全国高中数学联赛试卷及标准答案

年全国高中数学联赛试卷及答
案

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：




2

二○○一年全国高中数学联合竞赛题
（10月4日上午8：00—9：40）
题号
得分
评卷人
复核人
一



二



三
13



14



15



合计



加试



总成绩



学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6个小是题 ，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请
将正确答案的代表字 母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不
论是否写在括号内） ，一律得0分。
1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x
2
-3x-a2
+2=0,x∈R}的子集的个数为
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定
2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；
以上三个命题中正确的有
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在（0，
?
）上单调递增的偶函数是
2
（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是
（A）k=8
3
（B）0k?83

5．若（1＋ｘ＋ｘ
2
）
1000
的展开式为ａ
０
＋ａ
１
ｘ＋ａ
２
ｘ
２
＋…＋ａ
2000
ｘ
2000
，
则ａ
０＋ａ
3
＋ａ
6
＋ａ
9
＋…＋ａ
1998
的值为（ ）．
（A）3
333
（B）3
666
（C）3
999
（D）3
2001
6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康 乃馨的价格之和小于22元，则2
枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
（A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高
（C）价格相同 （D）不确定
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
8、若复 数z
1
,z
2
满足|z
1
|=2,|z
2
|=3,3z
1
-2z
2
=
3
-I,则z
1
z
2
= 。
2
9、正方体 ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1 ，则直线A
1
C
1
与BD
1
的距离是 。
10、不等式
13
?2?
的解集为 。
log
1
x2
2

11、函数
y?x?x
2
?3x?2
的值域为 。
12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，
相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种
栽种方案。
二、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、设{a
n
}为等差数列，{b
n
}为等比数列，且
b
1
?a1
，
b
2
?a
2
，
b
3
?a
3
（a
1
2
）,又
n???
2
2
F B
E
D
C
A
2
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?2 ?1
，试求{a
n
}的首项与公差。



< br>x
2
2
2
14、设曲线C
1
:
2
? y?1
(a为正常数)与C
2
:y=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。
a
（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；
（2） O为原点，若C
1
与x轴的负半轴交于点A，当01
时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示 ）。
2



15、用电阻值分别为a
1
、a< br>2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6、（a
1
>a
2
>a
3
>a
4
>a< br>5
>a
6
）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中
应如何选取电阻， 才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。







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二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
（10月4日上午10：00—12：00）
学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、（本题满分50分）
如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD 、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求
证：（1）OB⊥DF，O C⊥DE；（2）OH⊥MN。

二、（本题满分50分）
设x
i
≥0(I=1,2,3,…,n)且
n
n
k
x
k
x
j
?1
，求
?
x
i
的最大值与最小值。
ji?1
?
x
i?1
2
i
?2
1?k?j?n< br>?
三、（本题满分50分）
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的 正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，
试求这些正方形边长之和的最小值。

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2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一．选择题：CBDDCA
1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（ ）．
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定
２２２
讲解：M表示方程ｘ －3ｘ－ａ＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ＞0，所以Ｍ含有2个
２
元素．故 集合Ｍ有2＝4个子集，选Ｃ．
2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．
命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．
以上三个命题中正确的有（ ）．
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所 以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体
（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也 不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题
1正确，选Ｂ．
3．在四个函数ｙ＝ｓ ｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，
以π为周期、在（0， π／2）上单调递增的偶函数是（ ）．
Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜
Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜
讲解：可考虑用排除法．ｙ ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜
ｘ｜的最小正周期为2π，且 在（0，π／2）上是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）上是减
函数，排除Ｃ．故应 选Ｄ．
4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（ ）．
Ａ．
k?83
Ｂ．0＜ｋ≤12
Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或
k?83

讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解 三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，
应选结论Ｄ．
说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．
5．若（1＋ｘ＋ｘ< br>2
）
1000
的展开式为ａ
０
＋ａ
１
ｘ＋ａ
２
ｘ
２
＋…＋ａ
2000
ｘ
2000
，
则ａ
０
＋ａ
3
＋ａ
6
＋ａ
9
＋… ＋ａ
1998
的值为（ ）．
Ａ．3
333
Ｂ．3
666
Ｃ．3
999
Ｄ．3
2001

讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法．
２２
第 6 页 共 18 页

取ω＝－（1／2）＋（／2）ｉ，则ω＝1，ω＋ω＋1＝0．
３２
令ｘ＝1，得
3
1000
＝ａ
０
＋ａ
１
＋ａ
２
＋ａ
３
＋…＋ａ
2000
；
令ｘ＝ω，得
２
0＝ａ
０
＋ａ
1
ω＋ａ
2
ω＋…＋ａ
2000
ω
2000
；
２
令ｘ＝ω，得
２４６
0＝ａ
０
＋ａ
１
ω＋ａ
２
ω＋ａ
３
ω＋…＋ａ
2000
ω
4000
．
三个式子相加得
3
1000
＝3（ａ
０
＋ａ
３
＋ａ
６
＋…＋ａ
1998
）．
ａ
０
＋ａ
３
＋ａ
６
＋…＋ａ
1998
＝3
999
，选Ｃ．
6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之 和小于22元，则
2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高
Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定
讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得，

?
6X?3Y?24
4X?5Y?22

问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法：
解法1：为了整体地 使用条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得ｘ＝
（5ａ－3ｂ）／18，ｙ＝（3 ｂ－2ａ）／9．
∴2ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9．
∵ａ＞24，ｂ＜22，
∴11ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0．
∴2ｘ＞3ｙ，选Ａ．
第 7 页 共 18 页

图1
解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2ｘ －
3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2 ｃ有最小值
为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞3у，选Ａ．
说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：
２
已知函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满足（ ）．
Ａ．－7≤ｆ（3）≤26 Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15
Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20 Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3
（2）如果由条件①、②先分 别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解
法1运用了整体的思想，解法2 则直观可靠，详见文［1］．

二．填空题
7．
23
3
8．
2
7
?
3072
?i
1313
9．
6
6

10．
(0,1)?(1,2)?(4,??)
11．
[1,
3
)?[2,??)
2
12． 732
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
讲解： 若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率ｅ和焦参数ｐ
（焦点到相应准线的距离 ）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长．
解法1：由
?
?
(0)?a ?c?1
?
(
?
)?a?c?13
得
ａ＝2／3，从而ｂ＝

323
，故2ｂ＝
33
解法2： 由ｅ＝ｃ／ａ＝1／2，ｐ＝ｂ
2
／ｃ＝1及ｂ
2
＝ａ
2
－ ｃ
2
，得
323
．从而2ｂ＝．
33
ｂ＝


说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题．
8．若复数ｚ
１< br>、ｚ
２
满足｜ｚ
１
｜＝2，｜ｚ
３
｜＝3，3ｚ１
－2ｚ
２
＝（3／2）－ｉ，则ｚ
１
·ｚ
２
＝______________．
第 8 页 共 18 页

讲解：参 考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符
合学生的思维特点，而且也 不繁．
令ｚ
１
＝2（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα），ｚ
２
＝3（ｃｏ ｓβ＋ｉｓｉｎβ），则由3ｚ
１
－
2ｚ
２
＝（3／2）－ｉ及复数 相等的充要条件，得
?
即
6(cos
?
?cos
?)?32
6(sin
?
?sin
?
??1

?
?12sin((
?
?
?
)2)sin((
?
?< br>?
)2)?32
12cos((
?
?
?
)2)sin ((
?
?
?
)2)??1

二式相除，得ｔｇ（α＋β）／2）＝3／2．由万能公式，得
ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13．
故ｚ
１
·ｚ
２
＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］
＝－（30／13）＋（72／13）ｉ．
说明：本题也可以利用复数的几何意义解．
9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ
１
Ｂ
１
Ｃ1
１
的棱长为1，则直线Ａ
１
Ｃ
１
与ＢＤ１
的距离是
______________．
讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法．

图2
为了保证所作出的表示距离的线段与Ａ
１
Ｃ
１
和ＢＤ
１< br>都垂直，不妨先将其中一条直线置于
另一条直线的垂面内．为此，作正方体的对角面ＢＤＤ
１
Ｂ
１
，则Ａ
１
Ｃ
１
⊥面ＢＤＤ
１Ｂ
１
，且
第 9 页 共 18 页

ＢＤ
１< br>面ＢＤＤ
１
Ｂ
１
．设Ａ
１
Ｃ
１
∩Ｂ
１
Ｄ
１
＝0，在面
ＢＤＤ
１
Ｂ
１
内作ＯＨ⊥ＢＤ
１
，垂足为Ｈ，则线段ＯＨ的长为异面直线Ａ
１
Ｃ
１
与ＢＤ
１
的距
离．在Ｒｔ△ＢＢ
１
Ｄ
１
中 ，ＯＨ等于斜边ＢＤ
１
上高的一半，即ＯＨ＝
／6．
10．不等式｜（1 ／ｌｏｇ
1／2
ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．
讲 解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇ
1／2
ｘ＜－2，或－2／7＜ｌｏ< br>ｇ
1／2
ｘ＜0，或ｌｏｇ
1／2
ｘ＞0．
从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜2
2／7
，或0＜ｘ＜1．
第 10 页 共 18 页

11．函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．
讲解：先平方去掉根号．
由题设得（ｙ－ｘ）
２
＝ｘ
２
－3ｘ＋2 ，则ｘ＝（ｙ
２
－2）／（2ｙ－3）．
由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ
２
－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．
由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）
∪［2，＋∞）．
说明：（ 1）参考答案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验
证，确无必要．
（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．
第 11 页 共 18 页

图3
12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏 植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两
块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择 ，则有______________种栽种方案．
讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次 标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ．按间隔三块Ａ、
Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．
（1）若Ａ、Ｃ、Ｅ种同一种植物，有4种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种植后，Ｂ、Ｄ、Ｅ可从剩余的三种
植物 中各选一种植物（允许重复），各有3种方法．此时共有4×3×3×3＝108种方法．
（2）若 Ａ、Ｃ、Ｅ种二种植物，有Ｐ
４
2
种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种好后，若Ａ、Ｃ种同一种， 则Ｂ有3
３
种方法，Ｄ、Ｆ各有2种方法；若Ｃ、Ｅ或Ｅ、Ａ种同一种，相同（只是次序不同） ．此时共有Ｐ
４
×3（3×2×2）
＝432种方法．
３３
（3 ）若Ａ、Ｃ、Ｅ种三种植物，有Ｐ
４
种种法．这时Ｂ、Ｄ、Ｆ各有2种种方法．此时共有Ｐ４
×2×2×2
＝192种方法．
根据加法原理，总共有Ｎ＝108＋432＋192＝732种栽种方案．
说明：本题是一个环形排列问题．

三．解答题
13．设所求公差为d，∵a
1
＜a
2
，∴d＞0．由此得
2
(a
1
?2d)
2
?(a
1
?d)
4
化简得：
2a
1
2
?4a
1
d?d
2
?0

a
1
解得：
d?(?2?2)a
1
……………………………………………………… 5分
而
?2?2?0
，故a
1
＜0
若
d?(?2?2)a
1
，则
q?
2
a
2
a
1
2
2
a
2
?(2?1)
2

若
d?(?2?2)a
1
，则
q?
a
1
2
? (2?1)
2
……………………………… 10分
第 12 页 共 18 页

但
lim(b
1
?b
2
??? b
n
)?2?1
存在，故| q |＜1，于是
q?(2?1)
2
不可能．
n???
从而< br>a
1
2
1?(2?1)
2
?2?1?a
1
2
?(22?2)(2?1)?2

所以
a
1
??2,d?(?2?2)a
1
?22?2
……………………………… 20分
?
x
2
2
?
2?y?1
14．解：(1)由
?
a
消去y得：
x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
?0
①
?
y
2
?2(x?m)
?
设
f(x) ?x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
，问 题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．
只需讨论以下三种情况：
a
2
?1
1°△＝0得：
m?
，此时x
p
＝－a
2
，当且仅当－a＜－a
2
＜a，即0＜a＜1时适合；
2
2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；
3°f (－a)＝0得m＝a，此时x
p
＝a－2a
2
，当且仅当－a＜a －2a
2
＜a，即0＜a＜1时适合．
f (a)＝0得m＝－a，此时x
p
＝－a－2a
2
，由于－a－2a
2
＜－a，从而m≠－ a．
a
2
?1
综上可知，当0＜a＜1时，
m?
或－a＜m≤a；
2
当a≥1时，－a＜m＜a．……………………………………………… 10分
(2)△OAP的面积
S?
∵0＜a＜
1
ay
p

2
1
，故－a＜m≤a时， 0＜
?a
2
?aa
2
?1?2m
＜a，
2
由唯一性得
x
p
??a
2
?aa
2
?1?2m

显然当m＝a时，x
p
取值最小．由于x
p
＞0，从而y< br>p
＝
1?
x
2
p
a
2
取值最大，此 时
y
p
?2a?a
2
，
∴
S?aa?a
2
．
a
2
?1
1
当
m?
时，x
p＝－a
2
，y
p
＝
1?a
2
，此时
S ?a1?a
2
．
2
2
1
下面比较
aa?a
2
与
a1?a
2
的大小：
2
11
令
aa?a
2
?a1?a
2
，得
a?

2
3
11
1
故当0＜a≤时，
aa?a
2
≤
a1?a
2
，此时
S
max
?a1?a
2
．
22
3
111
当
?a?
时，< br>aa?a
2
?a1?a
2
，此时
S
max
? aa?a
2
．……… 20分
2
32
15．解：设6个电阻的组 件(如图3)的总电阻为R
FG
，当R
i
＝a
i
，i＝ 3，4，5，6，R
1
、R
2
是a
1
、a
2
的
第 13 页 共 18 页

任意排列时，R
FG
最小 …………………………………………………… 5分
证明如下：
1．设当两个电 阻R
1
、R
2
并联时，所得组件阻值为R，则
111
??< br>．故交换二电阻的位置，不改
RR
1
R
2
变R值，且当R1
或R
2
变小时，R也减小，因此不妨取R
1
＞R
2< br>．

2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R
AB


R
AB
?
RR?R
1
R
3
?R
2
R
3
R
1
R
2
?R
3
?
12

R
1
?R
2
R
1
?R
2
显然R
1
＋R
2
越大，R
AB
越小，所以为使R
A B
最
小必须取R
3
为所取三个电阻中阻值最小的—个．
3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R
CD


若记
S
1
?

1?i?j?4
?
R
i
R
j
,

S
2
?
1?i?j?k?4
?
R
i
Rj
R
k
，则S
1
、S
2
为定值，于是
R
CD
?
S
2
?R
1
R
2
R3

S
1
?R
3
R
4
只有当 R
3
R
4
最小，R
1
R
2
R
3< br>最大时，R
CD
最小，故应取R
4
＜R
3
，R
3
＜R
2
，R
3
＜R
l
，即得总电阻的阻值最< br>小 ………………………………………………………………………… 15分
4°对于图3 把由R
1
、R
2
、R
3
组成的组件用等效电阻R
A B
代替．要使R
FG
最小，由3°必需使R
6
＜R
5
；
且由1°应使R
CE
最小．由2°知要使R
CE
最小，必需使R
5
＜R
4
，且应使R
CD
最小．
而由3 °，要使R
CD
最小，应使R
4
＜R
3
＜R
2且R
4
＜R
3
＜R
1
，
这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分

第 14 页 共 18 页

2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆
∴∠BDF＝∠BAC
又∠OBC＝
1
(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC
2
∴OB⊥DF．
(2)∵CF⊥MA
∴MC

2
－MH

2
＝AC

2
－AH

2
①
∵BE⊥NA
∴NB

2
－NH

2
＝AB

2
－AH

2
②
∵DA⊥BC
∴BD

2
－CD

2
＝BA

2
－AC

2
③
∵OB⊥DF
∴BN

2
－BD

2
＝ON

2
－OD

2
④
∵OC⊥DE
∴CM

2
－CD

2
＝OM

2
－OD

2
⑤ …………………………………… 30分
①－②＋③＋④－⑤，得
NH

2
－MH

2
＝ON

2
－OM

2
MO

2
－MH

2
＝NO

2
－NH

2

∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 50分
另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，
设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则
k
AC
??
∴直线AC的方程为
y??
aa
,k
AB
??

cb
ac
(x?c)
，直线BE的方程为
y?(x?b)

ca
c
?
y?(x?b)
?
a
2
c?bc
2
ac
2
?abc
?
a
,
由
?
得E点坐标为E(
2
)
222
a?ca?c?
y??
a
(x?c)
?
c
?
a
2< br>b?b
2
cab
2
?abc
,
同理可得F(
2
)
222
a?ba?b
acc
?(x?)

2a2
b?c
直线BC的垂直平分线方程为
x?

2
acc
?
y??(x?)
?
b?cbc?a
2
?
2a2
由
?
得O()
,
22a
b?c
?
x?
?
2
?
直线AC的垂直平分线方程为
y?

k
OB
bc?a
2
bc?a
2
2a
??
b?c
ac?ab
?b2
,k
DF
ab
2
?abcab?ac
?
2< br>?

ab?b
2
ca
2
?bc
第 15 页 共 18 页

∵
k
OB
k
DF
??1
∴OB⊥DF
同理可证OC⊥DE．
在直线BE的方程
y?
bc
c
)
(x?b)
中令x＝0得H(0，
?
a
a
bc?a
2
bc
?
a
2
?3bc
2aa
∴
k
OH
?

?
b?c
ab?ac
2
ab?ac
直线DF的方程为
y?
2
x

a?bc
ab?ac
?
y?x
?
a
2
c?bc
2
abc?ac
2
?
a
2
?bc
,
2
由
?
得N (
2
)
22
a
a?2bc?ca ?2bc?c
?
y??(x?c)
?
c
?
a
2b?b
2
cabc?ab
2
,
同理可得M (
2
)
a?2bc?b
2
a
2
?2bc?b
2
∴
k
MN
a(b
2
?c
2
)(a
2
?bc)ab?ac

???
(c?b)(a
2
?bc)(a
2
?3bc)a
2
?3bc
∵k
OH
·k
MN
＝－1，∴OH⊥MN．
二．解：先求最小值，因为
(
?
x)?
?
2
i
i?1i?1
nn
xi
2
?2
1?k?j?n
?
k
x
k
x
j
?1?
j
?
x
i?1
n
i
≥1
等号成立当且仅当存在i使得x
i
＝1，x
j
＝0，j＝i
∴
?
x
i?1
n
i
最小值为1． …………………………………………………………… 10分
再求最大值，令
x
k
?ky
k

∴
?
ky
k?1
n
2
k
?2
1?k?j?n
?
kyy
k
n
j
?1
①
设
M?
?
x?
?
k
k?1k?1
n
?y
1
?y
2
???y
n
?a
1
?y
2
???y
n
?a
2
?
ky
k， 令
?

??
?
?
y
n
?a
n
?
22
???a
n
?1
…………………………………………………… 30分 则①?
a
1
2
?a
2
令
a
n?1
＝0，则
M?
?
k?1
n
k(a
k
?a< br>k?1
)

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< br>?
?
k?1
n
ka
k
?
?
k?1< br>n
ka
k?1
?
?
k?1
n
ka
k
?
?
k?1
n
k?1a
k
?
?
(
k?1
n
k?k?1)a
k

由柯西不等式得：

M?[
?
k?1
n
(k?k?1)](
2
1
2
?
k?1
n
2
2
a
k
)
1
?[
?
k?1
n
(k?k?1)
2
]
2

1
22
a
k
a
n
a
1
2
??????
等号成立?

22
1
(k?k?1)(n?n?1)
22
a
1
2
?a
2
???a
n
2
a
k

?
1?(2?1)?? ?(n?n?1)
22
?
(k?k?1)
2

?a
k
?
k?k?1
[
?
(
k?1
n
(k=1，2，…，n)
1
2
k?k?1)
2
]
由于a
1
≥a
2
≥…≥a
n
，从而
y
k
?a
k?a
k?1
?
2k?(k?1?k?1)
[
?
(
k?1
n
?0
，即x
k
≥0
k?k?1)
2
]
1
2
所求最大值为
[< br>?
k?1
n
(k?k?1)
2
]
2
…………………………………………… 50分
1
三．解：记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)＝rn＋n－(m，n) (*)
其中(m，n) 表示m和n的最大公约数 …………………………………………… 10分
事实上，不妨没m≥n
(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn＋n－(m，n)
当用m＝1时，命题显然成立．
假设当，m≤k时，结论成立(k≥1)． 当m＝k＋1时，若n＝k＋1，则命题显然成立．若n＜k＋1，从
矩形ABCD中切去正方形AA< br>1
D
1
D(如图)，由归纳假设矩形A
1
BCD
1< br>有一种分法使得所得正方形边长之和恰
为m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原 矩形ABCD有

一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，
n) …………………………………… 20分
(2)关于m归纳可以证明(*)成立．
当m＝1时，由于n＝1，显然f (m，n)＝rn＋n－(m，n)
假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f (m，n)＝rn＋n－(m，
n)
若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f (m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．
当1 ≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为a
l
，a
2，…，a
p

不妨a
1
≥a
2
≥…≥a
p

显然a
1
＝n或a
1
＜n．
若a
1
＜n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)．于
是a
1
＋a
2
＋…＋a
p
不小于 AB与CD之和．
所以a
1
＋a
2
＋…＋a
p
≥2m＞rn＋n－(m，n)
若a
1
＝n，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别 为a
2
，…a
p
的正方形，由归
DD
C
n
A
m
A
B
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纳假设
a
2
＋…＋a
p
≥m－n＋n－(m－n，n))＝rn－(m，n)
从而a
1
＋a
2
＋…＋a
p
≥rn＋n－(m，n)
于是当rn＝k＋1时，f (m，n)≥rn＋n－(m，n)
再由(1)可知f (m，n)＝rn＋n－(m，n)． ………………………………………… 50分
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