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高中数学




高一数学教案-§集合（一）
§集合（一）
教学目的
初步理解集合的概念及其表示法，能按指定的方法表示一些集合；
理解集合中元素的性质；
培养学生分析、比较、归纳等逻辑思维能力。
教学重、难点
重点是集合概念及其表示法，难点是正确理解集合概念。
教学过程设计
一、引入
问：初中时我们已学习了哪些基本数集？（自然数集、整数集、有理数集、实数
集等）
当时是如何给出这些概念的，如自然数集？（自然数的全体组成自然数集）
问：如何表示自然 数集？（在椭圆圈内填上一些自然数，点上三点，在圈下写上
“自然数集，用此形式表示自然数集）
初中学过的数集就是我们今天要学习的“集合”中的一种（板书课题：§集合
（一））
二、新课
问：上述每一个数集中的元素是否确定？即是否有着明确的标准判断任何一个对象在或不在该数集中？如2，-2是否在自然数集中？（2在，-2不在）
由上可知，任给一个数 都可以确定它要么在该数集中，要么不在，二者必居其一，
在数集中的每一个数叫做数集中的元素，数集 中的元素必须具有确定性。
问：非常大的一些自然数能形成一个数集吗？为什么？（不能，不具有确定性）
上述所讲的都 是一些数所构成的集合，那么，只有数才能构成集合吗？其实不然，
构成集合的元素只要具有确定性即可 。
例1.下列对象是否构成集合？对象的属性是什么？有多少对象？
（1）所有的直角三角形；
（2）与一个角的两边距离相等的所有点；
（3）x2,3x+2,5y2-x,x2+y2；

（4）本校高一学生（820名）；
（5）本班第一小组全体学生中的所有姓氏；
（6）当n为1到6的自然数时（n2-5n+5）2的值。
上述各组的对象都能予以确定， 我们就认为每一组对象的全体形成一个集合（简
称集），集合里的各个对象叫做这个集合的元素。
问：你认为上述五个集合中的元素种类是否受限制？（没有限制，可是任意的）
集合中的元素具有任意性是集合元素的又一特性
问：上述集合的元素各是什么？元素个数各具什么特征？
（元素分别是直角三角形、点、整式 、学生、姓氏、数值，（1）、（2）中集合含
无限个元素，称为无限集，其他集合的元素个数有限，称 为有限集）
请各举一个有限集、无限集的例子。
请观察（5）和（6）中的集合。（5）中 集合元素的个数与该组人数相同吗？（6）
中元素个数为什么不是6？
集合中的元素应分别表 示不同的对象，若相同的对象归入某一个集合时，只能算
作集合里的一个元素，集合中元素无重复现象， 即集合的元素具有互异性。
问：上述姓氏集合中的姓氏有哪些？把列出的姓氏重新调整顺序后组成的集 合与
原来的姓氏集合是不是同一集合？（是）
集合的元素没有顺序的这一特性称为无序性。综上所述，集合中元素具有几个特
性？
确定性、互异性、无序性、任意性。
上面我们研究了集合的概念及有关集合中元素的性质，下面我们一起将集合表示
出来。
问：初中我们是如何表示数集的？（图示法）
此外，还有一种表示法是将所有元素一一列出，写在大括号内，称为列举法。
如例1 （3） 之集合可表示为{x2,3x+2,5y2-x,x2+y2}。请同学们用列举法表示
（5）、（6） 中的集合。
问：你能用列举法表示（4）中的集合吗？(能，但很麻烦)你能用列举法写出自
然数集吗？（{1,2,3,…}）是否所有的集合都能用列举法表示？例如（1）、（2）
中的集合？ （很难）
有一些集合，其元素不能或不便于、不需要一一列举出来，这就需要根据其属性
来确 定集合的元素，这样的集合表示法可采用另一种方法：把集合中的元素的公
共属性描述出来，写在大括号 内。这种表示法叫描述法，此时往往在大括号里先
写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖 线右边写上这个集合的元
素的公共属性，如，（1）中集合可表示为{x|x是直角三角形}，（2）中 集合可表

示为{x|x是到角两边距离相等的点}。在不致于引起混淆的情况下，元素的 一般
形式和竖线也可以省略，如{直角三角形}。
例2.用描述法表示下列集合
（1）x-3>2有所有解.
（2）抛物线y=x2+1上所有的点.
（3）直角坐标系下第一象限的点.
学生回答，（1）生甲：{x|x-3>2}；（2）生 乙：{y|y=x2+1}；（3）生丙：{点|点
在第一象限}.
评议：（2）的表示对否？（{(x,y)|y=x+2++1}）
（3）能描述得更清楚、更数学化吗？({(x,y)|x>0,y>0})
由上可知，集合 的表示法有列举法、描述法和图示法，你认为在什么情况下用列
举法方便？描述法呢？
练习：练习第2、5、8、10题。
小结：本节课学习了一始（原始概念）、二集（有限集、 无限集）、三法（描述法、
列举法、图示法）、四性（确定性、互异性、无序性、任意性）。
作业：用列举法表示1、3、4、6题中集合；用描述法表示6、7、9中集合。
思考题：1.一个集合是否都可用列举法和描述法表示？两种方法各自的优缺点是
什么？
2.用列举法表示集合{(x,y)|x+y=2，x、y是自然数}. 3.用描述法表示集合{1,
,, ,}。