全国高中数学联赛及答案

全国高中数学联赛试题
第一试
10月12日
一、选择题 < br>本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确
的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代
表字母超 过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第2003
项是 【答】（ ）
（A）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
2. 设
a,b?R,ab? 0,
那么直线
ax?y?b?0
和曲线
bx
2
?ay
2
?ab
的图形是【答】（ ）


y
y
y y

x
x x


x

(A) (B) (C) (D)
3. 过抛物线
y
2
? 8
?
x?2
?
的焦点F作倾斜角为
60
?
的直线. 若此直线与抛物线交于A，B两点，
弦AB的中垂线与
x
轴交于P点，则线段PF的长 等于 【答】（ ）
（A）
16
3
(B)
8
3
(C)
16
3
3
(D)
83

4. 若
x?
?
5
?
2
?
?
?< br>?,?
?
??
123
?
?
,
则
y? tan
?
?
?
x?
3
?
?
?tan
?
?
?
??
?
?
?
x?
6
?< br>?
?cos
?
?
x?
6
?
?
的最大 值是
（A）
12
5
2
(B)
11
6
2
(C)
1212
7
(D)
5
【答】（ ）
5. 已知
x,y
在区间
?
?2,2
?
内，且xy??1,
则函数
u?
4
4?x
2
?
99?y
2
的最小值是
（A）
82412
5
(B)
11
(C)
7
(D)
12
5
【答】（ ）
6. 在四面体ABCD中设
A B?1,CD?3
，直线AB与CD的距离为2，夹角为
?
3
，则四面体ABCD的体积等于 【答】（ ）
（A）
3
2
(B)
1
2
(C)
1
3
(D)
3
3

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．不等式
x
3
?2x
2
?4x?3?0
的解集是____ __________
8．设
F
x
2
y
2
1,F
2
是椭圆
9
?
4
?1
的两个焦点，P是椭 圆上的点，且
PF
1
:PF
2
?2:1
，则
?PF
1
F
2
的面积等于_____________.
9. 已知
A?
?
xx
2
?4x?3?0,x?R
?
,

B?
?
x2
1?x
?a?0,x
2
?2
?
a?7
?
x?5?0,x?R
?
.
若
A?B< br>，则实数
a
的取值范围是
_____________.
10. 已 知
a,b,c,d
均为正整数，且
log
3
a
b?
2
,logd?
5
c
4
,
若
a?c?9
， 则
b?d?
____________.
11. 将八个半径都为１的球分两层放置 在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，
且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高 等于________.
12．设
M
?
_____________
n
?
?
?
?
十进制
?
n位纯小数0.a
1
a
2
???a
n
a
i
只取0或（1i?1,2, ???,n?1),a
?
n
?1
?
?
,

T
n
是
M
n
中元素的个数，
S
n
是
M
n
中所有元素的和，则
lim
S
n
n??
T< br>?
________.
n
三、解答题 （本题满分60分，每小题20分）
13． 设
3
2
?x?5,
证明不等式
2x?1?2x?3?15?3x?219.

14．设A,B,C分别是复数
Z
0
?ai,Z
1
?
1
2
?bi,Z
2
?1? ci
（其中
a,b,c
都是实数）对应的不共线
的三点. 证明：曲线 Z?Z
4224
0
cost?2Z
1
costsint?Z2
sint(t?R)
与
?ABC
中平行于AC
的中位线只有一 个公共点，并求出此点.





15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点
A
'
刚
好与A点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当
A
'
取遍圆周上所有的点时，求所
有折痕所在直线上点的集合.



全国高中数学联赛加试试题
第二试
一、（本题满分50分）
过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D两点，C在P, D
之间. 在弦CD上取一点Q, 使
?DAQ??PBC.
求证：
?DBQ??PAC.




二、（本题满分50分）
设三角形的三边长分别是整数
l,m ,n,
且
l?m?n.
已知
?
?
3
l
??
3
m
??
3
n
?
10
4
?
?
?
?
?
10
4
?
?
?
??
10
4
?
?
,
其中
?
?
x
?
?x?
?
x
?
,
而
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.






三、（本题满分50分）
由n个点和这些点之间 的
l
条连线段组成一个空间四边形，其中
n?q
2
?q?1,
l?
1
2
q
?
q?1
?
2
?1,q?2 ,q?N.
已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线
段，存在一点至少有
q?2
条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D和
四条连线段AB, BC,CD,DA组成的图形）

全国高中数学联赛第一试参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6
C B A C D B
提示：
1. 注意到
45
2
?2025
,
46
2
?2116
,故
a
2003
?2003?45?2048
;
2. 题设方程可化为
y?ax?b
和
x
2
a
?< br>y
2
b
?1
,观察图形可知；
3. 易知直线AB的方程为
y?3x
,因此A,B两点的横坐标满足方程
3x
2
?8x?16? 0
,从而弦
AB中点的横坐标为
x
4
4
0
?
3
,纵坐标
y
0
?
3
,进而求得中垂线方程之后，令y= 0，得点P的
横坐标即PF=
16
3
；
4. 原函数可化为
y?
2
?cos
?
?
x?
?
?
?
sin
?
?
?
2x?
4
?
?
?
6
?
,可以证明函数在已知的区间上为增函数，
3
?
?
故当
x??
?
11
3
时，y取最大值
6
3
;
5. 消去y之后可得：
u?1?
35
,用基本不等式可求得函数u的最小值
12
37?
?
?
9x
2
4
?
5< br>;
?
?
x
2
?
?
6. 可用等积法求得，过程略。

二、填空题
7.
?
?
5 ?1
?
?
?3,?
?
?
?
?
5?1
,3
?
?
. 提示： 原不等式可以化为:
?
2
?
?
?
?
2
?
?
?
|x|?3
?
?
x
2
?|x|?1
?
?0


8. 4
?PF
1
1
F
2
是直角三角形，故
?PF
1
F
2
的面积为
S?
2
|PF
1
1
|?|PF
2
|?
2
?2?4?4
;

9.
?4?a??1

提示：
A?
?
1,3
?
,令
f
?
x
?
?2
1?x
?a
,
g
?
x
?
?x
2
?2
?
a?7< br>?
x?5
,则只需
f
?
x
?
,g
?
x
?
在（1，
?
?
f
?
1
??0
3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是
?
?
f
?3
?
?0
,由此推出
?4?a??1
?
g
?< br>1
?
?0
;
?
?
g
?
3
?
?0
35
24
10．93 提示： 由已知得
a
2< br>?b,c
4
?d
,
a?
?
?
b
??
d
?
?
a
?
?
,c?
?
?
c
?
?
,又
a?c?9
，故
?
bd
2
?
?
b
?
24
?
bd
2
??bd
2
?
?
?
a
?
c
2
?9
a?25,c?16
?
a
?
?
?
?
?d
?
?
c
?
?
?
?
?
?a
?
c
2
?
?
?
?
?
?a
?
c
2
?
?
?
?9
,推得
?
,;
?
b
2
?
a
?
d
b?1 25,d?32
?
c
2
?1
11．
4
8+2

提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分
别是 上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上
下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M 为弧AB的中点。由
于A1A=A1B=AB=2,
OM?OA?2
,
MN?2?1
,求得
A
2
1
M?
?
A
1
N
?
?
?
MN
?
2
?
4
8
,故所求的高为
4
8+2
；
12．
1
18
提示：
T
n?1
S1
n?1
?
111
?
1
n
?2
,n
?
2
?2
?
?
10
?
10
2
???
10
n?1
?
?
?2
n?1
?< br>10
n


三、解答题
13．证明：由
(a?b? c?d)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?d2
?2
?
ab?bc?cd?da?ac?bd
?
可得

a?b?c?d?2a
2
?b
2
?c
2
? d
2
,
当且仅当a=b=c=d时取等号 ……5分
则
2x? 1?2x?3?15?3x?2
?
x?1
?
?
?
x?1?
?
?
2x?3
?
?
?
15?3x
?


?2x?14?219
……………………………………………………15分
因为
x?1,2x?3,15?3x
不能同时相等，所以
2x?1?2x?3?15?3x?219
……………………………………20分 < br>14．设
z?x?yi
?
x,y?R
?
,则代入并由复数相等 可得
?
?
?
x?sin
2
t
?
2
2
y?
?
a?c?2b
?
x
2
?2
?< br>b?a
?
x?a
因为
?
y?a
?
1?x?
?2b
?
1?x
?
x?cx
?
0?x?1< br>?
即
A,B,C不共线 ，所以
a?c?2b?0
,可见所给曲线是抛物线段（图略）…………5分
AB,B C的中点分别是
D
?
?
?
1a?b
?
?
3 b
?
4
,
2
?
?
?
,E
?
?
4
,
?c
?
2
?
?
,；
所以DE的方程为
y?
?
c?a
?
x?
14
?
3a?2b?c
?
……………………………10分
2
联立两式得
?
a?c?2b
?
?
?
?
x ?
1
?
2
?
?
?0
,得
x?
1
2
,注意到
113
4
?
2
?
4
, 所以抛物线与
?ABC
中平
行于AC的中位线DE有且只有一个公共点，此点的坐标为
?
?
1
,
a?c?2b
?
?
24
?
?
,相应的复数为
z?
1a?
2
?
c?2b4
i
…………………………………………………………15分
15．如图建 立直角坐标系，设
A
1
?
Rcos
?
,Rsin
?
?
,MN为AA1
的中垂线，设P（x,y）是MN上任一点，则|PA|=|PA1 | ……5分
代入推得
2R
?
xcos
?
?ysin?
?
?R
2
?a
2
?2ax
………10分
可得
sin
?
?
?
?
?
?
R
2
?a
2
?2ax
2Rx
2
?y
2
,
其中
sin
?
?
x
x
2
? y
2
,
2
cos
?
?
y
. 所以< br>R
2
?a?2ax
x
2
?y
2
2Rx
2
?y
2
?1
…………15分
平方后可化为
?2
?
?
x?
a
?
2
?
?
y< br>2
?
2
?
22
?1

?
R
?
?
2
?
?
?
?
R
??
a
?
?
2
?
?
?
?
?
2
?
?
?
2
?
x?
a
?
?
所求点的集合为椭 圆
?
2
?
y
2
?
?
R
?
2
?
?
R
?
2
?
2
?1
外（含边 界）部分。…………20分
?
2
?
?
?
?
2
?
?
?
?
a
?
?
2
?
?