高中数学高考核心知识点总结专题1.1 集合与常用逻辑用语(精讲精析篇)

专题1.1集合与常用逻辑用语（精讲精析篇）
提纲挈领

点点突破
热门考点01 集合的基本概念
元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若
a
属于集合
A
，记作
a?A
；若
b
不属于集合
A
，记作
b?A
．

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．
（4）常见数集及其符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N
N或N
＋

*
Z Q R
【典例1】集合
M是由大于
?2
且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（ ）．
A.
5?M
B.
0?M
C.
1?M
D.
?
π
?M

2
，【典例2】（全国高考真题（文））已知集合
则集合
A．5
【特别提醒】

中的元素个数为( )
B．4 C．3 D．2
1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满

1

足元素的互异性．
2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解 问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用
于解决集合问题．
热门考点02 集合间的基本关系
集合间的基本关系
（1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何 一个元素都是集合B的元素，我们就
说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B 的子集．记为
A?B
或
B?A
．
（2）真子集：对于两个集合A与 B，如果
A?B
，且集合B中至少有一个元素不属于集合
A，则称集合A是集合B的真 子集．记为
A
?
?
B
．
（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．
（4）若一个集合含有
n
个元素，则子集个数为2
n
个，真子集个数为
2
n
?1
．
【典例< br>3
】（2019·济南市历城第二中学高一月考）集合
A?xx?4,x?R
, 集合
?
2
?
B?
?
xkx?4,x?R
?
,若
B?A
,则实数
k?
_________.
【特别提醒】 < br>(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判
断； 当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的 子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略
任何非空集合是它自身的子集． (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关
系， 进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
提醒：空集是任何集合的子集，在 涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造
成漏解．
热门考点03 集合的基本运算
（1）三种基本运算的概念及表示
运算 自然语言 符号语言 Venn图

2

交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ?
U
A＝{x|x∈U且x?A}

（2）三种运算的常见性质
AIA ? A
，
AI?? ?
，
AIB ? BIA
，
AUA ? A
，
AU?? A
，
AUB ? BUA
．
C
U
(C
U
A)?A
，
C
U
U? ?
，
C
U
??U
．
AIB?A?A?B
，
AUB?A?B?A
，
C
U
(AUB)?C
U
AIC
U
B
，
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B
． < br>【典例
4
】（2018·全国高考真题（理））已知集合
A?xx?x?2?0
，则
?
R
A?
（ ）
A．
x?1?x?2

C．
x|x??1
?
?xx2

?
2
?
??
B．
x?1?x?2

??< br>?
?
?
D．
x|x??1
?
?x|x?2
?

??
【典例
5
】（2019·北京高考真题（文））已知集合A
={
x
|–1<
x
<2}，
B
={
x
|
x
>1}，则
A
∪
B
=
（ ）
A.（–1，1） B.（1，2） C.（–1，+∞） D.（1，+∞）
2
【 典例6】（2017·江苏高考真题）已知集合
A?
?
1,2
?
，< br>B?a,a?3
，若
A?B={1}
则
实数
a
的值为 ________
【典例7】已知集合
A
＝{
x
|－3≤
x
≤4}，
B
＝{
x
|2
m
－1<
x<
m
＋1}，且
A
∩
B
＝
B
，则实数
m
的
取值范围为( )
A．[－1,2)
C．[2，＋∞)
【总结提升】

1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：

3
??
B．[－1,3]
D．[－1，＋∞)

(1)看元素 组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题
的前提．
(2 )对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题
变得简单明了， 易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：
(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；
(2)由 描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间
法要注意端点值的情 况．
热门考点04 集合中的“新定义”问题
【典例8】（2015·湖北高考真题（理））已知集合
，定义集合
，则
（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【总结提升】
解决集合新定义问题的着手点

(1)
正确理解新定义：耐心阅读，分析含义 ，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新
定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知 识将陌生的集合转化为我们熟悉
的集合，是解决这类问题的突破口．

(2)
合理利用集合性质：运用集合的性质
(
如元素的性质、集合的运算性质等
)
是 破解新定义
型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．

(3)
对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比 、特值法等进行求解或排除错误选项，
当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判 断结果的目的．

中元素的个数为
，
热门考点05 充分必要条件问题
（1）若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件；

4

（3）若p?q且q?p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p?q，则p是q的充要条件；
（5）若p?q且q?p，则p是q的既不充分也不必要条件．
【典例9】（2015·湖南高考真题（理））设，是两个集合，则“
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例10】已知
P
＝{
x
|－2≤< br>x
≤10}，非空集合
S
＝{
x
|1－
m
≤
x
≤1＋
m
}．若
x
∈
P
是
x< br>∈
S
的必要条件，则
m
的取值范围为 .
【总结提升】

1.
充要关系的几种判断方法

（
1
）定义法：若

p?q,q??p

，则p
是
q
的充分而不必要条件；若
p??q,q?p

，
则
p
是
q
的必要而不充分条件；若
p?q,q?p
，则
p
是
q
的充要条件；

若
”是“”
p??q,q??p

，则
p
是
q
的既不充分也不必要条件．

???? ??
（
2
）等价法：即利用
p?q
与
q?p
；q?p
与
p?q
；
p?q
与
q?p
的
等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

（
3
）充 要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题
p
的集合为
M
，满足命题
q
的集合为
N
，则
M
是
N
的真子集等价于
p
是
q
的充分不必要条件，
N
是
M
的真子集等价 于
p
是
q
的
必要不充分条件，
M
＝
N等价于
p
和
q
互为充要条件，
M
，
N
不存在相互包含关系等价于
p
既不是
q
的充分条件也不是
q
的必要条件

2
．把握探求某结论成立的充分、必要条件的
3
个方面

(1)
准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；

(2)
注意问题的形式，看清“
p
是
q
的……”还是“
p
的…… 是
q
”，如果是第二种形式，要
先转化为第一种形式，再判断；

( 3)
灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“
?”
来进行，
即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．

3.
根据充要条件求解参数范围的方法及注意点

(1)
把充分条 件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列
出关于参数的不等式
(
组
)
求解．

(2)
注意点：区间端点值的检验，尤其 是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，

5

不等式是否 能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．

热门考点06 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中 通常叫做全称量词，并用符号“
?
”表示．
（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．
（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x )成立”可用符号简记为
?x?M,p(x)
，读作“对
任意x属于M，有p(x)成 立”．
2．存在量词与特称命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词，并用符号“
?
”表示．
（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题． < br>（3）特称命题“存在M中的一个x
0
，使p(x
0
)成立”可用符号 简记为
?x
0
?M,p(x
0
)
，读作
“存在M中 的元素x
0
，使p(x
0
)成立”．
3．全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）“
p
或
q
”的否定为：“非
p
且非
q
”；“
p
且
q
”的否定为：“非
p
或非
q
”．
命题 命题的否定
（3）含有一个量词的命题的否定
?x?M,p(x)

?x
0
?M,p(x
0
)

?x
0
?M,?p(x
0
)

?x?M,?p(x)

【典例
11
】（湖南高考真题）下列命题中的假命题是（ ）
A.
?x?R
，
2
x?1
?0

C.
?x?R
，
lgx?1

B.
?x?N
?
，
?
x?1
?
?0

D.
?x?R
，
tanx?2

2n
2
【 典例
12
】（2015·全国高考真题（理））设命题
P:?n?N,n?2
，则
P
的否定为（ ）
A．
?n?N,n?2

C．
?n?N,n?2

【总结提升】

1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的 每一个元素x，证明p(x)成
立；

6
2n
2n
B．
?n?N,n?2

D．
?n?N,n?2

2n
2n

（2）要 判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x
0
，使p(x
0
)
不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命 题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x
0
，使p(x
0
)成
立 即可，否则这一特称命题就是假命题．
3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
命题名称
全称命题
假
真
特称命题
假
4．常见词语的否定形式有：
原语句
否定形式
是
不是
都是
不都是
>
≤
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
对任意x∈A使p(x)真
存在x
0
∈A使p(x
0
)假
所有对象使命题假 否定为真
存在一个对象使命题假
存在一个对象使命题真
否定为真
否定为假
真假
真
判断方法一
所有对象使命题真
判断方法二
否定为假
【易错提醒】
1．命题的否定与否命题的区别：“ 否命题”是对原命题“若
p
，则
q
”的条件和结论分别
，只是
p
”加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非
否定命题 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，
p
的结论．
而原 命题与否命题的真假无必然联系．
2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
巩固提升

1.（2018贵州凯里一中模拟）
命题
p
：< br>?x
0
?R
，
f
?
x
0
?
?2
，则
?p
为（ ）
A．
?x?R
，
f
?
x
?
?2
B．
?x?R
，
f
?
x
?
?2

C．
?x
0
?R
，
f
?
x
?
?2
D．
?x
0
?R
，
f
?
x
?
?2

2．（2018·全国高考真题（ 文））已知集合
A?
?
1,3,5,7
?
，
B?
?
2,3,4,5
?
，则
AIB?
（ ）
A．
?
3
?
B．
?
5
?
C．
?
3,5
?
D．
?
1,2,3,4,5,7
?

B?{0,1,2}
， 3．（2018·全国高考真题（文））已知集合
A?{x|x?1?0}
，则
AIB ?
（ ）

7

A．
{0}
B．
{1}
C．
{1,2}
D．
{0,1,2}

4．（2015·安徽高考真题（文））设p：x<3，q：-1A．充分必要条件
C．必要不充分条件
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2019·全国高三月考（理））集合
A?x|x (x?1)?0
的子集个数是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
?< br>2
?
6.（2017·北京高考真题（文））已知全集
U?R
，集合< br>A?{x|x??2或x?2}
，则
?
U
A?
（ ）
A．
(?2,2)

C．
[?2,2]

B．
(??,?2)U(2,??)

D．
(??,?2]U[2,??)

7．（2019·新余市第六中学高一 期中）设集合
A?
?
x?
?
?
39
?
?x ?
?
，Z为整数集，则集合
22
?
AIZ
中的元素的个数是 （ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
B?
?
1,m
?
，8.（全国高考真题（理））已知集合
A?1,3,m
，若
A?B?A< br>，则
m?
（ ）
A.
0
或
3
B.
0
或
3
C.
1
或
3
D.
1
或
3

??
9.（上海高考真题）设常数a∈R，集 合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，
则a的取值范围 为（ ）
A.（﹣∞，2） B.（﹣∞，2] C.（2，+∞） D.[2，+∞） < br>10.（2019·江苏高考真题）已知集合
A?{?1,0,1,6}
，
B? xx0,x?R
，则
A?B?
_____.
11.（2017·江苏高考真 题）已知集合
A?
?
1,2
?
，
B?a,a?3
， 若
A?B={1}
则实数
a
2
??
??
的值为__ ______
12．给出下列命题：
?a??
R
Q
，
b ??
R
Q
，
?x?R
，
?x?R
，（1）（2）（ 3）使得
a?b?Q
．
x
2
?0
；
x
2
?x?1?0
；
其中真命题的个数为______．

8

13．（2019·山西高一期中）已知集合
M
满足
?
1, 2
?
?M
?
?
?
1,2,3,4,5
?
，那么这样的集合
M
的个数为_____________．
14．（2019·新 余市第六中学高一期中）设集合
A,B
是非空集合，定义
A?B?{x|x?A?B< br>且
x锨AB}
，已知
A?
?
x?2?x?5
?
，
B?
?
xx?3
?
，则
A?B
=______ ____.
15．设
A
是整数集的一个非空子集，对于
k?A
，如 果
k?1?A
，
k?1?A
，那么
k
是
A
的一个“孤立元”，给定
A?
?
1,2,3,4,5
?
，则
A
的所有子集中，只有一个“孤立元”的集
合共有______个．
16.已知命题 p：
?
?
x?2?0
，命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必 要而不充分条
?
x?10?0
件，则m的取值范围为________．


专题1.1集合与常用逻辑用语（精讲精析篇）
提纲挈领

点点突破
热门考点01 集合的基本概念
元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若
a
属于集合
A
，记作
a?A
；若
b
不属于集合
A
，记作
b?A
．


9

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．
（4）常见数集及其符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N
N
*
或N
＋

Z Q R
【 典例1】集合
M
是由大于
?2
且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是 （ ）．
A.
5?M

【答案】D
【解析】
由 题意，集合
M
是由大于
?2
且小于1的实数构成的，即
M?{x|? 2?x?1}
，
由
5?1
，故
5?M
；由
?2? 0?1
，故
0?M
；由1不小于1，故
1?M
；
由
?2??
故选D．
【典例2】（全国高考真题（文））已知集合
则集合
A．5
【答案】D
【解析】
由已知得
【特别提醒】

1.利用集合元素的限制条件求 参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满
足元素的互异性．
2．集合中元 素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用
于解决集合问题．
中的元素均为偶数， 应为取偶数，故 ，故选D.
中的元素个数为( )
B．4 C．3 D．2
，
B.
0?M
C.
1?M
D.
?
π
?M

2
ππ
?1
，故
??M
．
22
热门考点02 集合间的基本关系
集合间的基本关系
（1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就

10

说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子 集．记为
A?B
或
B?A
．
（2）真子集：对于两个集合A与B， 如果
A?B
，且集合B中至少有一个元素不属于集合
A，则称集合A是集合B的真子集 ．记为
A
?
?
B
．
（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．
（4）若一个集合含有
n
个元素，则子集个数为2
n
个，真子集个数为
2
n
?1
．
【典例< br>3
】（2019·济南市历城第二中学高一月考）集合
A?xx?4,x?R
, 集合
?
2
?
B?
?
xkx?4,x?R
?
,若
B?A
,则实数
k?
_________.
【答案】
0,2,?2

【解析】
A?xx
2
? 4,x?R?
?
?2,2
?
.因为
B?A
,所以
? ?
B??,B?
?
2
?
,B?
?
?2
?< br>,B?
?
?2,2
?
.
当
B??
时,这时 说明方程
kx?4
无实根,所以
k?0
；
当
B?
?
2
?
时,这时说明
2
是方程
kx?4
的实根,故
2k?4?k?2
；
当
B?
?
?2
?
时 ,这时说明
?2
是方程
kx?4
的实根,故
?2k?4?k??2< br>；
因为方程
kx?4
最多有一个实数根,故
B=
{
-2,2
}
不可能成立.
故答案为：
0,2,?2

【特别提醒】
(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、 图示法进行判
断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略
任何非空集 合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区 间端点间的关
系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造

11

成漏解．
热门考点03 集合的基本运算
（1）三种基本运算的概念及表示
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ?
U
A＝{x|x∈U且x?A}

（2）三种运算的常见性质
AIA ? A
，
AI?? ?
，
AIB ? BIA
，
AUA ? A
，
AU?? A
，
AUB ? BUA
．
C
U
(C
U
A)?A
，
C
U
U??
，
C
U
??U．
AIB?A?A?B
，
AUB?A?B?A
，
C
U
(AUB)?C
U
AIC
U
B
，
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B
． < br>【典例
4
】（2018·全国高考真题（理））已知集合
A?xx?x?2?0
，则
?
R
A?

A．
x?1?x?2

C．
x|x??1
?
?xx2

【答案】B
【解析】
解不等式
x
2
?x?2?0
得
x?1或x2
，
所以
A?x|x??1或x?2
，
所以可以求得
C
RA?
?
x|?1?x?2
?
，故选B.
【典例
5】（2019·北京高考真题（文））已知集合
A
={
x
|–1<
x
<2}，
B
={
x
|
x
>1}，则
A
∪
B
=

12
?
2
?
??
B．
x?1?x?2

??< br>?
?
?
D．
x|x??1
?
?x|x?2
?

??
??

（ ）
A.（–1，1）
【答案】C
【解析】
∵
∴
故选C.
【典例6】（20 17·江苏高考真题）已知集合
A?
?
1,2
?
，
B?a, a?3
，若
A?B={1}
则
2
B.（1，2） C.（–1，+∞） D.（1，+∞）
，
，
??
实数
a
的值为________
【答案】1
【解析】
由题意
1?B
，显然
a
2
?3?3，所以
a?1
，此时
a
2
?3?4
，满足题意，故答案 为1．
【典例7】已知集合
A
＝{
x
|－3≤
x
≤4}，
B
＝{
x
|2
m
－1<
x
<m
＋1}，且
A
∩
B
＝
B
，则实数
m
的
取值范围为( )
A．[－1,2)
C．[2，＋∞)
【答案】D
【解析】
A
＝{
x
|－3≤
x
≤4}．
又
A
∩
B
＝
B
，所以
B
?
A.
①当
B
＝?时，有
m
＋1≤2
m
－1，
解得
m
≥2；
B．[－1,3]
D．[－1，＋∞)
?
?3?2m?1
?
②当
B
≠?时，有
?
m?1? 4
，
?
2m?1?m?1
?
解得－1≤
m
＜2.
综上，
m
的取值范围为[－1，＋∞)．
【总结提升】

1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的 ，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题
的前提．

13

(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题
变得简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：
(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；
(2)由 描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间
法要注意端点值的情 况．
热门考点04 集合中的“新定义”问题
【典例8】（2015·湖北高考真题（理））已知集合
，定义集合
，则
（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C
【解析】
因为集合
图中圆中的整点，集合
25个点）：即图中正方形中的整 点，集合
的元素可看作正方形
中的整点（除去四个顶点），即个．
，所以集合中有9 个元素（即9个点），即
中有25个元素（即
中元素的个数为
，


14

【总结提升】
解决集合新定义问题的着手点

(1)
正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新
定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉
的集合，是解决 这类问题的突破口．

(2)
合理利用集合性质：运用集合的性质
(
如元素的性质、集合的运算性质等
)
是破解新定义
型集合问题的关键．在解题时要善于 从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一
些因素，并合理利用．

(3)< br>对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，
当不满足 新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．

热门考点05 充分必要条件问题
（1）若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件；
（3）若p?q且q?p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p?q，则p是q的充要条件；
（5）若p?q且q?p，则p是q的既不充分也不必要条件．
【典例9】（2015·湖南高考真题（理））设，是两个集合，则“
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
若
证，若
此< br>，对任意
，则对任意
，则
，有
，又
，从而
，则
，反之若
，所以，充分性得
，则，因
”是“”
，必要性得证，因此应选充分 必要条件．故选C．
【典例10】已知
P
＝{
x
|－2≤
x
≤10}，非空集合
S
＝{
x
|1－
m
≤
x
≤1＋
m
}．若
x
∈
P
是
x
∈
S
的必要条件，则
m
的取值范围为 .
【答案】[0,3]

15

【解析】由
x∈
P
是
x
∈
S
的必要条件，知
S
?< br>P
.
?
1?m?1?m
?
则
?
1?m?? 2
，所以0≤
m
≤3.
?
1?m?10
?
所以当 0≤
m
≤3时，
x
∈
P
是
x
∈
S
的必要条件，即所求
m
的取值范围是[0,3]．
【总结提升】

1.
充要关系的几种判断方法

（
1
）定义法：若

p?q,q??p

，则
p
是
q
的充分而不必要条 件；若
p??q,q?p

，
则
p
是
q
的必要而不充分条件；若
p?q,q?p
，则
p
是
q
的充要 条件；

若
p??q,q??p

，则
p
是
q
的既不充分也不必要条件．

???? ??
（
2
）等价法：即利用
p?q
与
q?p
；q?p
与
p?q
；
p?q
与
q?p
的
等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

（
3
）充 要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题
p
的集合为
M
，满足命题
q
的集合为
N
，则
M
是
N
的真子集等价于
p
是
q
的充分不必要条件，
N
是
M
的真子集等价 于
p
是
q
的
必要不充分条件，
M
＝
N等价于
p
和
q
互为充要条件，
M
，
N
不存在相互包含关系等价于
p
既不是
q
的充分条件也不是
q
的必要条件

2
．把握探求某结论成立的充分、必要条件的
3
个方面

(1)
准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；

(2)
注意问题的形式，看清“
p
是
q
的……”还是“
p
的…… 是
q
”，如果是第二种形式，要
先转化为第一种形式，再判断；

( 3)
灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“
?”
来进行，
即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．

3.
根据充要条件求解参数范围的方法及注意点

(1)
把充分条 件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列
出关于参数的不等式
(
组
)
求解．

(2)
注意点：区间端点值的检验，尤其 是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，
不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当 容易出现漏解或增解的错误．

热门考点06 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并 用符号“
?
”表示．

16

（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．
（3）全称命题“对M中任意一 个x，有p(x)成立”可用符号简记为
?x?M,p(x)
，读作“对
任意x属于M ，有p(x)成立”．
2．存在量词与特称命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在 逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“
?
”表示．
（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．
（3）特称命题“存在M中的一个x
0
，使p(x
0
)成立”可用符号简记为
?x
0
?M,p(x
0
)
，读作
“存在M中的元素x
0
，使p(x
0< br>)成立”．
3．全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）“
p
或
q
”的否定为：“非
p
且非
q
”；“
p
且
q
”的否定为：“非
p
或非
q
”．
命题 命题的否定
（3）含有一个量词的命题的否定
?x?M,p(x)

?x
0
?M,p(x
0
)

?x
0
?M,?p(x
0
)

?x?M,?p(x)

【典例
11
】（湖南高考真题）下列命题中的假命题是（ ）
A.
?x?R
，
2
x?1
?0

C.
?x?R
，
lgx?1

【答案】B
【解析】
当x=1时，（x-1）
2
=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B.
【典例
12
】（2015·全国高考真题（理））设命题
P:?n?N,n?2
，则
P
的否定为（ ）
A．
?n?N,n?2

C．
?n?N,n?2

【答案】C
【解析】
根据否命 题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全
称命题，所以命题的否命 题应该为
?n?N,n≤2
，即本题的正确选项为C.
2n
B.
? x?N
?
，
?
x?1
?
?0

D.
?x?R
，
tanx?2

2
2n
2n
B．
?n?N,n?2

D．
?n?N,n?2

2n
2n
2n

17

【总结提升】

1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成
立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x
0
，使 p(x
0
)
不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一 个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x
0
，使p(x
0
)成
立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
命题名称
全称命题
假
真
特称命题
假
4．常见词语的否定形式有：
原语句
否定形式
是
不是
都是
不都是
>
≤
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
对任意x∈A使p(x)真
存在x
0
∈A使p(x
0
)假
所有对象使命题假 否定为真
存在一个对象使命题假
存在一个对象使命题真
否定为真
否定为假
真假
真
判断方法一
所有对象使命题真
判断方法二
否定为假
【易错提醒】
1．命题的否定与否命题的区别：“ 否命题”是对原命题“若
p
，则
q
”的条件和结论分别
，只是
p
”加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非
否定命题 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，
p
的结论．
而原 命题与否命题的真假无必然联系．
2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
巩固提升

1.（2018贵州凯里一中模拟）
命题
p
：< br>?x
0
?R
，
f
?
x
0
?
?2
，则
?p
为（ ）
A．
?x?R
，
f
?
x
?
?2
B．
?x?R
，
f
?
x
?
?2

C．
?x
0
?R
，
f
?
x
?
?2
D．
?x
0
?R
，
f
?
x
?
?2

【答案】A

18

【解析】根据特称命题的否定，易知原命题的否定为：
?x?R,f
?
x
?
?2
，故选A．
2．（20 18·全国高考真题（文））已知集合
A?
?
1,3,5,7
?
，< br>B?
?
2,3,4,5
?
，则
AIB?
（ ）
A．
?
3
?

【答案】C
【解析】
B．
?
5
?
C．
?
3,5
?
D．
?
1,2,3,4,5,7
?

QA?
?
1, 3,5,7
?
,B?
?
2,3,4,5
?
,
?A?B?
?
3,5
?
,
故选C
B?{0,1 ,2}
，3．（2018·全国高考真题（文））已知集合
A?{x|x?1?0}
， 则
AIB?
（ ）
A．
{0}

【答案】C
【解析】
由集合A得
x?1
,
所以
A?B?
?
1,2
?

故答案选C.
4．（2015·安徽高考真题（文））设p：x<3，q：-1A．充分必要条件
C．必要不充分条件
【答案】C
【解析】
∵
p:x?3
，
q:?1?x?3
∴
q?p
，但
选 C.
5．（2019·全国高三月考（理））集合
A?x|x(x?1)?0
的子集 个数是（ ）
A.1
【答案】C
【解析】

19
B．
{1}
C．
{1,2}
D．
{0,1,2}

B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件 < br>，∴
p
是
q
成立的必要不充分条件，故
?
2
?
B.2 C.4 D.8

因为
A?{0,1}
，
所以其子集个数是
2
2
?4
.
故选：C.
6 .（2017·北京高考真题（文））已知全集
U?R
，集合
A?{x|x??2或x ?2}
，则
?
U
A?
（ ）
A．
(?2,2)

C．
[?2,2]

【答案】C
【解析】
因为
A?{xx??2
或
x?2}
，所以
?
U
A?x?2?x?2
，故选：C．
7．（20 19·新余市第六中学高一期中）设集合
A?
?
x?
B．
(??,? 2)U(2,??)

D．
(??,?2]U[2,??)

??< br>?
?
39
?
?x?
?
，Z为整数集，则集合
22
?
AIZ
中的元素的个数是（ ）
A.4
【答案】C
【解析】
B.5 C.6 D.7
39
A?Z?{x|??x?}?Z?{?1,0,1,2,3,4}
，共6个元素.
22
故选：C.
B?
?
1,m
?
，8.（全国高 考真题（理））已知集合
A?1,3,m
，若
A?B?A
，则
m?< br>（ ）
A.
0
或
3

【答案】B
【解析】
因为
A?B?A
,所以
B?A
,所以
m ?3
或
m?
B.
0
或
3
C.
1
或
3
D.
1
或
3

??
m
.
若
m?3
，则
A?{1,3,3},B ?{1,3}
,满足
A?B?A
.
若
m?m
，解得
m?0
或
m?1
.若
m?0
，则
A?{1,3,0},B ?{1,3,0}
，满足
A?B?A
.若
m?1
，
A?{ 1,3,1},B?{1,1}
显然不成立，综上
m?0
或
m?3
， 选B.

20

9.（上海高考真题）设常数a∈R，集合A={x |（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，
则a的取值范围为（ ）
A.（﹣∞，2）
【答案】B
【解析】
当时，
时，
时，
，此时成立，当
，即，当
时，
时，
，故选B.
，当
，当
B.（﹣∞，2] C.（2，+∞） D.[2，+∞）
恒成立 ，所以
a
的取值范围为
10.（2019·江苏高考真题）已知集合
A?{? 1,0,1,6}
，
B?xx0,x?R
，则
A?B?
_____.
【答案】
{1,6}
.
【解析】
由题知，
A?B?{1,6}
.
11.（2017·江苏高考真题）已知集 合
A?
?
1,2
?
，
B?a,a?3
，若
A?B={1}
则实数
a
2
??
??
的值为_______ _
【答案】1
【解析】
由题意
1?B
，显然
a
2
?3?3
，所以
a?1
，此时
a
2
?3?4< br>，满足题意，故答案为1．
12．给出下列命题：
?a??
R
Q< br>，
b??
R
Q
，
?x?R
，
?x?R
，（1）（2）（3）使得
a?b?Q
．
x
2
?0
；< br>x
2
?x?1?0
；
其中真命题的个数为______．
【答案】1
【解析】
对于（1），当
x?0
时，
x2
?0
，所以（1）是假命题；
1
?
33
?
对于（2），
x
2
?x?1?
?
x?
?
???0< br>，所以（2）是假命题；
2
?
44
?

21 2

对于（3），当
a?2?2
，
b?3?2
时，
a?b?5
，所以（3）是真命题．
所以共有1个真命题，
故填：1.
13．（2019·山西高一期中）已知集合
M
满足
?
1,2
?
?M
?
?
?
1,2,3,4,5
?
，那么这样的集合
M
的个数为_____________．
【答案】7
【解析】
用列举法可知
M
＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4} ，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}
共7个．
故答案为：7.
14．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合
A,B
是非空集合，定义
A?B?{x|x?A?B
且
x锨AB}
，已知
A?
?
x?2?x?5
?
，
B?
?
xx?3
?
，则
A?B
=__________.
【答案】
{x|3?x?5
或
x?2}

【解析】
如图所示：

A?B?
?
xx?5
?
,A?B?
?
x?2?x?3
?
，
因为
A?B?xx?A?B且x?A?B
，
所以
A?B?x3?x?5或x??2
.
故答案为：
x3?x?5或x??2
.
15．设
A
是整数 集的一个非空子集，对于
k?A
，如果
k?1?A
，
k?1?A，那么
k
是
A
的一个“孤立元”，给定
A?
?
1,2,3,4,5
?
，则
A
的所有子集中，只有一个“孤立元”的集
合共有______个．

22
??
??
??

【答案】13
【解析】
由题意可知,含有一个“孤立元”的集合有以下几种情形：
①只有一个元素,即
?< br>1
?
,
?
2
?
,
?
3
?< br>,
?
4
?
,
?
5
?
,符合题意；② 有2个元素,则有两个“孤立
元”,不符合题意；③有3个元素时,有
?
1,2,4< br>?
,
?
1,2,5
?
,
?
1,3,4
?
,
?
1,4,5
?
,
?
2,3,5
?
,
?
2,4,5
?
,
④有4个元素时,有
?1,2,3,5
?
,
?
1,3,4,5
?
,综上,共1 3个.
故答案为：13
16.已知命题p：
?
?
x?2?0，命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条
?
x?10?0件，则m的取值范围为________．
【答案】[9，＋∞)



23