全国高中数学联赛

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全国高中数学联赛
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
23
1． 正数列满足
a
1
?1,a
2
?10,a
n
a
n?2
?10a
n?t
?
n?3
?
，则
lg(a
100
)?

A、98 B、99 C、100 D、101
2．已知
lgx
的小数部分为a，则
lg
1
的小数部分为
x
2
A、
?2a
的小数部分 B、
1?2a
的小数部分 C、
2?2a
的小数部分 D、以上都不正确
3．过原点O引抛物线
y?x
2
?ax?4a
2
的切线，当a变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上
A、
y?
1
2
335
x,y?x
2
B、
y?x
2
,y?x
2
C、
y?x
2
,y?3x
2
D、
y?3x
2
,y?5x
2

2222
4．已知△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°，D、E为AB边上的两个点，且点D在AE之间，
∠DCE = 45°，则以AD、DE、ED为边长构成的三角形的最大角是
A、锐角 B、钝角 C、直角 D、不能确定
5．将正整数从1开始不间断的写成一行，第2006个数码是 （旁注：这是希望杯的培训题）
A、0 B、5 C、7 D、以上都不正确
6．已知圆锥的顶点V和底面圆心O的连线垂直于底面（旁注，这句话实际上是废话 ），一个过
VO中点M的平面与圆O相切，与圆锥的交线是一个椭圆，若圆O半径为1，则椭圆的短轴的
长为
4223
6
B、 C、 D、以上结果都不对
2
53
二、（每小题9分，共54分）
A、
7．设等差数列的首项和公差均为正整数，项数为不小于3的素数，且各项之和为2006，则这样
的数 列共有_____个．
5
?
?
?
x?11
?
?1 5
?
x?11
?
?5
8．已知实数x、y满足
?
， 则
x?y?
_____． （旁注：联赛原题）
5
?
?
?
y?4
?
?15
?
y?4
?
??5
9． 正八边形所有对角线在其内部交点的个数为_____．
10．若x、y为实数，且
x
2
?xy?y
2
?3
，则
x
2
?xy?y
2
的最大值和最小值分别为_____．
11．一个正方体的8个顶点可以组成_____个非等边三角形．
12．若关于x的方程< br>1?x
2
?kx?2
恰有一个实根，则k的取值范围是_____．
三、论述题（本题满分60分，每小题20分）
13．设有2006个互不相同的复数，其中 任何两个数的积（包括自乘）是这2006个数之一，求这
2006个数的和．
14．求2
?
k
k?1
n
3
C?3n
?
kC? n
k
n
2k
n
k?1
n
2
?
kC
k?1
n
k
n
的值．
15．已知数列
?
a
n
??
n?
0
?
满足
a
0
?0
，对于所有
n?N
?
，有
a
n?1
?230an
?
a
n
?1
?
?11a
n
?5，求
a
n
的通项公式．
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全国高中数学联赛
一、填空题（每题10分，80分）
1、由曲线
|x|?|y|?|2x?3|
所围成的几何图形的面积为 。
20112009
?
?
(x?1)?(x?1)?2010x?4020
2、设实数x，y满足
?
，则x＋y＝ 。
20112 009
(y?1)?(y?1)?2010y?0
?
?
3、已知
a, b,c?R
,且
1111
???
，则存在整数
k
，使下列等 式成立的有 个。
abca?b?c
①
(?
1
a11
2k?1
111
?)?
2k?1
?
2k?1
?
2k?1

bcabc
?
2k?1
11
c2k?1
②
a
?
2k?1
1
b
?
1< br>a
2k?1
?b
2k?1
?c
2k?1

③
(?
1
a
11
2k
111
?)?
2k?
2k
?
2k

bcabc
④
1111
???

a
2k
b
2k
c
2k
a
2k
?b
2k
?c
2k
12
(x?0)
上任意一点，过
x
4、已知平面上两定点A（－ 3，0），B（0，－4），P为曲线
y?
点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂足分别为C,D ，则四边形ABCD面积S的最小值为 。
5、已知
a
1
,a2
,a
3
,,a
n
均为正实数，且满足
a
1
?a
2
?a
3
?
6、已知
k
1
, k
2
,k
3
,
?a
n
?1,
111
???
a
1
a
2
a
3
?
1
?4
，则
a
1
a
2
a
3
a
n
a
n
＝ 。
333
,k
n
是互不 相同的n个正整数，且满足
k
1
?k
2
?k
3
?? k
n
3
?2024
，
则正整数n的最大值为 。
x
2
7、已知函数
f(x)?
，若
1?x
2< br>m＝
f(1)?f(2)??f(101)
，n＝
11
f()?f() ?
23
11
?f()?f()
，则m＋n＝ 。 100101
°
8、已知半径为r的球和半径为R的两个相切的球都相切，且它们都与大小 为60
的二面角
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的两个半平面相切，则
R
＝ 。
r
二、解答题（本大题共4小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
9、（本题15分）已知三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，AB=BC=CA=
S
42
，SC＝2，D,E分别为AB，BC的中点，若点P在SE上移动，
g?y? = 0.25?y
2
10
求△PCD面积的最小值。
10、（本题20分）已知定点M（－3，0），P，Q分别是x轴及y轴上
8
C E
D
B
B
的动点，且使MP⊥PQ，点N在直线PQ上，
PN??
3
NQ

2
6
A
4
（1）求动点N的轨迹C的方程
（2）过点T (－1，0)作直线
l
交轨迹C于A,B两点，问在x
轴上是否存在一点D使△ABD 为等边三角形，若存在，求
出点D的坐标，若不存在，请说明理由。
M
-5
P
2
A
T
OQ
5
D
10
11、（本题20 分）已知数列
{a
n
}
满足
-2
N
a
1< br>?
4a
n
12
,a
n?1
?,n?1,2,
112a
n
?1
.

-4
-6
（1）求
{ a
n
}
的通项公式，并证明对任意的x＞0，
a
n
?
333
?(?x),n?1,2,
2n
2?x(2?x)4
.
< br>（2）求证
a
1
?a
2
?a
3
?
3 n
2
?a
n
?

2n?1
,A
n
，在每个点12、（本题15分）平面上有n
(n?3)
个不共线的点
A
1< br>,A
2
,
A
i
(i?1,2,3,n)
旁标注数字< br>a
i
，如果一条直线通过这些点中的两个或者更多个时，则这
些点旁所标注的数 字之和为零，证明：所有标注的数字都为零。
全国高中数学联赛
一．填空题（共2题，每题10分，合计80分）
1．设多项式
f(x)
满 足：对于任意
x?R
，都有
f(x?1)?f(x?1)?2x
2
? 4x,
则
f(x)
的最小值是＿＿＿＿＿＿.
2．数列
{a
n
},{b
n
}
满足：
a
k
b
k
?1,k?1,2,
列
{b
n
}
的前
n
项和B
n
?
＿＿＿＿＿＿.
,
已知数列
{a
n< br>}
的前
n
项和为
A
n
?
n
，则数< br>n?1
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1?x
2
3．函数
f(x)?
的值域是
＿＿＿＿＿＿.
x?2
4．过抛物线
y
2
?8x
的焦点
F
,作一条斜率为
2
的直线
l
，若
l
交抛物线于
A, B
两
点，则
?OAB
的面积是＿＿＿＿＿＿.
5.若
?A BC
为锐角三角形，满足
sinA
?cos(A?B)
，则
tanA
的最大值为＿＿＿＿
sinB
＿＿.
6.若正三棱锥的内切球半径为
1
，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.
7 .将
1,2,,9
随机填入右图正方形
ABCD
的九个格子中，则其









每行三数，每 列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概
率
p?
＿＿＿＿＿＿.
8. 将集合
M?{1,2,12}
的元素分成不相交的三个子集：
M?A?B?C
，其中
A?{a
1
,a
2
,a
3
,a
4< br>}B?{b
1
,b
2
,b
3
,b
4
}C?{c
1
,c
2
,c
3
,c
4
}，
c
1
＜
c
2
＜
c
3
＜c
4
，且
a
k
?b
k
?c
k
，
k?1,2,3,4,
则集合
C
为：＿＿＿＿＿＿.
二．解答题（共2题，合计70分）
9.（20分）如图，
AB
是圆的一条 弦，它将圆分成两部分，
M、N
分别是两段弧
AA
1
的中点，以点< br>B
为旋转中心，将弓形
AMB
顺时针旋转一个角度成弓形
A
1
MB
，
的中点为
P
，
MN
的中点为
Q.求证：
MN?2PQ
.
x
2
y
2
10.（ 25分）给定椭圆
C:
2
?
2
?1,(a
＞
b＞
0)
以及圆
O:x
2
?y
2
?b
2
，自椭圆
ab
上异于其顶点的任意一点
P
，做
O
的 两条切线，切点为
M,N
，若直线
MN
在
a
2
b< br>2
a
2
x,y
轴上的截距分别为
m,n
；证明：2
?
2
?
2
.
nmb
11.（25分）对于
2n
个素数组成的集合
M?{p
1
,p
2
,
成
n
个乘积，得到一个
n
元集，如果
A?{a
1
a
2
,a
3
a
4
,
,,

,p< br>2n
}
，将其元素两两搭配
,a
2n?1
a
2n,}
与
B?{b
1
b
2
,b
3
b4
b
2n?1
b
2n
}
是由此得到的两个
n< br>元集，其中
{a
1
,a
2
,,a
2n
}=
{b
1
,b
2
,,b
2n
}
?M< br>，且
A?B
??
，就称集合对
{A,B}
是由
M炮制成的一副“对联”.(例如当
n?2
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文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 时，由四元集
{a,b,c,d}
可炮制成三副“对联”：
{ab,cd}{ac ,bd}
，
{ab,cd}
{ad,bc}

{ac,bd}{ad,bc}
).
(1).当
n?3
时，求6
元素集
M
?{a,b,c,d,e,f}
所能炮制成的“对联”数；
（2）对于一般的
n?2
，求由
2n
元素集
M
所能 炮制成的“对联”数
T(n)
.
指导学生补充证明
对金伟华指导学生王慈深参加全国数学联赛的补充说明：
指导方式：一对一进行辅导
指导方法：以做题讲题为主，指导解题方法
指导学时：40学时（一学时45分钟）
伊春市第二中学
2017年1月5日
指导学生补充证明
对金伟华指导学生丛云鹏参加全国数学联赛的补充说明：
指导方式：集中对多个参加联赛学生进行辅导
指导方法：以做题讲题为主，指导解题方法
指导学时：30学时（一学时45分钟）
伊春市第二中学
2017年1月5日
指导学生补充证明
对金伟华指导学生初爽参加全国数学联赛的补充说明：
指导方式：集中对多个参加联赛学生进行辅导
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指导方法：以做题讲题为主，指导解题方法
指导学时：30学时（一学时45分钟）
伊春市第二中学
2017年1月5日
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