福建高中数学竞赛2017-教资高中数学怎么学
2015 年全国高中数学联合竞赛(A卷)
参考答案及评分标准
一试
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档;其他
各题的评阅,请严格
按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生
的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分
标准适当划分档次评分,解
答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题该分为一个档
次,不要增加其他中间档次.
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.
1.设<
br>a,b
为不相等的实数,若二次函数
f(x)?x?ax?b
满足
f(
a)?f(b)
,则
f(2)?
答案:4.解:由己知条件及
二次函数图像的轴对称性,可得
所以
f(2)?4?2a?b?4
.
2
a?ba
??
,即
2a?b?0
,
22
1<
br>?cos
4
?
的值为 .
sin
?
222
答案:2. 解:由条件知,
cos
??sin
?
,反复利用此结论,并注意到
cos
?
?sin?
?1
,
1cos
2
?
?sin
2
?
4
?cos
?
??sin
2
?
?(1?sin?
)(1?cos
2
?
)
得
sin
?
sin
?
?2?sin
?
?cos
2
?
?2.
2.若实数
?
满足
cos
?
?tan
?<
br>,则
3.已知复数数列
?
z
n
?
满足z
1
?1,z
n?1
?z
n
?1?ni(n?1,2,
???)
,其中i为虚数单位,
z
n
表
示
z
n的共轭复数,则
z
2015
?
.
答案:2015 + 1007i.解:由己知得,对一切正整数n,有
z
n?2<
br>?z
n?1
?1?(n?1)i?z
n
?1?ni?1?(n?1)i
?z
n
?2?i
,
于是
z
2015
?z
1
?1007?(2?i)?2015?1007i
.
4.在矩形
ABCD
中,
AB?2,AD?1
,边
DC
上(包含点D、C)的
动点
P
与
CB
延长线
上(包含点B)的动点
Q
满足
条件
DP?BQ
,则
PA?PQ
的最小值为 .
答案
3
.
4
解:不妨设 A ( 0 , 0 ) , B (
2 , 0 ) , D ( 0 , l ) .设 P 的坐标为(
t
, l)
(其
因此,
uuuruuuruuuruuur
中
0?t?2
),
则由
|DP|?|BQ|
得Q的坐标为(2,-
t
),故
PA?(?
t,?1),PQ?(2?t,?t?1)
,
uuuruuur
133
PA?
PQ?(?t)?(2?t)?(?1)?(?t?1)?t
2
?t?1?(t?)
2
??
.
244
uuuruuur
13
当
t?时,
(PA?PQ)
min
?
.
24
5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 .
答案:
2
.解:设正方体为ABCD-
EFGH,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有
55
3
C
12
=220种.
下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即
AB、
AD、AE的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同
的方向.可先
取定AB方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB,则AD方向只能取
棱EH或棱FG,共2种
可能.当AD方向取棱是EH或FG时,AE方向取棱分别只能是CG或
DH.由上可知,3条棱两两异
面的取法数为4×2=8,故所求概率为
82
.
?
22055<
br>6.在平面直角坐标系xOy中,点集
(x,y)(x?3y?6)(3x?y?6)?0
所对应的平面区
域的面积为 .
答案:24.解:设
K
1<
br>?{(x,y)||x|?|3y|?6?0}
.
先考虑
K
1
在第一象限中的部分,此时有
??
x?3y?6
,故这些点对应于图中的△OCD及
其内
部.由对称性知,
K
1
对应的区域是图中以原点O
为中心的菱形ABCD及其内部.
同理,设
K
2
?{(x,y)|
|3x|?|y|?6?0}
,
则
K
2
对应的区域是图中以O为中心
的菱形EFGH
及其内部.
由点集
K
的定义知,
K
所对应
的平面区域是
被
K
1
、
K
2
中恰好一个所覆盖的部
分,因此本题
所要求的即为图中阴影区域的面积S.
由于直线CD的方程为
x?3y?6
,直线GH的方程为
3x?y?6
,故它们的交点P的坐
标为
(,)
.由对称性知,
S?8S
?CPG
?8??4?
33
22
1
2
3
?24
.
2
7.
设
?
为正实数,若存在实数
a,b(
?
?a?b?2
?)
,使得
sin
?
a?sin
?
b?2
,则<
br>?
的取
值范围为 .
答案:
w?[,)U[
95
13
,??)
.解:
sin
?
a?sin
?
b?2
知,
sin
?
a?sin
?
b?1
,而
4
24
si
?
a,
?
b?[w
?
,2w
?<
br>]
,故题目条件等价于:存在整数
k,l(k?l)
,使得
w
?
?2k
?
?
?
22
当
w?4
时,区间
[w
?
,2w
?
]
的长度不小于
4
?,故必存在
k,l
满足①式.
当
0?w?4
时,注意到
[w
?
,2w
?
]?(0,8
?
)
,故仅需考虑
如下几种情况:
?
5
?
15
?2w
?
,此时<
br>w?
且
w?
无解; (i)
w
?
??
22
24
5
?
9
?
95
??2w
?
,此时?w?
; (ii)
w
?
?
2242
9
?<
br>13
?
13913
(iii)
w
?
???2w?
,此时
?w?
,得
?w?4
.
22424
9513
综合(i)、(ii)、(iii),并注意到
w?4
亦满足条件,可知w?[,)U[,??)
.
424
?2l
?
?
?
?2w
?
. ①
8.对四位数
abcd
(
1?a?9,0?b,c,d?9
),若
a?b,b?c,c?d,
则称
abcd
为
P
类数
;
若
a?b,b?c,c?d
,则称
a
bcd
为
Q
类数,用N(P)和N(Q)分别表示
P
类数与
Q
类数的个
数,则N(P)-N(Q)的值为 .
答案:285.解:分
别记P类数、Q类数的全体为A、B,再将个位数为零的P类数全体
记为
A
0
,个位数不等于零的尸类数全体记为
A
1
.
对任一四位数
abcd
?A
1
,将其对应到四位数
dcba
,注意到
a?b,b?c,c?
d?1
,故
dcba?B
.反之,每个
dcba?B
唯一对应于从
中的元素
abcd
.这建立了
A
1
与B之间的一
一对应,因
此有
N(P)?N(Q)?|A|?|B|?|A
0
|?|A
1
|?
|B|?|A
1
|
.
下面计算
|A
0
|
对任一四位数
abc0?A
0
,
b
可取0, 1,…,9,对其中
每个
b
,由
b?a?9
及
b?c?9
知,
a
和
c
分别有
9?b
种取法,从而
99
9?10?19<
br>2
|A
0
|?
?
(9?b)?
?
k
2
??285
.
6
b?0k?1
因此,
N(P)?N(Q)?285
.
二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9
.(本题满分16分)若实数
a,b,c
满足
2?4?2,4?2?4
,求<
br>c
的最小值.
解:将
2,2,2
分别记为
x,y,z
,则
x,y,z?0
.
由条件知,
x?y?z,x?y?z
,故
z?y?x?(z?y)?z?2yz?y
.8分
因此,结合平均值不等式可得,
2222222224
abc
abcabc
y
4
?y111
13
3
22
11
3
2y?z??(2y??)??3??2
.12分
2
2y4yy4yy4
1
1
33
2
当<
br>2y?
,即
y?
3
时,
z
的最小值为
32
(此时相应的
x
值为
3
2
,符合要
y
44
2
求).
由于
c?log
2
z
,故c
的最小值
log
2
(
3
3
5
2)?
log
2
3?
.16分
43
10.(本题满分20分)
设
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
为四
个有理数,使得:
?
aa
i
31
??
?
1?i?
j?4??24,?2,?,?,1,3
?
,求
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
的值.
?
j
28
??
解:由条件可知,
a
i
a
j
(1?i?j?4)
是6个互不相同的数,且其中没有两个为相反数,
由此知,
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的绝对值互不相等,不妨设
|a
1
|?|a
2
|?|a
3
|?|a
4
|
,
则
|a
i
||a
j
|(1?i?j?4)
中最小的与次小的
两个数分别是
|a
1
||a
2
|
及
|a
1
||a
3
|
,最大与次大的
两个数分别是
|a
3<
br>||a
4
|
及
|a
2
||a
4
|<
br>,从而必须有
1
?
aa??,
?
12
8
?
?
aa?1,
10 分
?
13
?
a
2
a
4
?3,
?
?
?
a
3
a
4
??24,
113
,a
3
?,a
4
???24
a
1
. 于是
a
2
??
8a
1
a
1
a
2
13
2
,?24a}?{?2,?}
,15分
1
8a1
2
2
1
结合
a
1
?Q
,只可能a
1
??
.
4
1111
由此易知,
a
1
?,a
2
??,a
3
?4,a
4
??6
或者
a
1
??,a
2
?,a
3
??4,a
4
?6
.
4242
故
{a
2
a
3,a
1
a
4
}?{?
检验知这两组解均满足问题的条件. 故
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
??
9
. 20 分
4
x
2
?y
2
?1
的左右焦11.(本题满分20分)在平面坐标系xOy中,
F
1
,F
2
分别为椭圆
2
点,设不经过焦点
F
1
的直线
l
与椭圆交于两个不同的点
A,B
,焦点
F
2
到直线
l
的距离为
d
,
如果
AF
1
,l,BF
1
的斜率依次成等差数列,求
d
的取值范围.
F
2
的坐标分别为解:由条件知,点
F
1
、(-1,
0)和(l, 0) .设直线l的方程为
y?kx?m
,
x
2
?(
kx?m)
2
?1
,即 点A、B的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
和
(x
2
,y
2
)
,则x
1
,x
2
满足方程
2
(2k
2
?1
)x
2
?4kmx?(2m
2
?2)?0
.
由于点A、B
不重合,且直线l的斜率存在,故
x
1
,x
2
是方程①的两个不同实
根,因此
有①的判别式
??(4km)?4?(2k?1)?(2m?2)?8(2k?1?m
)?0
,即
22222
2k
2
?1?m
2
.②
y
1
yyy
,k,
2
依次成等差数列知,
1
?
2
?2k
,又
x
1
?1x
2
?1x<
br>1
?1x
2
?1
y
1
?kx
1
?m
,y
2
?kx
2
?m
,所以
(kx
1
?m
)(x
2
?1)?(kx
2
?m)(x
1
?1)?2k(x
1
?1)(x
2
?1)
,
由直线
AF
1<
br>,l,BF
1
的斜率
化简并整理得,
(m?k)(x
1
?x
2
?2)?0
.
假如
m?k
,则直线l的方程为
y?kx?k
,即 z
经过点
F
1
(-1, 0),不符合条件.
因此必有
x
1
?x
2
?2?0
,故由方程①及韦达定理知,
4km
??(
x
1
?x
2
)?2
,即
2
2k?1
m?k
?
1
.③
2k
22
由②、③知,
2k?1?m?(k?
反之,当
m,k
满足③及
|k|?
2
1
2
1
.
)
,化简得
k
2
?
2
,这等价于<
br>|k|?
2
2k4k
2
时,l必不经过点
F
1
(否则将导致
m?k
,与③矛盾),
2
而此时
m,k
满
足②,故l与椭圆有两个不同的交点A、B,同时也保证了
AF
1
、
BF1
的斜率
存在(否则
x
1
,x
2
中的某一个为
- l,结合
x
1
?x
2
?2?0
知
x
1
?x
2
??1
,与方程①有两个
不同的实根矛盾).10分
点
F
2
(l , 0)到直线l:
y?kx?m
的距离为
d?
|k?m|
1?k
2
?
1
1?k
2<
br>?|2k?
1
|?
2k
11
?(2?
2
)<
br>.
2k
1
?1
k
2
注意到
|k|?
2
,令
t?
2
1
?1
,则
t?(1,3)
,上式可改写为
k
2
1t
2
313
d??(?)??(t?)
.
t222t<
br>13
考虑到函数
f(t)??(t?)
在
[1,3]
上上单调
递减,故由④得,
f(3)?d?f(1)
,
2t
即
d?(3,2)
.20 分
加试
1.(本题满分40分)设
a
1
,a
2
,???,a
n
(n?2)
是实数,证明:可以
选取
?
1
,
?
2
,???,
?
n
?
?
?1,1
?
,
使得
(
?
a)
i
i?1
n
2
?(
?
?
i
a
i<
br>)?(n?1)(
?
a
i
2
)
.
2
i?1i?1
nn
??
nn
22
??
证法一:我们证明:
(
?
a
i
)?
?
a
i
?
?
a
j
?(n?1)(
?
a
i
)
,①
?
i?1
?
n
i?1i?1
??
j?[]
2
??
nn
即对
i?1,2,L,[]
,取
?
i
?1
,对
i?[]?1,L,n
,取
?
i<
br>??1
符合要求.(这里,
[x]
22
表示实数
x
的
整数部分.) 10分
n
n
[]
2
2
事实上,①的左边为
]]]
?
[
n
??
[
n
??
[
n
?<
br>?
n
?
nn
222
?
a?
?
??
a?
?
?2
?
a
?
?2
?
aaa
j
?
??????
ijiji
?
i?1<
br>??
i?1
??
i?1
?
?
n
?
n
n
?
j?[]?1
?
??????
j?[]?1j?[]?1
22
?
2
?
??????
]
?
[
n?
?
n
?
2
?n?
?
n
?
?
??
?
(柯西不等式)30分
?2
??
?
ai
2
?
?2
?
n?
??
?
?
?
a
2
j
?
?
?
2
?
?
?
2
?
?
?
?
j?[
n
]?1
?
?
i?1
?
?
?
2
?
??
]?
[
n
?
??
n
??
n?1
???
n
?
?
2
2
?
?
?
n?1
?
?
?
n
2
?
n??
?
?2??
?
a
i
?2
?
?
a
(利用) <
br>?
?
?
j
?
???
?
??
2222
????
??
?
i?1
?
?
??
?
?
j?[
n
]?1
?
?
2
?
?
?
]
?
[
n
?
?
n
?
2
?
(利用
[x]?x
)
?n
?
?
a
i<
br>2
?
?(n?1)
?
?
a
2
j
?<
br>i?1
?
?
n
?
?
j?[]?1
?
??
?
2
?
??
222
2
?(n?1)(
?
a
i
2
)
.
i?1
n
所以 ①
得证,从而本题得证.
证法二:首先,由于问题中
a
1
,a
2,L,a
n
的对称性,可设
a
1
?a
2
?L?
a
n
.此外,若
将
a
1
,a
2
,L,a<
br>n
中的负数均改变符号,则问题中的不等式左边的
(
?
a)
i
i?1
n
2
不减,而右边的
?
a
i?1
n
2
i
不变,并且这一手续不影响
?
i
??1
的选取
,因此我们可进一步设
a
1
?a
2
?L?a
n
?0
. 10分
引理:设
a
1
?a
2
?L?a
n
?0
,则
0?
?
(?1)
i?1
n
i?1
a
i
?a
1
.
事实上,由于
a
i
?a
i?1
(i
?1,2,L,n?1)
,故当
n
是偶数时,
?
(?1)
i?1
n
n
i?1
a
i
?(a
1
?a2
)?(a
3
?a
4
)?
L
?(a
n
?1
?a
n
)?0
,
a
i
?a
1
?(a
2
?a
3
)?
L
?(a
n?2
?
a
n?1
)?a
n
?a
1
.
?
(?1)
i?1
n
i?1
当
n
是奇数时,
?
(?
1)
i?1
n
i?1
a
i
?(a
1
?a<
br>2
)?(a
3
?a
4
)?
L
?(a
n?2
?a
n?1
)?a
n
?0
,
a
i
?a
1
?(a
2
?a
3
)?
L
?
(a
n?1
?a
n
)?a
1
.
?
(?1)
i?1
i?1
引理得证.
30 分
回到原题,由柯西不等式及上面引理可知
n
?
n
??<
br>n
??
n
2
?
2i?12
?
?
a<
br>i
?
?
?
?
(?1)a
i
?
?n<
br>?
?
a
i
?
?a
1
?(n?1)
?
a
i
,
i?1
?
i?1
??
i?1??
i?1
?
22
这就证明了结论. 40分
证法三:
加强命题:设
a
1
,a
2
,???,a
n
(
n?2
)是实数,证明:可以选取
1
n
2
?
1
,
?
2
,???,
?
n
?{?1,1}
,使得 (
?
a
i
)?(
?
?
i
a
i
)?(n?)(
?
a
i
)
.
n
i?1i?1i?1
222
证明 不妨设
a
1
?
a
2
?????a
n
,以下分
n
为奇数和
n
为偶数两种情况证明.
22
nn
当
n
为奇数时,取
?<
br>1
?
?
2
?????
?
n?1
?1
,
?
n?1
?
?
n?3
?????
?
n<
br>??1
,于是有
222
(
?
a
i
)?[(
?
a
i
)?(
2
i?1i?1
n?1
2<
br>n
n?1
2
n?1
j?
2
?
a)]
j
n
2
?2[(
?
a
i
)+(
2
i?1
n?1
2
n?1
j?
2
?
a)]
2
j
n
n?1n?1
n
22
?2?(
?
a
i
)+2?(n?)(
?
a
j
)(应用柯西不等式).
2
i?1
2
j?
n?1
2?(n?1)(
?
a)+(n?1)(
2
i
i?1
n?
1
2
?
a)
①
j?
n?1
2
2
j
2
n
,易证有n
另外,由于
a?a?????a
2
1
2
2
1
1
n
22
(1?)
?
a
i
?(1?)
?<
br>a
j
,
n
i?1
n
j?
n?1
2
n
2
j
n?1
2
1
n
2
因此,由
式①即得到
(n?1)(
?
a)+(n?1)(
?
a)
?(
n?)(
?
a
i
)
,
n
i?1
n?1<
br>i?1
j?
2
i
2
n?1
2
故
n<
br>为奇数时,原命题成立,而且由证明过程可知,当且仅当
?
1
?
?2
?????
?
n?1
?1
,
2
?
n
?1
?
?
n?3
?????
?
n
??1
,
且
a
1
?a
2
?????a
n
时取等号.
22
当
n
为偶数时,取
?1
?
?
2
?????
?
n
?1
,?
n?2
?
?
n?4
?????
?
n
??1
,于是有
222
(
?
a
i
)?[(
?
a
i
)?(
2
i?1i?1
n
2
n<
br>n
2
?
j?
n
n?2
2
a
j
)]?2[(
?
a
i
)+(
22
i?1
n
2
?
j?
n
n?2
2
a
j
)
2
]
2
nn
n
22
?2?(
?
a
i
)+2?(n?)(
?
a
j
)
(应用柯西不等式
).
2
i?1
2
j?
n?2
2
1
n2
?n[(
?
a)+(
?
a)]
?n(
?a)?(n?)(
?
a
i
)
,
n
i?1
n?2
i?1
i?1
j?
2
i
n
2
j
2
i
n
2
n
2
故
n
为偶数时,原命题也成立,而且由证明过程可知,当且仅当
a
1
?a
2
?????a
n
?0
时
取等号,若
a
1
,a
2
,???,a
n
不全为零,则取不到等号.
综上,联赛加试题一的加强命题获证.
2.(本题满分40分)设
S?
?
A
1
,A
2
,???,A
n
?
,
其中
A
1
,A
2
,???,A
n
是
n个互不相同的有限集合
(n?2)
,满足对任意的
A
i
,Aj
?S
,均有
A
i
?A
j
?S
,若<
br>k?minA
i
?2
,证明:存在
1?i?n
n
x?
?A
i
,使得
x
属于
A
1
,A
2
,???,A
n
中的至少个集合.
i?1
k
证明:不妨设
|A
1
|?k
.设在
A
1
,A
2
,L,A
n
中与
A
1
不相交的集合有
s
个,重新记为
B
1
,B
2
,L,B
s
,
(B
i
UA
1
)?S
,设包含
A
1
的集合有
t
个,重新记为
C
1
,C
2
,L,C
t
.由已知条件
,
即
(B
i
UA
1
)?{C
1
,C
2
,L,C
t
}
,这样我们得到一个映射
f:{B<
br>1
,B
2
,L,B
s
}?{C
1
,C
2
,L,C
t
},f(B
i
)?B
i
UA
1
.
显然
f
是单映射,于是,
s?t
. 10 分
设
A
1
?{a
1
,a
2
,L,a
k
}
.在
A
1
,A
2
,???,A
n中除去
B
1
,B
2
,L,B
s
,
C<
br>1
,C
2
,L,C
t
后,在剩
下的
n?s?
t
个集合中,设包含
a
i
的集合有
x
i
个(
1?i?k
),由于剩下的
n?s?t
个集合
中每个集合与从的交非空,即
包含某个
a
i
,从而
x
1
?x
2
?L?x
k
?n?s?t
.
20 分
n?s?t
不妨设
x
1
?maxx
i
,
则由上式知
x
i
?
,即在剩下的
n?s?t
个集合中,包含
a
1
1?i?k
k
n?s?t
的集合至少有个.
又由于
A
1
?C
i
(i?1,2,???,t)
,故
C
1
,C
2
,L,C
t
都包含
a
1,因此
k
n?s?tn?s?(k?1)tn?s?t
?t??
包含a
1
的集合个数至少为(利用
k?2
)
kkk
n
?
(利用
s?t
). 40 分
k
n
3.(本题满分50分)如图,
?ABC
内接于圆<
br>O
,
P
为
BC
弧上一
点,点
K
在<
br>AP
上,使得
BK
平分
?ABC
,过
K,P,C三点的圆
?
与边
AC
交于
D
,连接
BD
交圆
?
于
E
,连接
PE
,延长交
AB
于
F
,证明:
?ABC?2?FCB
.
证法一:设CF与圆Q交于点L(异于C),连接PB、PC、 BL、
KL.
注意此时C、D、L、K、E、P六点均在圆
?
上,结合A、 B、P、C四点共圆,
可知∠FEB=
2
∠DEP=180°-∠DCP=∠ABP=∠FBP,因此△FBE∽△F
PB,故FB=FE·FP.10分
2
又由圆幂定理知,FE·FP=
FL·FC,所以FB=FL·FC.
从而△FBL∽△FCB.
因此,
∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即B、K、L 三点共
线. 30 分
再根据△FBL∽△FCB得,
1
∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB. 2
证法二:设CF与圆
?
交于点L(异于C).对圆内接广义六边
∠FC
B=∠FBL=
形DCLKPE应用帕斯卡定理可知, DC与KP的交点A、CL与PE的交
’’
点F、LK与ED的交点了共线,因此B是AF与ED的交点,即B=B.所
以B、K、L
共线.10分
根据A、B、P、C四点共圆及L、K、P、C四点共圆,得
∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC,
又由BK平分∠ABC知,∠FBL=
∠ABC=2∠FCB.
1
∠ABC,从而
2
4.(本题满分50分)求具有
下述性质的所有正整数
k
:对任意正整数
n
都有
2
(k?1
)n?1
不整除
(kn)!
.
n!
解:对正整数
m
,设
v
2
(m)
表示正整数
m
的标准分解中素因子2的方
幂,则熟知
v
2
(m!)?m?S(m)
,①
这里
S(m)
表示正整数
m
在二进制表示下的数码之和.
(kn)!(kn)!
(k?1)n?1
由于
2
不整除,等价于
v<
br>2
(
即
kn?v
2
((kn)!)?n?v
2
(n!)
,
)?(k?1)n
,
n!n!
进而由①知,本题等价于
求所有正整数
k
,使得
S(kn)?S(n)
对任意正整数
n
成立. 10分
a
我们证明,所有符合条件的
k
为
2(a?0,
1,2,L)
.
a
一方面,由于
S(2n)?S(n)
对任意正整
数
n
成立,故
k?2
符合条件. 20 分
a
另一方面,
若
k
不是2的方幂,设
k?2?q,a?0,q
是大于1的奇数.
下面构造一个正整数
n
,使得
S(kn)?S(n)
.因为
S(kn
)?S(2?q)?S(qn)
, 因此问
a
a
m
)
. <
br>q
u
由(2,
q
)=l,熟知存在正整数
u
,使得<
br>2?1(modq)
.(事实上,由欧拉定理知,
u
可以取
?
(q)
的.)
a
aa
设奇数
q
的二进制表示为
2
1
?2
2
?L?2
t
,0?a
1
?a<
br>2
?L?a
t
,t?2
.
题等价于我们选取
q的一个倍数
m
,使得
S(m)?S(
取
2
1
?
2
2
?L?2
我们有
aa
a
t?1
?2
a
t
?tu
,则
S(m)?t
,且
m?q?2
a<
br>t
(2
tu
?1)?0(modq)
.
tuu
t?
1
u
m2?1
lu?a
t
a
t
2?1
a<
br>t
2?1
u(t?1)u
?1?q?2??1?2?(1?2?
L?2)?1?
?
?2
qqqq
l?0
2
u
?12
u
?1
u
?2
,故正整数由于
0?
的二进制表示中的最高次幂小于
u
,由此易知,
qq
2
u
?1
iu?a
t
2
u
?1
ju?a
t
?2?2
对任意整数
i,j(0?i?j
?t?1)
,数与的二进制表示中没有相同
qq
的项.
2
u
?1
lu?a
t
?2(l?0,1,L,t?1)
的二进制表示中均不包含
1,故由②可又因为
a
i
?0
,故
q
m2
u
?1
)?t?t?S(m)
,
知
S()?1?S(
qq
因此上述选取的
m
满足要求.
a
综合上述的两个方面可知,所求的
k
为
2(a?0,1,2,L)
.
50分
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