈N，x
3
>x
2

D．?x∈N，x
3
≤x
2

9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．
(1)?x∈R，x
2
>0；
(2)?x∈R，x
2
＝1；
(3)?x∈R，x是方程x
2
－3x＋2＝0的根；
(4)等腰梯形的对角线垂直．
解 (1)命题的否定：?x∈R，使x
2
≤0，因为x＝0时，0
2
＝0，所以命题的否定为真．
(2)命题的否定：?x∈R，使x
2
≠1，
因为x＝1时，x
2
＝1，所以命题的否定为假．
(3)命题的否定：?x ∈R，x不是方程x
2
－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，1
2
－3×1＋ 2＝0，即
x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．
(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．
10．命题p是“对某些实数x，若x－a>0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解 (1)命题p的否定：对任意实数x，若x－a>0，则x－b>0.
(2)b≤a.

11．下列命题的否定是真命题的是( )
A．三角形角平分线上的点到两边的距离相等
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程x
2
－9＝0的一个根

答案 B
解析 A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题，
B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，
D的否定： 3不是方程x
2
－9＝0的一个根，假命题，
故选B. 1
12．已知命题“?x∈R，使4x
2
＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实 数a的取值范围是( )
4
A．a<0
C．a≥4
答案 D
1
解析 ∵命题“?x∈R，使4x
2
＋(a－2)x＋
≤0”是假 命题，∴命题“?x∈R，使4x
2
＋(a
4
11
－2)x＋
>0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)
2
－4×4×
<0，即Δ＝(a－2)< br>2
<4，则－244
即013． 命题?x∈R，x
2
－x＋3>0的否定是________，命题?x∈R，x
2< br>＋1<0的否定是________．
答案 ?x∈R，x
2
－x＋3≤0 ?x∈R，x
2
＋1≥0
14．已知命题p：任意x∈R，x
2
＋ 2ax＋a>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是
____________．
答案 {a|a≤0，或a≥1}
解析 若命题p为真命题，则Δ＝4a
2
－4a<0，
∴0B．0≤a≤4
D．0

15．命题“?x∈R，?n∈N
*
，使得n≥2x＋1”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N
*
，使得n<2x＋1
B．?x∈R，?n∈N
*
，使得n<2x＋1
C．?x∈R，?n∈N
*
，使得n<2x＋1
D．?x∈R，?n∈N
*
，使得n<2x＋1
答案 D
解析 由题意可知，全称量词命题“?x∈R，?n∈N
*
，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在< br>量词命题“?x∈R，?n∈N
*
，使得n<2x＋1”，故选D.
16．已 知命题“存在x∈R，ax
2
－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．
解 因为命题“存在x∈R，ax
2
－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R， ax
2
－2ax－3≤0恒
成立”，
由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．
事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；
当a≠0时，借助二次函数 的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax
2
－2ax－3≤0恒成立的等
价条件是 a<0且其判别式Δ＝4a
2
＋12a≤0，
即－3≤a<0；
综上知，实数a的取值范围是{a|－3≤a≤0}．