1999年全国高中数学联赛试题及详细解析

一、选择题
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D） 四个结论，其中有且仅有一个是
正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分 ；不选、选错或
选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 给定 公比为
q
(
q
?1)的等比数列{
a
n
}，设b
1
=
a
1
+
a
2
+
a3
,
b
2
=
a
4
+
a
5< br>+
a
6
,…,
b
n
=
a
3
n
?
2
+
a
3
n
?
1
+
a
3
n
,…，
则数列{
b
n
}【答】（ ）
(
A
) 是等差数列 (
B
) 是公比为
q
的等比数列
3
(
C
) 是公比为
q
的等比数列 (
D
) 既非等差数列也非等比数列

2． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场
之 后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场
数是 【答】（ ）
(
A
)0 (
B
)1 (
C
)2 (
D
)3
2
3． 已知 点
A
(1,2)，过点(5,?2)的直线与抛物线
y
=4
x
交于另外两点
B
,
C
，那么，△
ABC
是
(
A
) 锐角三角形 (
B
) 钝角三角形 (
C
) 直角三角形 (
D
) 不确定 【答】（ ）

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 已知正整数
n
不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那 么，这样的
n
的个数是___________.
cos2
?
?i sin2
?
5
，那么，复数
z?
的辐角主值是_________.
12
239?i
ctgC
222
9. 在△
ABC
中，记
BC
=
a
，
CA
=
b
，
A B
=
c
，若9
a
+9
b
?19
c
=0，则=__________.
ctgA?ctgB
8. 已知
?
=arctg
x
2
y
2
10. 已知点P
在双曲线
??1
上，并且
P
到这条双曲线的右准线的距离恰是
P
到这条
169
双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，
P的横坐标是_____.
11. 已知直线
ax
+
by
+c
=0中的
a
,
b
,
c
是取自集合{?3,? 2,?1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，
并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条 数是______.
12. 已知三棱锥
S
?
ABC
的底面是正三 角形，
A
点在侧面
SBC
上的射影
H
是△
SBC< br>的垂心，二
面角
H
?
AB
?
C
的平面角等于 30?,
SA
=2
3
。那么三棱锥
S
?
ABC< br>的体积为__________.

三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
2
[来源:学|科|网]

2
13. 已知当
x
?[0,1]时，不等式
xcos
?< br>?x(1?x)?(1?x)sin
?
?0
恒成立，试求的取值

范围。

5
x
2
y
2
14. 给定A
(?2,2)，已知
B
是椭圆
??1
上的动点，
F< br>是左焦点，当|
AB
|+|
BF
|取最
3
2516< br>小值时，求
B
的坐标。


2
15. 给定正整数
n
和正数
M
，对于满足条件
a
1
2
?a< br>n?1
≤
M
的所有等差数列
a
1
,
a
2
,
a
3
,….，试
求
S
=
a
n
+1
+
a
n
+2
+…+
a
2
n
+1
的最大值。

[来源:学科网ZXXK]

第二试








三、(满分50分) 给定正整数
n
，已知用克数都是正整数的
k
块 砝码和一台天平可以称出质
量为1,2,3,…,
n
克的所有物品。
（1）求
k
的最小值
f
(
n
)；
（2） 当且仅当
n
取什么值时，上述
f
(
n
)块砝码的组成方式是 唯一确定的？并证明你的
结论。

1999年全国高中数学联合竞赛答案
一、选择题
题号
答案
1
C
2
A
3
B
4
D

[来源:
学.科.网]
5
B
6
C
1.给定公比为
q
(
q
?1)的等比数列{
a
n
}，设
b
1
=
a
1
+
a
2
+
a
3
,
b
2
=
a
4+
a
5
+
a
6
,…,
b
n
=
a
3
n
?
2
+
a
3
n
?
1
+
a
3
n
,…，
则数列{
b
n
}【答】（ ）
(
A
) 是等差数列 (
B
) 是公比为
q
的等比数列
3
(
C
) 是公比为
q
的等比数列 (
D
) 既非等差数列也非等比数列

2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式
22
(|
x
|?1)+(|
y
|?1)＜2的整点(
x
,
y
)的个数是 【答】（ ）
(
A
)16 (
B
)17 (
C
)18 (
D
)25
【答案】(A) 【解析】由
?
|x|?1
?
?
?
|y|?1
?
?2
,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，
(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个.

22
5.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2
场之后就退 出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数
是 【答】（ ）
(
A
)0 (
B
)1 (
C
)2 (
D
)3

【答案】(B)
【解析】设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛 .由题意，可得
2
即
C
n?3
?6?r?50
，
?
n?3
??
n?4
?
=44+r.由于0≤r≤3，经检验可知，仅 当r=1时，n=13
2
为正整数.



二、填空题
题号
答案

7. 已知正整数
n
不超过2000，并且 能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这
样的
n
的个数是_________ __.
【答案】6.
7
6
8 9 10 11
43

12

?

64

5
8.已 知
?
=arctg
【答案】
cos2
?
?isin2
?
5
，那么，复数
z?
的辐角主值是_________.
12
239?i
?

4
2
【解析】 z的辐角主值 argz=arg［(12+5i)(239-i)］
=arg［(119+120i)(239-i)］ =arg［28561+28561i］=
?

4
ctgC
222< br>9.在△
ABC
中，记
BC
=
a
，
CA=
b
，
AB
=
c
，若9
a
+9
b
?19
c
=0，则=__________.
ctgA?ctgB

【答案】.
【解析】
[来源:学,科,网]

12.已知三棱锥
S
?
ABC
的底面是正三角形，< br>A
点在侧面
SBC
上的射影
H
是△
SBC
的 垂心，二
面角
H
?
AB
?
C
的平面角等于30?,
SA
=2
3
。那么三棱锥
S
?
ABC
的体 积为__________.
【答案】
93

4
【解析】由题设， AH⊥面SBC.作BH⊥SC于E.由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB.故
SC⊥面ABE. 设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC.由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB
于F.同理， BO⊥AC.故O为△ABC的垂心.
又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=.
因为CF⊥A B，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB.所以，∠EFC是二
面角H-AB- C的平面角.故∠EFC=30°，
OC=SCcos60°=
3
，SO= OC tg60°=3.
又OC=

93
3
AB，故AB=
3
OC=3. 所以，VS-ABC=.
4
3

三、解答题
13.已知当
x
?[0, 1]时，不等式
xcos
?
?x(1?x)?(1?x)sin
?
? 0
恒成立，试求的取值
范围。
【解析】
22
因此，原题中θ的取 值范围是2kπ+
?
5
?
<θ<2kπ+ ,k?Z.
1212
或解：若对一切x∈［0，1］，恒有

14.给定
A
(?2,2)，已知
B
是椭圆
最小值时，求
B
的坐标。
【解析】
5
y
x
??1
上的动点，
F
是 左焦点，当|
AB
|+|
BF
|取
3
2516
2< br>2

15.给定正整数
n
和正数
M
， 对于满足条件
a?a
试求
S
=
a
n
+1
+
a
n
+2
+…+
a
2
n
+1
的 最大值。
2
1
2
n?1
≤
M
的所有等差数列a
1
,
a
2
,
a
3
,….，













[来源:Z#xx#]

1999年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准

一、(满分50分) 如图，在四边形
ABCD
中，对角线
AC
平分∠
BAD
。在
CD
上取一点
E
，
BE
与
AC
相交于
F
，延长
DF
交
BC
于
G
。求证：∠
GAC
=∠
EAC
.
二、(满分50分) 给定实数
a
,
b
,
c
，已知复数
z
1
,
z
2
,
z
3
满 足：

?
|z
1
|?|z
2
|?|z
3
|?1
?
?
z
1
?
z
2
?
z
3
?1
，求|
az
1
+
bz
2
+
cz
3
|的值。
?
?
z
2
z
3
z
1

【解析】记 e
可设
iθ
=cosθ+isinθ．
，则
iθiφ
，
z
1
?e
i(
?
?
?
)
．
z
3
+φ)
由题设，有e+e+e=1.φ
两边取虚部，有
0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)
-i(θ

三、(满分50分) 给定正整数
n
，已 知用克数都是正整数的
k
块砝码和一台天平可以
称出质量为1,2,3,…,
n
克的所有物品。
（1）求
k
的最小值
f
(
n
)；
（2） 当且仅当
n
取什么值时，上述
f
(
n
)块砝码的组成方式是 唯一确定的？并证明你的
结论。
【解析】(1)设这k块砝码的质量数分别为a
1< br>,a
2
,…,a
k
，且1≤a
1
≤
a
2
≤…≤a
k
，a
i
∈Z，1≤i≤k．因为天平两端都可以放砝 码，故可称质
量为 x
i
a
i
,x
i
∈｛-1，0 ，1｝．若利用这k块砝码可以称出质量为1，
2，3，…,n的物品，则上述表示式中含有1，2，… ，n，由对称性易知
也含有0，-1，-2，…，-n，即
｛x
i
a< br>i
|x
i
∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±n｝．
所以，2n+1=|｛0，±1，…，±n｝| ≤|｛
|≤3，
k
x
i< br>a
i
|x
i
∈｛-1，0，1｝｝

即 n≤

Ⅱ.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟

一的，即a
i
=3
i-1
(1≤i≤m)．
≤
l
≤,都有
l
=x
i
a
i
，x
i
∈｛-1，0，1｝．
｝．
若对每个-
即｛x
i
ai
|x
i
∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±
注意左边集合中至多有3m个元素．故必有
｛x
i
a
i
|x< br>i
∈｛-1，0，1｝｝=｛0,±1，…，±｝．