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2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 17:06
tags:全国高中数学联赛

高中数学模块问题-安徽高中数学课本版本6



2015年全国 数学联赛江苏赛区
初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上.)
1.已知点P(4,1)在函数f(x)=log
a
(x-b) (b>0)的图象上,则ab的最大值是 .
(a+b)
2
解:由题意 知,log
a
(4-b)=1,即a+b=4,且a>0,a≠1,b>0,从而ab≤=4,
4
当a=b=2时,ab的最大值是4.
π
43π
2.函数f(x)=3sin(2x-)在x= 处的值是 .
424
π43ππ40π10π4π
43π

3
解:2x -=-===2π+,所以f()=3sin=-.
4
3.若不等式|ax+1|≤3的解集为{x |-2≤x≤1},则实数a的值是 .
解:设函数f(x)=|ax+1|,则f(-2)= f(1)=3,故a=2.
4. 第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球,第二只口袋里有10个白球、6个红球、
9个黑球, 从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是 .
3×10
307×6
42
解:有两类情况:同为白球的概率是=,同为红球的概率是=,所求的
25×25
625
25×25
625
72
概率是.
625
x
2
y
2
x
2
y
2
5.在平面直 角坐标系xOy中,设焦距为2c的椭圆
2

2
=1(a>b>0)与椭圆< br>2

2
=1有相同
abbc
的离心率e,则e的值是 .
2222
-1+5
c
2
c-b
c
2
b -c
解:若c>b,则
2

2
,得a=b,矛盾,因此c<b,且有
2

2
,解得e=.
acab2
6.如图,在长方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,对角线B< br>1
D与平面A
1
BC
1
交于E点.记四棱锥E-
AB CD的体积为V
1
,长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的体
V
1
积为V
2
,则的值是 .
V
2





南京清江花苑严老师2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 1 页 共 5 页
A
(第6题图)
D
B
A
1
E
C
D
1
C
1
B
1



解:记四棱锥B
1
-ABCD的体积为V.
2
如图,DE=DB
1

3
21V
1
2
从而V
1
=V.又V=V
2
,所以=.
33V
2
9


A
A
1
D
1
O
B
1
E
D
B
(第6题图)
C
1
C
7.若实数集合A={31x,65y} 与B={5xy,403}仅有一个公共元素,则集合A∪B中所有元素
之积的值是 .
解:因为31x×65y=5xy×403=2015xy.若xy≠0,则集合A和集合B中有一组相 等,则另一
组也必然相等,这不合题意.所以xy=0,从而A∪B中所有元素之积的值为0.
8.设向量a=(cosα,sinα),b=(-sinα,cosα).向量x
1
,x< br>2
,…,x
7
中有3个为a,其余为b;
向量y
1
, y
2
,…,y
7
中有2个为a,其余为b.则?x
i
yi
的可能取值中最小的为 .
i=1
7
解:因为a
·
a=b
·
b=1,a
·
b=0,所以?x
iy
i
的最小值为2.
i=1
7
9.在3×3的幻方中填数,使 每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个
方格中的数分别为1,2,2015,则幻 方中其余6个数之和为 .
解:如图,设幻方正中间的数为x,则由题意知
2
1
a=-2012,从而对角线上三个数的和为x-2011.
2015
因此b=x-2014,c=-4026,d=-2013,e=x+2014.
2011
由b+e+x=x-2011,解得x=-.
2
201118099
这9个数的和为3×(--2011)=-,
22
1809922135
所以幻方中其余6个数之和为--2018=-.
22

(第9题图)
e
d
a
c
x
2015
1
2
b
(第9题图)
10 .在平面直角坐标系xOy中,设D是满足x≥0,y≥0,x+y+[x]+[y]≤19的点(x,y)形成
的区域(其中[x]是不超过x的最大整数).则区域D中整点的个数为 .
解:区域D中整点的个数为1+2+3+…+10=55.



南京清江花苑严老师2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 2 页 共 5 页




二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分) 11.在等比数列{a
n
}中,a
2
=2,q是公比.记S
n< br>为{a
n
}的前n项和,T
n
为数列{a
2

n
}的前n项和.
S
2n
=2T
n
,求q的值.
解:若q=1,则a
n
=a
2
=2,a
2
n
=4 ,则S
2n
=4n,T
n
=4n,S
2n
≠2T
n

若q=-1,则a
n
=2×(-1)
n
,a
2
n
=4,则S
2n
=0,T
n
=4n,S
2n≠2T
n

……………………………… 5分
24
2n×(1-q
2n
)
2
×(1-q)
qq

2n

4
若q≠±1,则a
n
=2q
n2
,a
2
=4q,从而S=,T=.
2nn
n
1-q1-q
2
……………………………… 15分 由S
2n
=2T
n
,则
-1±17
4
=1,q
2
+q-4=0,解得q=.
2
q(1+q)
-1+17-1-17
综上,q的值为和. ……………………………… 20分
22
12.如图,△ABC中,AB>AC,点D、E分 别在边AB、AC上,且BD=CE.∠BAC的外角
平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点.
C
求证:A、P、B、C四点共圆.




证明:如图,连结PD,PE,PC.
因为四边形APDE是圆内接四边形,
所以∠PAD=∠PED,∠PAF=∠PDE.
又因为AP是∠BAC的外角平分线,
所以∠PAD=∠PAF,
从而∠PED=∠PDE,
D
A
F
P
(第12题图)
B
C
A
P
(第12题图)
E
D
B
E
故PD=PE. ……………………………… 10分
又∠ADP=∠AEP,
所以∠BDP=∠CEP.
又因为BD=CE,所以△BDP≌△CEP,从而∠PBD=∠PCE,即∠PBA=∠PCA,
南京清江花苑严老师2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 3 页 共 5 页



所以A、P、B、C四点共圆. ……………………………… 10分
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,圆O
1
、圆O
2
都与直线l:y=kx及x轴正半轴相切.若
两圆的半径之积为2,两圆的 一个交点为P(2,2),求直线l的方程.
解:由题意,圆心O
1
,O
2
都在x轴与直线l的角平分线上.
若直线l的斜率k=tanα,
α
2t
设t=tan,则k=.
2
1-t
2
圆心O
1
,O
2
在直线y=tx上,
可设O
1
(m,mt),O
2
(n,nt).
O
(第13题图)
P
O
2
O
1

x
y
l
交点P(2,2)在第一象限,m,n,t>0. ……………………………… 4分
所以⊙O
1
:(x-m)
2
+( y-mt)
2
=(mt)
2

⊙O
1
:(x-n )
2
+(y-nt)
2
=(nt)
2

?
(2-m)
2
+(2-mt)
2
=(mt)
2

?
m
2
-(4+4t)m+8=0,
所以
?

?< br>2
……………… 8分
222
?
(2-n)+(2-nt)=(nt ),
?
n-(4+4t)n+8=0,
所以 m,n是方程X
2
-(4+4t)X+8=0的两根,mn=8.
11
由半 径的积(mt)(nt)=2,得t
2
=,故t=.……………………………… 16分
42
2t144
所以 k==,直线l:y=x. ……………………………… 20分
2

133
1-t
1-
4
14.将正十一 边形的k个顶点染红色,其余顶点染蓝色.
(1)当k=2时,求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数;
(2)k取何值时,三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少?并说明理由.
解:(1)设正十一边形的顶点A
1
,A
2
,A
3
,…,A
11
,则易知其中任意三点为顶点的三角形都
不是正三角形.
以这些点为顶 点的等腰三角形个数可以如此计算:以A
i
(i=1,2,3,…,11)为顶角顶点
11-1
的等腰三角形有=5个,这些三角形均不是等边三角形,即当j≠i时,以A
j
为顶角
2
顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形.
故所有的等腰三角形共有5×11=55个. …………………… 5分
当k=2时,设其中A
m
,A
n
染成红色,其余染成蓝色.
以A
m
为顶角顶点的等腰三角形有5个,以A
m
为底角顶点的等腰三角形有 10个;同
时以A
m
,A
n
为顶点的等腰三角形有3个,这些等腰三 角形的顶点不同色,且共有(5+10)
南京清江花苑严老师2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 答案第 4 页 共 5 页



×2-3=27个.
注意到仅有这 些等腰三角形的三个顶点不同蓝色,故所求三个顶点同为蓝色的等腰
三角形有55-27=28个. ………………………… 10分
(2)若11个顶点中k个染红色,其余11-k个染蓝色.则这些顶 点间连线段(边或对角
k(k-1)(11-k)(10-k)
线)中,两端点染红色的有条, 两端点染蓝色的有条,两端点染一红
22
一蓝的有k(11-k)条.并且每条连线段必属于且 仅属于3个等腰三角形.
把等腰三角形分4类:设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x
1
个,三个顶点均
为蓝色的等腰三角形有x
2
个,两个顶点为红色一个顶点为蓝 色的等腰三角形有x
3
个,两
个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x
4
个,则按顶点颜色计算连线段,
k(k-1)
3x
1
+x
3
=3×, ①
2
(11-k)(10-k)
3x
2
+x
4
= 3×, ②
2
2x
3
+2x
4
=3×k(11-k), ③
3
由①+②得 3(x
1
+x
2
)+x
3< br>+x
4
=[k(k-1)+(11-k)(10-k)],
2
11
用③代入得 x
1
+x
2
=[ k(k- 1)+(11-k)(10-k)-k(11-k)]=(3k
2
-33k+110). 22
1
当k=5或6时,(x
1
+x
2
)
mi n
=(5×4+6×5-5×6)=10.
2
即顶点同色的等腰三角形最少有10个,此时k=5或6.………… 20分
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