高一数学集合与命题经典例题

1．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为
A．a+b不是偶数，则a、b不都是偶数B．a+b不是偶数，则a、b都不是偶数
C．a、b不都是偶数，则a+b不是偶数D．a、b都不是偶数，则a+b不是偶数
2．把下列命题改写成“若p则q”的形式：
（1）对顶角相等； （2）不等式两边加上同一个数，不等号方向不变．
3．把下列命题改写成“若p则q”的形式：
（1）两个整数和为整数； （2）两个无理数相乘，它们的积也是无理数．
4．下列命题中，正确的是
①“若x
2
+y
2
=0，则x，y全是0”的否命题 ②“全等三角形是相似三角形”的否命题 ③“若m＞1，则mx
2
－2
（m+1）x+（m－3）＞0的解集为R”的逆命题 ④若“a+5是无理数，则a是无理数”的逆否命题
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
5．用反证法证明：“在同圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等．”
6．若x、y∈R
+
，且x+y＞2，求证：
1?x
1?y
＜2与 ＜2中，至少有一个成立．
y
x
参考答案
1．A
2．（1）若两角为对顶角，则它们相等；（2）若在不等式两边加上同一个数，则不等式方向不变．
3．（1）若两个数为整数，则它们的和也为整数．（2）若两个无理数相乘，则它们的积也是无理数．
4．B
5．证明：假设在同圆中，两条弦不等而它们的弦心距相等，

即AB≠CD，OE=OF则Rt△OAE、Rt△OCF中，OA=OC，OE=OF，
∴AE=CF，即AB=CD与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立．
6．证明：假设都不成立，即
1?x
1?y
≥2，≥2成立
yx
∵x，y∈R
+
，∴1+x≥2y，1+y≥2x，∴2+x+y≥2x+2y
∴x+y≤2与已知x+y＞2矛盾，∴假设不成立，∴原结论成立．
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为
A．两直线平行，内错角相等B．两直线不平行，则内错角不相等
C．内错角不相等，则两直线不平行D．内错角不相等，则两直线平行
2．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是
A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假
C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真
3．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题
A．一定是真命题B．一定是假命题C．不一定是真命题 D．真假无法确定

4．命题“正数a的平方不等于0”是命题“若a不是正数，则它的平方等于0”的
A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题
5．命题“若M∪N=N，则M
?
N”的否命题为
A．若M
?
N，则M∪N=N B．若M∪N≠N，则MN
C．若MN，则M∪N≠N D．若M∩N=M，则M∪N=N
D．否定命题
a
>1”的逆否命题为
b
aaa
A．若>1，则a>b B．若a≤b，则≤1 C．若a>b，则bbbb
6．命题“若a>b，则
二、填空题（每小题2分，共8分）
7．命题“垂直于同一直线的两条直线相互平行”的逆命题为______________．
8．命题“若a>1，则a>0”的否命题为_____________．
9．命题“全等三角形的面积相等”的逆否命题为________________．
10．给出下列命题：
①命题“若b－4ac<0，则方程ax+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题
②命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题
③命题“若 a>b>0，则
3
22
a
>
3
b
>0”的逆否命题 ；其中真命题的序号为__________．
三、解答题（共30分）
11．（10分）把下列命题改写成“若p则q”的形式：
（1）菱形的四边相等； （2）对顶角相等；（3）25是5的倍数； （4）
2
是无理数．
12．（10分）试判断命题“若m>0，则方程x+x－m=0有实根”的逆否命题的真假．
13．（10分）用反证法证明：若x－（m+n）x+mn≠0，则x≠m且x≠n．
参考答案
一、1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D
二、7．两条直线互相平行则它们垂直于同一条直线 8．若a≤1，则a≤0
9．面积不相等的两个三角形不是全等三角形 10．①②③
三、11．（1）若四边形为菱形，则其四边相等（2）若两个角是对顶角，则它们相等
（3）若某数为25，则它为5的倍数（4）若一个数为
2
，则它为无理数
12．真
13．证明：假设x=m或x=n
（1）当x=m时，则x－（m+n） x+mn=0（2）当x=n时，则x－（m+n）x+mn=0均与已知矛盾，∴x≠m且x≠n．

一、选择题
1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）
A.真命题的个数一定是奇数 B.真命题的个数一定是偶数
C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D.上述判断都不正确
二、填空题
2．命题“若x=3且y=5则x+y=8”的逆否命题是________，否命题是_______ _，逆命题是_________，其中假命题
的个数是____________。
3．命 题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是___________；逆命题是___ _______；
否命题是_____________。
22
2
2

三、解答题
4．用反证法证明：若
x
2
?y
2
?0
且x∈R，y∈R，则x、y全为0。
2
3
5．若a、b、c均为实数，且
a?x
2
?2y?
?< br>，
b?y
2
?2z?
?
，
c?z
2
?2x?
?
，
6
求证：a、b、c中至少有一个大于0。
6．利用反证法证明
已知a、b、c∈R，a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc >0，求证a>0，b>0，c>0。
7．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假。
（1）若q<1，则方程
x
2
?2x?q?0
有实根；
（2）若ab=0，则a=0或b=0。
8．证明：若△ABC不是正三角形，则内角A、B、C中必有一个大于60°。
参考答案
1．B ∵一个命题与它的逆否命题同真同假，一个命题的逆命题与它的否命题是同真同假，
∴真命题的个数一定是偶数。故选B。
2．若x+y≠8则x≠3或y≠5；若x≠3或y≠ 5，则x+y≠8；若x+y=8则x=3且y=5；2
3．原命题的逆否命题：不能被3整除的正整 数，其各位数字之和不是3的倍数；逆命题是：能被3整除的正整数，
它的各位数字之和是3的倍数；否 命题是：各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除。
4．证明：假设x、y不全为0，则x≠0或者y≠0。
由x≠0得到
x
所以x=0
由
2
?0
，而
x
2
?y
2
?x
2
?0
，
?x
2
?y
2
?0
，
?x
2
?y
2
? 0
，矛盾
y?0?y
2
?0
，而
x
2
? y
2
?y
2
?0
，
?x
2
?y
2
?0
，
?x
2
?y
2
?0
，矛盾
所以y=0
5．证明：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则有a+b+c≤0，而
a?b?c?(x
2
?2y?
?
2
)?(y
2
? 2z?
?
3
)?(z
2
?2x?
2
?
?( x?1)
2
?(y?1)
2
?(z?1)
2
?
?< br>?3
。
)
6
因为π-3>0且无论x，y，z为何实数，
( x?1)?(y?1)
2
?(z?1)
2
?0
。
所以a+b+c>0，这与a+b+c≤0矛盾，因此假设不成立，a，b，c中至少有一个不大于0。
6．证明：假设a、b、c不同时为正，不妨先考虑a不是正数，从而有a=0和a<0两种情况。 < br>若a=0，则abc=0，与已知abc>0矛盾，故a=0不可能。若a<0，因为abc>0，所以b c<0，又因为a+b+c>0，所以
b+c>-a>0。所以ab+bc+ac=a（b+c）+bc <0。这与已知ab+bc+ac>0矛盾，所以a<0也不可能。
综上所述a>0成立。同理可知b>0、c>0成立。原命题得证。
7．解：（1）逆命题： 若方程
x
否命题：若q≥1，则方程
x
逆否命题：若方程
x
2
2
2
?2x?q?0
有实根，则q<1，逆命题为假。
?2x?q?0
无实根，否命题为假。
?2x?q?0
无实根，则q≥1，逆否命题为真。

（2）逆命题：若a=0或b=0，则ab=0，逆命题为真。
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，否命题为真。
逆否命题：若a≠0，且b≠0，则ab≠0，逆否命题为真。
8．证明：假∠A≤60°， ∠B≤60°，∠C≤60°，则∠A+∠B+∠C=180°，因为∠A+∠B+∠C≤180°，所以∠A=∠B=∠C=60°，所以△ABC为正三角形，这与△ABC不是正三角形矛盾，故假设错误。所以命 题成立。
一、选择题
1．命题“若a∈A，则
b?B
”的否命题是( )
A．若
a?A
，则
b?B

C．若
a?A
，则b∈B
B．若
b?B
，则
a?A

D．若b∈B，则
a?A

D．不一定是假命题
2．若一个命题的否命题是真命题，则其逆命题( )
A．不一定是真命题B．一定是真命题C．一定是假命题
3．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是( )
A．若a＝0或
b?0?ab?
0
C．若ab＝0，则a≠0且b≠0
A．4 B．2 C．3
5．给出以下四个命题：
(1)若
x
2
B．若ab≠0，则a≠0且b≠0
D．若a≠0且b≠0，则ab≠0
D．0
4．命题“若a>b，则ac>bc” (a，b，c都是实数)与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )
?5x?6?0
，则x＝2或x＝3；(2)若2≤x<3，则(x－2)(x－3) ≤0；
D．(3)的否命题假
(3)若a＝b＝0，则|a|＋|b|＝0；(4)若x，y∈N， x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么( )
A．(4)的逆命题假B．(1)的逆命题真C．(2)的否命题真
二、填空题
1 ．命题“若ab>0，则a>0且b>0”的逆命题是_________，否命题是________，逆否命 题是________．
2．命题“若x、y是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是_________________．
3．命题“若a≠0，则ab≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为______ ___________．
三、解答题
1．指出命题：“内接于圆的四边形的对角互补”及 其否命题、逆命题、逆否命题中哪些是真命题，哪些是假命题．
2．a、b、c为实数，且a＝b＋c ＋1，证明：两个一元二次方程
x
方程有两个不相等的实数根．
四、问答题
1．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的_________________．
2．求证
2
?x?b?0
，
x
2
?ax?c?0< br>中至少有一个
A?(
C
A
A)??
．
参考答案
【同步达纲练习】
一、1．C 2．B 3．D 4．D提示：∵原命题不成立 (令c＝－2，a＝3，b＝2，则
3?2?
?
?6??4
) 5．B
二、1．若a>0且b>0，则ab>0;若ab≤0，则a≤0或b≤0;若a≤0或b≤0，则ab ≤0
2．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数
3．2
a?0?
?
ab?0
但
a?0?ab?0

三、1．否命题：“若一个四边形不内接于圆，则它的对角不互补”．
逆命题：“若一个四边形的对角互补，则它内接于圆”．

逆否命题：“若一个四边形的对角不互补则它不内接于圆”．
都是真命题
2．反证法：设两个方程都没有两个不等的实数根
则Δ
1
?1?4b?0Δ
2
?a
2
?4c?0
Δ
1
?Δ
2
?1?4b?a?4c?0
∵a＝b＋c＋1，∴b＋c＝a－1∴
1?4(a
即a
2
2

?1)?a
2
?0

?4a ?5?0
但
a
2
?4a?5?(a?2)
2
?1?0
，故矛盾！
四、1．逆否命题：
提示：设p：若A则B，则q：若B则A，r：若
2．反证法：
证明：假设
则，则r与q关系显然
A
?
(C
A
A )??
则存在x，使得
x
?
(A
?
C
A
A )

??

∴x∈A且
x?
C
A
A
这是矛盾关系！∴
A
?
(C
A
A)
一、选择题.
1.命题“当AB=AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的 个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.0
2.若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则r是p的( )
A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上判断都不正确
D.不一定是假命题
D.4个
3.如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是( )
A.真命题 B.假命题 C.不一定是真命题
A.0个 B.1个 C.2个
4.设原命题为“若A∩B=B，则A
?
B”，则原命题、逆命题、否命题和逆否命题中是真命 题的个数是( )
5.在下列三个命题中，正确的为( )
(1)命题“△A BC和△A
1
B
1
C
1
都是直角三角形”的否命题是“△A BC和△A
1
B
1
C
1
都不是直角三角形”；
(2)命题“若xy≠0，则x≠0且y≠0”的逆否命题是“若x＝0或y＝0，则xy=0”；
(3)命题“若x∈A或x∈B，则x∈A∪B”的逆命题是“若x∈A∪B，则x∈A且x∈B”.
A.(2) B.(2)、(3) C.(1)、(3) D.(1)、(2)、(3)
6.在以下四个命题中，不正确的为( )
A.命题“两个无理数的积仍是无理数”的逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
B.命题“两个无理数的积仍是无理数”的否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
C.命题“两个无理数的积仍是无理数”的逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；
D.命题“两个无理数的积仍是无理数”的命题的非是“两个无理数的积不一定是无理数”.
二、填空题
1.命题“若x+y=0，则x、y全为0”的否命题是 .
2.命题“若a、b是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是 .
3.命题“已知a，b，c，d∈R，若a=b，c=d，则a+c=b+d”的逆命题为 ；否命题为 .
4.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是 .
三、解答题
22

1.把下列命题写成“若p则q”的形式
①到圆心距离等于半径的点在圆上 ②三角形内角和等于180°
③两个有理数的商仍为有理数 ④实数的平方为正实数
2.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假.
①实数的平方为正实数 ②三角形的两边之和不小于第三边
③若a＞b，则b＜a ④若m，n∈Q，则m+n∈Q
3.用反证法证明：若a＞b＞0，则
3
a
＞
3
b
.
4.用反证法证明：如果一个三角形的两条边不等，那么这两条边所对的角也不相等.
5.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
四、1.a、b、c∈R，写 出命题“若ac＜0，则ax+bx+c=0有两个不相等实根”的逆命题、否命题、逆否命题的真假.
2.证明：在△ABC中，若AB=AC，M为△ABC内一点，∠AMB＞∠AMC，则∠BAM＜∠CAM .
2
参考答案：

一、1.C 2.C 3.A 4.A 5.A 6.C
二、1.“若x+y≠0，则x、y不全为0”. 2.若a+b不是偶数，则a、b不都是奇数. 3.逆命题为：已知a、
b、c、d∈R，若a+c=b+d，则a=b，c=d. 否命题为：已知a、b、c、d∈R，若a≠b或c≠d，则a+c≠b+d. 4.绝对
值等于它本身的数是正数.
三、1.解：①若点到圆心的距离等于半径，则该点在圆 上.②若一个图形是三角形，则它的内角和等于180°.
③若两个数是有理数，则它们的商仍为有理数.④若一个数是实数，则它的平方是一个正实数.
2.①原命题：若一个数是实数，则它的平方是一个正实数，为假，因为0的平方就不是正实数.
逆命题：若一个数的平方为正实数，则这个数是实数，为真.
否命题：若一个数不是实数，则它的平方也不是一个正实数，为真.
逆否命题：若一个数的平方不是正实数，则它不是实数.为假
②原命题：若一个图形是三角形，则它的两边之和不小于第三边.为真
逆命题：若两条线段的长的和不小于第三条线段的长，则以这三条线段构成一个三角形.为假
否命题：若三条线段不参构成三角形，则其中两条线段长的和小于第三条线段的长.为假
逆否命题：若两条线段的长的和小于第三条线段的长，则这三条线段构不成一个三角形.为真
③原命题：若a＞b，则b＜a，为真 逆命题：若b＜a，则a＞b，为真
否命题：若a≤b，则b≥a，为真 逆否命题：若b≥a，则a≤b，为真
④原命题：若m，n∈Q，则m+n∈Q，为真
22
?
Q，5-
2
?
Q
否命题：若m
?
Q或n
?
Q，则m+n
?
Q为假 逆否命题：若m+n
?
Q，则m
?
Q或n
?
Q为真
逆命题：若m+n∈Q，则m，n∈Q为假，如(3+
2
)+(5-
2
)∈ Q，但3+
2
3.略 4.略 5.略.
四、1.解：原命题是真命题 ，这是因为方程的判别式△=b-4ac，b≥0，-4ac＞0，所以△＞0.
逆命题：“若ax+ bx+c=0(a、b、c∈R)有两个不相等的实根，则ac＜0”，它是假命题.如当a=1，b=-3，c =2时，方
程x-3x+2=0有两个不相等的实根x
1
=1，x
2
=2，但ac=2＞0.
否命题：“若ac≥0，则方程ax+bx+c=0(a、b、c∈R)没有 两个不相等的实数”，它也是假命题.这是因为它和逆命
题互为逆否命题，而逆命题是假命题的缘故.
逆否命题：“若ax+bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”，它是 真命题.
2.提示：假设∠BAM≥∠CAM，然后分二种情况(即∠BAM＞CAM和∠BAM=∠ CAM)推出矛盾结果.
三、参考练习题
1．在下列命题中，真命题是（ ）
2
2
2
2
22

①“在同一个三角形中，大边对大角” 的否命题．②“若m≤1，则x
2
－2x＋m＝0有实根”的逆命题．
③“菱形的对 角线互相垂直平分”的否命题．④“若A∩B＝B，则A
?
B”的等价命题．
A．①②④
答案：D
2．命题“若a＞b，则am＞bm”与它的逆命 题、否命题，逆否命题中真命题共有____个．答案：0
3．写出命题“对角线不互相垂直的平行四 边形不是菱形．”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假．
答案：逆命题为：“不是菱形的平行四边形，对角线不互相垂直”，为真命题．
否命题为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，为真命题．
逆否命题为“平行四边形是菱形，其对角线互相垂直”，为真命题．
4．判断下列命题的否命题的真假．
（1）正方形四条边相等．（2）已知a＜0，如果x＝ －a，那么x＜0（3）一个锐角的补角是钝角．
答案：（1）否命题为假命题． （2）否命题为假命题． （3）否命题为真命题．
1．命题“若a
?
A，则b∈B．”的否命题是
A．若a
?
A，则b
?
B B．若a∈A，则b
?
B C．若b∈B，则a
?
A D．若b
?
B，则a
?
A
2．命题“正数不是质数”与它的逆命题 、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题有___________个
A．4 B．3 C．2 D．0
3．有下列四个命题，其中为真命题的是
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③ “若m≤1，则x－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A
?
B”的逆否 命题．
2
B．③④ C．①② D．①②③
A．①② B．②③ C．①②③ D．③④
4．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是
A．若A∪B＝B，则A∩B＝A B．若A∩B≠A，则A∪B≠B
C．若A∪B≠B，则A∩B≠A D．若A∪B≠B，则A∩B＝A
5．命题“x或y是零，则xy是零”的逆否命题是_________．
6．已知m，n是 正整数，a是大于1的实数，“若m＞n，则a＞a”的逆否命题是_________．
7．命题“ 若a＞b，则ac＞bc”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，有_________个真命题．
8 ．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”写出该命题的逆命题、否命题、 逆否命题，
并判断其真假．
9．判断命题“若x≤－3，则x－x－6＞0”的否命题的真假．
参考答案
一、1．B 提示：注意“∈”的否定是“
?
”．
2．A 提示：因为 “正偶数不是质数”是假命题，所以其逆否命题也为假，又因其否命题“正偶数是质数”是假命
题，所以 其否命题也为假．
3．C 提示：④若A∩B＝B，应用B
?
A．
4．C 提示：注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．
二、5．“x或y是零，则xy是零”的逆否命题是“若xy不是零，则x，y都不是零”．
6．填：已知m，n是正整数，a是大于1的实数，“若a≤a，则m≤n”．
7．0 提 示：因为a＞b，c＝0时，ac＝bc，所以原命题为假，又因若“ac＞bc则a＞b”是假命题，所以4个 命题
均为假命题．
三、8．解：逆命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d， 则a＝b，c＝d．”是假命题．
否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d”．(假命题)
逆否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等”是真命题．
mn
2
mn

9．解：该命题的否命题为：“若x＞－3，则x －x－6≤0”．
p:A＝｛x｜x＞－3｝．q:B＝｛x｜x－x－6≤0｝＝｛x｜－2≤x≤3｝
∵B
?
A，∴若p则q为假．∴该命题的否命题为假命题．
1．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )
A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．无关命题
解析： 依逆命题定义易得．
答案： A
2．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( )
A．上述四个命题 B．原命题与逆命题
C．原命题与逆否命题 D．逆命题与否命题
解析： 因真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题．
答案： C < br>3．用反证法证明命题“
A．假设
C．假设
2
2
2
2
2
＋
3
是无理数”时，假设正确的是( )
＋
3
是有理数
是有理数 B．假设
3
是有理数
或
3
是有理数 D．假设
2
答案： D
4．命题“若
A
∪
B
＝< br>A
，则
A
∩
B
＝
B
”的否命题是( )
A．若
A
∪
B
≠
A
，则
A
∩
B
≠
B
B．若
A
∩
B
＝
B
，则
A
∪
B
＝
A

C．若
A∩
B
≠
B
，则
A
∪
B
≠
A
D．若
A
∪
B
≠
A
，则
A
∩B
＝
B

答案： A
5．命题“若
a
＞1， 则
a
＞0”的逆命题是______，逆否命题是______．
答案： 若
a
＞0，则
a
＞1 若
a
≤0，则
a
≤1
6．给定下列命题：
①“若
k
＞0，则方程
x
＋2
x
－
k
＝0”有实数根； ②“若
a
＞
b
，则
a
＋
c
＞
b< br>＋
c
”的否命题；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若
xy< br>＝0，则
x
、
y
中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是______．
解析： ①Δ＝4－4(－
k
)＝4＋4
k
＞0∴是真命题
②否命题为“若
a
≤
b
，则
a
＋
b
≤
b
＋
b
”是真命题
③逆命题“对角线相等的四边形是矩形”是假命题
④否命 题：“若
xy
≠0，则
x
、
y
都不为零”是真命题
答案： ①②④
1．若命题
p
的否命题为
r
，命题
r
的逆命题为
s
，则
s
是
p
的逆命题
t
的( )
A．逆否命题 B．逆命题 C．否命题 D．原命题
解析： 设
p
为“若
A
则
B
”，则< br>r
、
s
、
t
分别为“若﹁
A
则﹁
B
”“若﹁
B
则﹁
A
”“若
B
则
A
”，故
s
是
t
的否命题．
答案： C
2．当命题“若
p
则
q
”为真时，下列命题中一定正确的是( )
A．若
q
则
p
B．若﹁
q
﹁
p
C．若﹁
q
则﹁
p
D．
p
且
q
解析： 因原命题与逆否命题等价，故选C．
答案： C
3．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )
A．真命题的个数一定是奇数 B．真命题的个数一定是偶数
C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D．上述判断都不正确
2

解析： 因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的．
答案： B
4．有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若
xy
＝1，则
x
，
y
互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等” 的否命题；
③“若
b
≤－1，则方程
x
－2
bx
＋
b
＋
b
＝0有实根”的逆否命题；④“若
A
∪
B
＝
B
，则
A
?
B
”的逆否命题．
22
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
答案： C
5．命题“若
A
∪
B
＝
B
，则
A
?
B
”的否命题是______，逆否命题是______．
答案： 若
A
∪
B
≠
B
，则
AB
若
AB
，则
A
∪
B
≠
B

6．用 反证法证明命题“若整数
n
的立方是偶数，则
n
也是偶数”如下：
假设
n
是奇数，则
n
＝2
k
＋1(
k
是整 数)，
n
＝(2
k
＋1)＝______，与已知
n
是偶数 矛盾，所以
n
是偶数．
解析： (2
k
＋1)＝8
k＋12
k
＋6
k
＋1＝2(4
k
＋6
k
＋3
k
)＋1
答案： 2(4
k
＋6
k
＋3
k
)＋1
7．把下列命题写 成“若
p
则
q
”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)当
x
＝2时，
x
－3
x
＋2＝0；(2)对顶角相 等．
解：(1)原命题：若
x
＝2，则
x
－3
x
＋2＝0
逆命题：若
x
－3
x
＋2＝0，则
x
＝2
否命题：若
x
≠2，则
x
－3
x
＋2≠0
逆否命题：若
x
－3
x
＋2≠0，则
x
≠2
(2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．
8．命题：“已知
a
，< br>b
，
c
，
d
是实数，若
a
＝
b，
c
＝
d
，则
a
＋
c
＝
b< br>＋
d
”．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，
并判断这些命题的真假．
解：逆命题：“已知
a
，
b
，
c
，
d是实数，若
a
＋
c
＝
b
＋
d
，则a
＝
b
，
c
＝
d
(即
a
与< br>b
、
c
与
d
都相等)．”
否命题：“已知
a
、
b
、
c
、
d
是实数，若
a
与
b
、
b
与
d
不都相等，则
a
＋
b
≠
b
＋
d
”．
逆否命题：“已知
a
，< br>b
，
c
，
d
是实数，若
a
＋
c≠
b
＋
d
，则
a
与
b
、
c< br>与
d
不都相等．”
原命题是真命题．
若令
a
＝3 ，
b
＝2，
c
＝1，
d
＝2，则
a
＋c
＝1＋3＝4，
b
＋
d
＝2＋2＝4，即
a
＋
c
＝
b
＋
d
．但
a
≠
b
，
c
≠
d
，所以逆命
题为假命题．
根据原命题与逆否命题、逆命题与否命题等价的性质．所以逆否命题为真命题，否命题为假命题． 9．已知
a
、
b
、
c
是一组勾股数(即
a＋
b
＝
c
)，求证：
a
、
b
、
c
不可能都是奇数．
证明：假设
a
、
b
、
c< br>都是奇数∵
a
、
b
、
c
是一组勾股数，∴
a
＋
b
＝
c
①
∵
a
、
b
、
c
都是奇数，∴
a
、
b
、
c
也都是奇数 ∴
a
＋
b
是偶数
这样①式的左边是偶数，右边却是奇数，得出自相矛盾的结论．
∴
a
、
b
、
b
不可能都是奇数．
10． 已知
m
、
n
为实数，命题“若
mn
＝0，则
m＝0或
n
＝0”的否命题、逆否命题各是什么?命题“若
m
＋
n
＝0，则
22
22222
222
222
2
2
2
2
2
32
33232
333
m
＝0且
n
＝0”的否命题、逆否命题各是什么?并判断以上各命题的真假．
解：“若
mn< br>＝0，则
m
＝0或
n
＝0”的否命题是“若
mn
≠0 ，则
m
≠0且
n
≠0”．逆否命题是“若
m
≠0且
n
≠0，则
mn
≠0”．
命题“若
m
＋
n
＝0，则
m
＝0且
n
＝0”的否命题是“若
m
＋
n
≠0，则
m
≠0或
n
≠0”；逆否命题是“若
m
≠0或
n
2222

≠0，则
m
＋
n
≠0”．
以上各命题都是真命题．
1．若p，q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有
A．p真q真 B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真
2．关于实数a，b，c以下叙述错误的是
A．命题“a，b都是零”的否定形式是“a，b都不是零”
B．命题“a，b至少有一个是零”的否定形式是“a，b都不是零”
C．命题“a，b，c至多两个是零”的否定形式是“a，b，c都是零”
D．命题“a，b，c至少两个是零”的否定形式是“a，b，c至多一个是零”
3．否定结论“至多有两个解”的记法中，正确的是
A．有一解
设正确的是
A．设点A′在△ABC的外部 B．设点A′在△ABC的边上
C．设点A′在△ABC的内部 D．设点A′在△ABC的边上或在△ABC的内部
5．若0＜x＜5，则｜x－2｜＜5的逆否命题是_________．
6．x≠±1的否 定形式为_________，(x－1)(x－2)＝0的否定形式为___________．
7 ．用反证法证明命题“若a∈R，3＋a是无理数，则a是无理数”如下：假设a是有理数，根据有理数运算法则 ，
3＋a是有理数，这与_________矛盾，所以假设不成立，原命题正确．
8．已知a，b是实数，命题“若a＋b＝0，则a＝0且b＝0”的否命题，逆否命题各是什么？
参考答案
一、1．A 提示：“或”的否定是“且”．
2．A 提示：“都是”的否定是“不都是”而不是“都不是”．
3．C 提示：“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”．
4．D 提示：“外部”的反面是“内部或边上”．
二、5．填“若｜x－2｜≥5，则x≥5或x≤0”．
6．x≠±1的否定形式为x＝1或x＝－1
(x－1)(x－2)＝0的否定：x－1≠0且x－2≠0．
7．与“3＋a是无理数”矛盾．
三、8．解：命题a＋b＝0，则a＝0且b＝0的否命题是：若a＋b≠0，则a≠0或b≠0．
逆否命题是：若a≠0或b≠0，则a＋b≠0



22
2222
22
22
B．有两解 C．至少有三解 D．至少有两解
4．用反证法证明命题“已知△A′BC与△ABC有公共边BC，且∠BA′C＜∠ BAC，求证A′在△ABC的外部”时，反