2004年全国高中数学联赛试题及答案

2004年全国高中数学联合竞赛试题
第 一 试

时间：10月16日

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、 设锐角
?
使关于x的方程
x?4xcos
?
?cot
??0
有重根，则
?
的弧度数为（ ）
A.
2
?

6
B.
2
?
12
2
or
5
?

12
C.
?
6
or
5
?

12
D.
?

12
2、已知
M?{(x,y) |x?2y?3},N?{(x,y)|y?mx?b}
。若对所有
m?R,均有M
A .
?
?
N??
，则b的取值范围是（ ）
B.
?
?
?
?
66
?
,
?

22
?
?
?
?
66
?
,

?
?
22
?
C.
(?
2323
,]

33
D.
?
?
?
2323
?
,
?

3??
3
3、不等式
log
2
x?1?
A.
[2,3)

1
log
1
x
3
?2?0
的解集为（ ）
2
2
C.
[2,4)
D.
(2,4]
B.
(2,3]

4、设O点在
?ABC
内部，且有
OA ?2OB?3OC?0
，则
?ABC
的面积与
?AOC
的面积
的比为（ ）
A. 2 B.
3

2
C. 3 D.
5

3
5、设三位数
n?abc
，若以a ，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，
则这样的三位数n有（ ）
A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个
6、顶点为P的 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，
O为底面圆的圆心，
AB?OB
，垂足为B，
OH?PB
，垂足为H，且PA=4，C为PA的
中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（ ）
A.
5

3
B.
25

3
C.
6

3
D.
26

3
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、在平面直角坐标系xoy中，函 数
f(x)?asinax?cosax(a?0)
在一个最小正周期长的
区间上的图 像与函数
g(x)?a
2
?1
的图像所围成的封闭图形的面积是______ __________。
8、设函数
f:R?R,满足f(0)?1
，且对任意x,y?R,都有

f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2
，则
f(x)
=_____________________。

9、如图、正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
二面角
A?BD
1
?A
1
的度数 是____________。



A
2
D1
C1
A1
F
E
D
B1
C
B
10、设p是给 定的奇质数，正整数k使得
k?pk
也是一个正整数，则k=____________。 < br>11、已知数列
a
0
,a
1
,a
2
,... ,a
n
,...,
满足关系式
(3?a
n?1
)(6?a< br>n
)?18,且a
0
?3
，则
1
的值
?a
i?o
i
n
是_________________________ 。
12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，
当
?MPN
取最大值时，点P的横坐标为___________________。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、一项“过关游戏 ”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的
点数之和大于
2
，则算过关。问：
（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？
（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？
（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5， 6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静
止后，向上一面的点数为出现点数。）

14 、在平面直角坐标系xoy中，给定三点
A(0,),B(?1,0),C(1,0)
，点P到 直线BC的距离
是该点到直线AB，AC距离的等比中项。
（Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若直线L经过
?ABC
的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L
的斜率k的取值范围。
15、已知
?
,
?
是方程
4x?4tx?1?0(t?R)
的两个不等实根，函数
f(x)?
域为
?< br>?
,
?
?
。
（Ⅰ）求
g(t)?maxf(x)?minf(x)
；
（Ⅱ）证明：对于
u
i
?(0,
2
n
4
3
2x?t
的定义
x
2
?1
?
2
)(i?1,2,3)
，若< br>sinu
1
?sinu
2
?sinu
3
?1,

则
1113
???6
。
g(tanu
1
)g (tanu
2
)g(tanu
3
)4

二○○四年全国 高中数学联合竞赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据本评 分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设
9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分 标准规定的评分档次给分，
不要再增加其他中间档次。
2、如果考生的解答方法和本解答不同 ，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可
参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增 加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、解：因方程
x?4xcos
?
?cot
?
?0
有重根，故
?? 16cos
?
?4cot
?
?0

22
0?
?
?
?2
?
?

?2
,?4cot
?
(2sin2
?
?1)?0
得
sin2
?
?
1

2
?
6
或2
?
?
5
?
?
5
?
，于是
?
?
。 故选B。
或
61212
2、解：
MN??
相当 于点（0，b）在椭圆
x
2
?2y
2
?3
上或它的内部故选A。
2b
2
66
??1,???b?
。
32 2
331
?
?
log
2
x?1?log
2
x???0
3、解：原不等式等价于
?

222
?
?
log
2
x?1?0
?
3
2
1
?
t?t ??0
设
log
2
x?1?t,则有
?
2

2
?
?
t?0
即
0?log
2
x?1?1,?2 ?x?4
。
解得
0?t?1
。
故选C。

4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，
则
A
OA?OC?2 OD
2(OB?OC)?4OE
(1)
(2)

D
由（1）（2）得，
OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0
，
即
OD与OE
共线，
BE
O
C

且
|OD|?2|OE|?
S
?AEC
3
S
3?2
? ,?
?ABC
??3
， 故选C。
S
?AOC
2S
?AOC
2
解法2 如图建立坐标系
xo
?
y
，分别设
A(a,0),B(0,b),C(c,0),O(x, y)
，
则
OA?(a?x,?y),OB?(?x,b?y),OC?(c?x,?y)

y< br>B
b
由
OA?2OB?3OC?0
得，
y?
，
3
S
b
?
?ABC
??3
， 故选C
S
?AOC
y
O
y
Co'
D
A
x

5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即
a,b,c?{1,2,... ,9}

（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为
n
1
， 由于三位数中三个数码都相同，所
1
以，
n
1
?C
9
?9
。
（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为
n
2
，由于三位数中只有2个
不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的 数码组（a，b）共有
2C
9
。
但当大数为底时，设a>b，必须满足
b?a?2b
。此时，不能构成三角形的数码是
a
b
9
4，3
2，1
8
4，3
2，1
7
3，2
1
6
3，2
1
5
1，2
4
1，2
3
1
2
1
1

2
共20种情况。
同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有
C
3
种情况。
222
故
n
2
?C
3
(2C
9
? 20)?6(C
9
?10)?156
。 综上，
n?n
1
?n
2
?165
。
2

6、解：
AB?OB,AB?OP,?AB?PB,又OH?PB

?面PA B?面POB,?OH?HC,OH?PA
。C是PA中点，
?OC?PA

?当HO?HC时S
?HOC
最大，
也即
V
O?HPC
?V
P?HCO
最大。
此时，

1
HO?2,故HO=OP,??HPO?30
0
2
，
26
?OB?OP?tan30
0
?
3
故选D。





二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、解：
f(x)?
12
?
，振幅为
a
2
?1sin(ax?
?
),其中
?
?arctan
，它的最小正周期 为
aa
a
2
?1
。由
f(x)
的图像与
g (x)
的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为
2
?
2
?
、宽为
a
2
?1
的长方形，故它的面积是
aa

8、解：
a
2
?1
。
对?x,y?R,有f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2,

?有f(xy?1)?f(y)f(x)?f(x)?y?2

?
f(x)f (y)?f(y)?x?2
=
f(y)f(x)?f(x)?y?2

即
f(x)?y?f(y)?x,令y?0,得f(x)?x?1
。
9、解：连结
D
1
C,作CE?BD
1
，垂足为E，延长CE交
A
1
B
于F，则
FE?BD
1
，连结AE，
由对称性知
AE?BD
1
,??FEA
是二面角
A?BD
1
?A
1
的平面角。
D1
C1
连结AC，设AB=1，
则
AC?AD
1
?2,BD
1
?3.

A 1
F
E
D
C
A
2
B1
在Rt?ABD1
中，
AE?

AB?AD
1
2
，
?
BD
1
3
4
?2
1
在
?AE C中,cos?AEC?
AE?CE?AC
?
2AE?AC
?
3??
4
2AE?CE2AE
2
2
3
2222
B
??AEC?120
0
,而?FEA是?AEC
的补角，
??FEA ?60
0
。

p?p
2
?4n
2
22
10、解：设
k?pk?n,n?N,则k?pk?n?0,k?
，从而
p?4n
2
2*22
是平方数，设为
m,m?N,则(m?2n)( m?2n)?p

2*2

?
p
2
?1
m ?
?
?
m?2n?1
?
2

p是质数，且p?3, ?
?
,解得
?
2
2
p?1
?
m?2n?p
?
n?
?
?4
p?m2p?(p
2
?1)(p?1 )
2
?k??,故k?
。（负值舍去）
244

11、解 ：设
b
n
?
111
,n?0,1,2,...,则(3?)(6?) ?18,

a
n
b
n?1
b
n
即3b
n?1
?6b
n
?1?0.?b
n?1
?2bn
?,b
n?1
?
1
3
11
?2(b
n
?)

33
故数列
{b
n
?}
是公比为2的等比数列，
1
3
b
n
?
n
111111
?2
n
(b
0
?)?2
n
(?)??2
n?1
?b
n< br>?(2
n?1
?1)
。
33a
0
333
n n
?
1
n?2
11
i?1
1
?
2(2n?1
?1)
?b?(2?1)??(n?1)
???
i
?2?1
?
?
3
?
2?n?3
?
。
a33
i?o
i
i?0i?0
??

12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为
S（a，3－a），则圆S的方程为：
(x?a)?(y?3?a)?2(1?a)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当
?MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的
22
22 2
a值必须满足
2(1?a)?(a?3),
解得 a=1或a=－7。
即对应的切点分别为
P(1,0)和P(?7,0)
，而过点M，N，
p'
的 圆的半径大于过点M，
'
N，P的圆的半径，所以
?MPN??MP'N
，故 点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标
为1。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）


13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而
6?4?2,6?5?2
，因此，当
n?5
时，n次出现
的点数之和大于
2
n
已不可能。即这是一个不可能事件 ，过关的概率为0。所以最多只能连
过4关。 .......5分
45
（Ⅱ）设事件
A
n
为“第n关过关失败”，则对立事件
A
n
为“第n关过关成功”。
第n关游戏中，基本事件总数为
6
个。
第1关：事件
A
1
所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），
n
?
过此关的概率为：
P(A
1
)?1?P(A
1
)?1?
22
?
。
63
第2关：事件
A
2
所含基本事件数为方程
x?y?a
当a分别取2，3，4时的正整数解组数之
111
和。即有
C
1
?C
2
?C
3
?1 ?2?3?6
（个）。
?
过此关的概率为：
P(A
2
)? 1?P(A
2
)?1?
65
?
。
2
66
........10分
第3关：事件
A
3< br>所含基本事件为方程
x?y?z?a
当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整
222222
数解组数之和。即有
C
2
?C
3
?C
4
?C
5
?C
6
?C
7
?1?3?6?10?1 5?21?56
（个）。
?
过此关的概率为：
P(A
3
) ?1?P(A
3
)?1?
5620
。
?
3
627
2520100
故连过前三关的概率为：
P(A
1
)?P( A
2
)?P(A
3
)???
。
?
3627243
（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）

.........15分
........20分
44
(,)
点
Pxy
(x?1),y??(x?1),y?0
。
33
11
到AB、AC、BC的距离依次为
d
1
?|4x?3y?4|,d
2
?|4x?3y?4|,d
3
?|y|
。依设，
55
14、解：（ Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为
y?
d
1
d
2
?d
3
2
,得|16x
2
?(3y?4)
2
|?25y
2
，即
16x
2
?(3y?4)
2
?25y
2
?0,或16x
2
?(3y?4)
2
?25y
2
?0
，化简得点P的轨迹方程为
圆S：
2x?2y?3y?2?0与双曲线T:8x?17y?12y?8?0


（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分
圆S：
2x?2y?3y?2?0

与双曲线T：
8x?17y?12y?8?0

22
22
2222
......5分
①
②