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解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 17:11
tags:全国高中数学联赛

高中数学数量积视频-高中数学提高教辅书


2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲:解析几何
1、(2009 一试2)已知直线
L:x?y?9?0
和圆
M:2x
2
?2y
2
?8x?8y?1?0
,点
A
在直线
L
上,
B

C
为圆
M
上两点,在
?ABC
中,
?B AC?45?

AB
过圆心
M
,则点
A
横坐标范围 为.

6
?
【答案】
?
3,
9?a
?< br>,则圆心
M
到直线
AC
的距离
d?AMsin45?
,由直线
AC
与圆
M
相交,得【解析】设
A
?
a,
d≤
34
.解得
3≤a≤6

2

x< br>2
y
2
2、(2009一试5)椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
上任意两点
P

Q
, 若
OP?OQ
,则乘积
OP?OQ
的最小值
ab
为.
2a
2
b
2
【答案】
22

a?b
?
π
?
π
?
?
??
【解析】设
P
?
OPcos
?
,OPsin
?
?

Q
?
OQcos
?
?
?
?
,OQsin
?
?
?
?
?

2
?
2
?
?
??
?

P

Q
在椭圆上,有
cos
2
?
sin
2
?
1sin
2
?
cos
2
?

??
2

?
2
?
2
2
2
2
ab
ab
OP
OQ
1
11
2a
2
b
2
2a
2
b
2
①+②

??
2
?
2
. 于是当
OP?OQ?
时,
OPOQ
达到最小值
22
22
ab
a
2
?b
2
a?b
OPOQ
11

3、(2010一试3)双曲线
x?y?1
的右半支与直线
x ?100
围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐
标均为整数的点)的个数是.
【答案】9800


4、(2011一试7)直线
x?2y?1 ?0
与抛物线
y
2
?4x
交于
A,B
两点,
C
为抛物线上的一点,
?ACB?90?
,则

C
的坐标 为.
【答案】
(1,?2)

(9,?6)



t
4
?(x
1
?x
2
)t
2
? x
1
?x
2
?4t
2
?2(y
1
?y2
)t?y
1
?y
2
?0

22

< p>

t
4
?14t
2
?16t?3?0
,即(t
2
?4t?3)(t
2
?4t?1)?0

显然
t
2
?4t?1?0
,否则
t
2
?2?2t?1? 0
,则点
C
在直线
x?2y?1?0
上,从而点
C
与点
A
或点
B
重合.所以
t
2
?4t?3?0,解得
t
1
??1,t
2
??3
.故所求点
C
的坐标为
(1,?2)

(9,?6)


5、 (2012一试4)抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点为
F,准线为l,
A,B
是抛物线上的两个动点,且满足
?AFB?
|MN|
?
.设线段AB的中点
M
在l上的投影为
N
,则的最大值是 .
3
|AB|
【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得
MN?
222
AF?BF
.

2

?AF B
中,由余弦定理得
AB?AF?BF?2AF?BFcos
2
2
?
3

AF?BF
2
AF?BF
2
2
)?()?MN.

?(AF?BF)?3AF?BF
?(AF?BF)?3(
22
当且仅当AF?BF
时等号成立.故

6、(2013一试2)在平面直角坐标系
xOy
中,点
A、B
在抛物线
y
2
?4x
上,满足
OA?OB??4

F
是抛物
线的焦点.则
S
?OFA
?s
?OFB
?
.
【答案】2.
2
y
1
2
y
2
【解析】点
F
坐标为
?
1,0
?
.设
A
?
x
1
,y
1
?

B
?
x
2
,y
2
?
,则
x
1
?

x
2?
,故
4
4
11
22
?4?OA?OB?x
1
x
2
?y
1
y
2
?
?
y
1
y
2
?
?y
1
y
2
,即
?< br>y
1
y
2
?8
?
?0
,故
y
1
y
2
??8
.
1616
2
?
1??
1
?
1
S
?OFA
?S
?OFB
?
?
OF?y
1
?
?
?
OF?y
2
?
??OF?y
1
y
2
?2
.
?
2< br>??
2
?
4
MN
AB
的最大值为1.
< br>7、(2013一试7)若实数
x,y
满足
x?4y?2x?y
,则< br>x
的取值范围是.
【答案】
?
0
?

?
4,20
?
.


b
4
2
O
B
C
1
A
a

如图所示,在
aOb平面内,点
?
a,b
?
的轨迹是以
?
1,2
?
为圆心,
5
为半径的圆在
a,b?0
的部分,即点
O与弧
ACB
的并集.因此
a
2
?b
2
??
0
?
?
2,25
?
,从而
x?a
2
?b
2
?
?
0
?
??
?
4,20
?
.学%科网

8、(2014一试6)设椭圆
?
的两个 焦点是
F
1
,F
2
,过点
F
1
的直线与< br>?
交于点
P,Q
,若
|PF
2
|?|F
1< br>F
2
|
,且
3|PF
1
|?4|QF
1|
,则椭圆
?
的短轴与长轴的比值为__________.
【答案】
2
6

7
【解析】
|PF
1|?4,|QF
1
|?3,记椭圆T的长轴,短轴的长度分别为2a,2b,焦距为

2c,则|PF
2
|?|F
1
F
2
|?2c, 且由椭圆的定义知,2a?|QF
1
|?|QF
2
|?|PF
1|?|PF
2
|?2c?4.

于是|QF
2
|?|P F
1
|?|PF
2
|?|QF
1
|?2c?1.


设H为线段PF
1
的中点,则|F
1
H|?2,|QH| ?5,且有F
2
H?PF
1
.由勾股定理知,
|QF
2|
2
-|QH|
2
?|F
2
H|
2
? |F
1
F
2
|
2
?|F
1
H|
2

即(2c?1)
2
?5
2
?(2c)
2
?2
2
,解得c?5,a?7

b?26,因此椭圆T的短轴与长轴的比值为
b26
?.

a7


y
2
?1
,左、右焦点分 别为
F
1

F
2
,过点
F
2
作直 线与双曲线C9、(2016一试7)双曲线C的方程为
x?
3
2
的右半支交 于点P,Q,使得
?F
1
PQ
=90°,则
?F
1
PQ
的内切圆半径是 .
【答案】
7?1

【解析】



x< br>2
y
2
??1

F

C
的上焦点,
A

C
的10、(2017一试3)在平面直角坐标系
xoy
中,椭圆
C
的方程为
910
右顶点,
P

C上位于第一象限内的动点,则四边形
OAPF
的面积的最大值为.
【答案】
311

2
【解析】易知
A(3,0),F(0, 1).设P的坐标是(3cos
?
,10sin
?
),
?
? [0,
?
2
],则

113311
S
OAPF?S
?OAF
?S
?OFP
??3?10sin
?
?? 1?3cos
?
?(10cos
?
?sin
?
)?sin(
?
?
?
).
2222

10311
其中< br>?
=arctan.当
?
?arctan10时,四边形OAPF面积的最大值 为.
102

x
2
y
2
11、(2009一试9) 设直线
l:y?kx?m
(其中
k

m
为整数)与椭圆??1
交于不同两点
A

B
,与双
1612
x
2
y
2
曲线
??1
交于不同两点
C
D
,问是否存在直线
l
,使得向量
AC?BD?0
,若存在,指 出这样的直
412
线有多少条?若不存在,请说明理由.
?
y?kx?m< br>?
【解析】由
?
x
2
y
2
消去
y< br>化简整理得
3?4k
2
x
2
?8kmx?4m
2?48?0

?1
?
?
?
1612
??



A
?
x
1
,y
1
?

B
?
x
2
,y
2
?
,则
x
1
?x
2
??
2
8km

2
3?4k< br>?
1
?
?
8km
?
?4
?
3?4k
2
??
4m
2
?48
?
?0

?
y?kx?m
?

?
x
2
y< br>2
消去
y
化简整理得
3?k
2
x
2
?2kmx?m
2
?12?0

?1
?
?
?412
??

C
?
x
3
,y
4
?

D
?
x
4
,y
4
?
,则
x< br>3
?x
4
?
2
2km

3?k
2< br>?
2
?
?
?2km
?
?4
?
3?k
2
??
m
2
?12
?
?0

因为
AC?BD?0
,所以
?
x
4
?x
2
?
?
?
x
3
?x
1
?
?0
,此时
?
y
4
?y
2
?
?
?
y
3
?y
1
?
?0


x
1?x
2
?x
3
?x
4

?
所以
2km?0

?
8km2km

?
22
3?4 k3?k
41
.由上式解得
k?0

m?0
.当
k ?0
时,由①和②得
?23?m?23
.因
m
?
22
3?4k3?k
是整数,所以
m
的值为
?3

?2

?1

0

1

2

3.当
m?0
,由①和②得
?3?k?3
.因
k
是整数,
所以
k??1

0

1
.于是满足条件的直线共有 9条.

2
12、(2010一试10)已知抛物线
y?6x
上 的两个动点
A(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y2
)
,其中
x
1
?x
2

x
1
?x
2
?4
.
线段
AB
的垂直平分线与
x
轴交于点
C
,求
?ABC
面积的最大值.
【解析】解 法一:设线段
AB
的中点为
M(x
0
,y
0
),则
x
0
?
x
1
?x
2
y?y2
?2,y
0
?
1

22
k
AB< br>?
y
2
?y
1
y?y
1
63
?2
2
??
.
x
2
?x
1
y
2
?y
1
y
0
y
2
y
1
2?
66
y
0
(x?2)
. (1)
3
线段
AB
的垂直平分线的方程是
y?y
0
??

222
依题意,
y
1
,y
2
是方 程(3)的两个实根,且
y
1
?y
2
,所以
??4y
0
?4(2y
0
?12)??4y
0
?48?0
,
?23?y
0
?23
.






y
A
B
O
C(5,0)
x




AB?(x
1
?x
2
)
2
? (y
1
?y
2
)
2
?(1?(
2
y
0
?(1?)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]

9
2
y
0
22?(1?)(4y
0
?4(2y
0
?12))

9y
0
2
))(y
1
?y
2
)
2

3
?
2
22
(9?y
0
)(12?y
0
)
.
3
2
(5?2)
2
?(0?y
0
)
2
?9?y
0
. 定点
C(5,0)
到线段
AB
的距离
h?CM?
S
?ABC
?
11
11
222
222
AB?h?(9?y0
)(12?y
0
)?9?y
0
?(9?y
0
)(24?2y
0
)(9?y
0
)

23
32222
?24?2y
0
?9?y
0
14
11
9 ?y
0
7
.
?()
3
?
3
323
22
当且仅当
9?y
0
,即
y
0
??5
,
A(
?24?2y< br>0
6?356?35
,5?7),B(,5?7)

33
A (
6?356?35
,?(5?7)),B(,?5?7)
时等号成立.
33
14
7
.
3
所以,
?ABC
面积的最大值为
1
22
S
?
6t
1
2
t
2
?6t
1
t
2
?56t
2
))
2

ABC
?((56t
1
?
2
33314
?(t
1
?t
2
)2
(t
1
t
2
?5)
2
?(4?2t
1
t
2
)(t
1
t
2
?5)(t
1
t
2
?5)?()
3
,
2223


所以< br>S
?ABC
?
14
2
7
, 当且仅当
(t< br>1
?t
2
)
2
?t
1
t
2
?5

t
1
2
?t
2
?4
,即
3
t
1
?
7?5
6
,t
2
??
7 ?5
6
,
A(
6?356?35
,5?7),B(,5?7)

33
A(
14
6?356?35
7
.
,?(5?7)),B(,?5?7)
时等号成立.所以,
?ABC
面积的最 大值是
3
33

1
x
2
y
2
l< br>13、(2011一试11)作斜率为的直线与椭圆
C

?
,且
P(32,2)

?1
交于
A,B
两点(如图所示)
3< br>364
直线
l
的左上方.
(1)证明:△
PAB
的 内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若
?APB?60?
,求△
PAB
的面 积.
【解析】(1)

y




设直线
l

y?
1
x?m

A(x
1,y
1
),B(x
2
,y
2
)

3
P
O
A
x
B
1x
2
y
2
22

y?x?m
代入
??1
中,化简整理得
2x?6mx?9m?36?0

3
364

上式中,分 子
?(x
1
?m?2)(x
2
?32)?(x
2
? m?2)(x
1
?32)

229m
2
?36
?x
1
x
2
?(m?22)(x
1
?x
2
)? 62(m?2)???(m?22)(?3m)?62(m?2)

332
?3m2
?12?3m
2
?62m?62m?12?0

1
3
1
3
从而,
k
PA
?k
PB
?0


P
在直线
l
的左上方,因此,
?APB
的 角平分线是平行于
y
轴的直线,所以△
PAB
的内切圆的圆心在直线
x?32
上.
( 2)若
?APB?60?
时,结合(1)的结论可知
k
PA
?3,k
PB
??3

x
2
y
2
直线
P A
的方程为:
y?2?3(x?32)
,代入
??1
中,消去
y

14x
2
?96(1?33)x?18(13?33)?0

364


它的两根分别是
x
1

32
,所以
x
1
?32?
|PA|?1?(3)
2
?|x
1
?32|?
18(13?33)32(13?33)
,即
x
1< br>?
.所以
1414
32(33?1)

7
同理可求得
|PB|?
32(33?1)

7
1
所以S
?PAB
??|PA|?|PB|?sin60?
2

132(33?1)32(33?1)31173
?????.
277249

14、(2012一试11)如图5,在平面直角坐标系
XOY
中,菱形
AB CD
的边长为
4
,且
OB?OD?6

22
(1 )求证:
|OA|?|OC|
为定值;(2)当点A在半圆
(x?2)?y?4

2?x?4
)上运动时,求点
C

轨迹.








(2)设
C(x,y), A(2?2cos
?
,2sin
?
),
其中
?
?? XMA(?
2
?
2
?
?
?
?
2
) ,

?XOC?
?
2
.

222
因为< br>OA?(2?2cos
?
)?(2sin
?
)?8(1?cos
?
)?16cos
?
2
,
所以
OA?4cos
?
2
2
由(1)的结论得
OCcos
?
2
?5,所以
x?OCcos
?
2
?5.
从而
y?OCsin< br>?
2
?5tan
?
?[?5,5].

故点
C
的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为
A(5,5),B(5,?5)
学科网


x
2
y
2
15、(2013一试11) (本题满分20分)在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆的方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

A
1
、A
2
ab
分别为椭圆的左、右顶点,
F
1
、F
2
分 别为椭圆的左、右焦点,
P
为椭圆上不同于
A
1

A
2
的任意一点.若平面


中两个点
Q、R
满足
QA< br>1
?PA
1

QA
2
?PA
2
,< br>RF
1
?PF
1
,
RF
2
?PF
2
,试确定线段
QR
的长度与
b
的大小关系,
并给出证明.
【解析】令
c?a
2
?b
2
,则
A
1?
?a,0
?

A
2
?
a,0
?
F
1
?
?c,0
?

F
2
?
c,0
?
.
22
x
0
y
0

P
?
x
0
,y
0
?

Q
?
x
1
,y
1
?

R
?
x
2
,y
2
?
,其中
2
?
2
?1

y
0
?0
.
ab

QA
1
? PA
1

QA
2
?PA
2
可知

AQ
1
?A
1
P?
?
x
1
?a
?
?
x
0
?a
?
?y
1
y
0?0




1

A
2
Q?A
2
P?
?
x
1
?a
?
?
x
0
?a
?
?y
1
y
0
?0



2

2
?
x
0
?c
2
?
根据
RF
1
?PF
1
,
RF
2
?PF
2
,同理可得
R
?
?x
0
,< br>
?
.
y
0
??

22
x
0
?a
2
x
0
?c
2
b
2
因此
QR?

??
y
0
y
0
y
0< br>由于
y
0
?
?
0,b
?
,故
QR? b
(其中等号成立的充分必要条件是
y
0
?b
,即点
P
?
0,?b
?
).

16、(2014一试9)( 本题满分16分)平面直角坐标系
xOy
中,
P
是不在
x
轴 上一个动点,满足条件:过
P
可作抛物线
y?4x
的两条切线,两切点连线< br>l
P

PO
垂直.设直线
l
P

P O

x
轴的交点分别为
Q,R

(1)证明:
R
是一个顶点.
(2)求
2
|PQ|
的最小值.
|QR|
【解析】(1) 设P点的坐标为(a,b)
(b?0)
,易知
a?0
,记两切点
A, B
的坐标为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),

PA,PB
的方程分别为
yy
1
?2(x?x
1
)()

1yy
2
?2(x?x
2
)(2)
而点P的坐标为(a,b)同时满足(1)(2),
故A,B的坐标均满足 方程
by=2(x+a)(3)
,故(3)就是直线AB的方程.
直线PO与AB的 斜率分别为
从而(3)即为
y=
b2b2
与,由PO?AB知,=-1,故a =-2

abab
2
(x?2),
故AB与x轴的交点R是定点(2,0).
b


(2)因为a=-2,故直线PO的斜率
k
1
??,直线 PR的斜率k
2
??.设

b
2
b
4
?O PR=
?


?
为锐角,且
bb
1?(?)(? )
1?k
1
k
2
|PQ|18?b
2
28?b2
24
??||?||???22

bb
|QR|tan
?
k
1
?k
2
2|b|2|b|
??
24
|PQ|
当b??22时,的最小值为22.

|QR|

x2
?y
2
?1
的左,右焦点,17、(2015一试11)(本题满分2 0分)在平面直角坐标系
xOy
中,
F
1
,F
2
分 别是椭圆
2
l
C
交于两个不同的点
A,B
,焦点
F
2
到直线
l
的距离为
d
.如果直线设不经过焦点
F
1
的直线与椭圆
AF
1
,l,BF
1
的斜率成等差 数列,求
d
的取值范围.

由于点A、B不重合,且直线l的斜率存在,故
x
1
,x
2
是方程(1)的两个不同实根,因此有(1)的判别式

?=(4km)
2
?4(2k
2
?1)(2m
2
?2)?8(2k
2
?1?m
2
)?0,

2k? 1?m.
22
(2)

y
1
y
、k、
2
依次成等差数列,
x
1
?1x
2
?1
由直线
AF
1
、l、BF
1
的斜率
y
1
y
所以
+
2
?2k,又y< br>1
?kx
1
?m,y
2
?kx
2
?m,x
1
?1x
2
?1
(kx
1
?m)(x
2
?1)?(kx
2
?m)(x
1
?1)?2k(x
1< br>?1)(x
2
?1).

化简并整理得
(m?k)(x
1
?x
2
?2)?0

假如
m?k
,则直线L的方程为y=kx+k,即l经过点
F
,不符 合条件.
(,0)
1
-1
因此必有
x
1
?x2
?2=0,
故由方程(1)及韦达定理知,
4km1
??(x?x)?2,即m?k?.(3)

12
2
2k?12k


(2)、(3)知,2k
2
?1?m
2
=(k?

1
2
1
2

化简得
k
2
?
2
,这等价于
|k|?.

2k4k
2反之当m,k满足(3及)
|k|?
2
时,l必不经过点
F
1< br>(否则将导致
m?k,
与(3)矛盾),
2
1
1t
2
313
2
d=?(?)??(t?).
注意到
|k|?
, 令
t?
,则上式可改写为
?1

t?(1,3),
t222 t
2
k
2
考虑到函数
f(t)?

(4)

13
?(t?)

[1,3]
上单调递减,故由(4)得
f (3)?d?f(1),

d?(3,2)

2t
18、(2016 一试11)(本题满分20分)如图所示,在平面直角坐标系
xOy
中,F是
x
轴正半轴上的一个动
点.以F为焦点,O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点,Q是x
轴负半轴上一点,使得PQ为
C的切线,且|PQ|=2.圆
C
1,C
2
均与直线OP相切于点P,且均与轴相切.求点F的坐标,使圆
C
1

C
2

面积之和取到最小值.
【解析】


设抛物线C的方程是
y?2px(p?0)
,点Q的坐标为
(?a ,0)(a?0)
,并设
C
1
,C
2
的圆心分别为
2
O
1
(x
1
,y
1
),O
2
( x
2
,y
2
)
.
设直线PQ的方程为
x?my? a(m?0)
,将其与C的方程联立,消去
x
可知
y?2pmy?2pa?0
.
因为PQ与C相切于点P,所以上述方程的判别式为
??4pm?4?2pa?0
,解得
m?
点P的坐标为
(x
P
,y
P
) ?(a,2pa)
.于是
22
2
2a
.进而可知,
p|PQ|?1?m
2
|y
P
?0|?1?
2a
?2pa ?2a(p?2a)
.
p


由|PQ|=2可得
4a
2
?2pa?4


结合①,就有
y
1
y
2
?a
2
?2pa?4?3a
2


O
1
,P,O
2
共线,可得
y
1?2pa
2pa?y
2
?
y
1
?y
P
OPOMy
?
1
?
1
?
1
.
y
P
?y
2
PO
2
O
2
Ny
2
化简 得
y
1
?y
2
?
22
2
2pa
y
1
y
2


T?y
1
?y
2< br>,则圆
C
1
,C
2
的面积之和为
?
T
.根据题意,仅需考虑T取到最小值的情况.
根据②、③可知,
T?(y
1?y
2
)
2
?2y
1
y
2
?
4
22
y
1
y
2
?2y
1
y
2< br>
2pa
4(4?3a
2
)(2?a
2
)
2 22
?(4?3a)?2(4?3a)?
.学科*网
22
4?4a1?a< br>2
2
作代换
t?1?a
,由于
4t?4?4a?2pa?0< br>,所以
t?0
.于是
T?
(3t?1)(t?1)11
?3t??4?23t??4?23?4
.
ttt
3
1
,此时
a?1?t?1?
,因此结合①得, < br>3
3
上式等号成立当且仅当
t?
p1?a
2
??2a
t
1?
1
3
?
3t
3?3
?1
3?3

从而F的坐标为
(
p1
,0)?(,0)
.
2
3?3



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