高中数学数量积视频-高中数学提高教辅书
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲:解析几何
1、(2009
一试2)已知直线
L:x?y?9?0
和圆
M:2x
2
?2y
2
?8x?8y?1?0
,点
A
在直线
L
上,
B
,
C
为圆
M
上两点,在
?ABC
中,
?B
AC?45?
,
AB
过圆心
M
,则点
A
横坐标范围
为.
6
?
【答案】
?
3,
9?a
?<
br>,则圆心
M
到直线
AC
的距离
d?AMsin45?
,由直线
AC
与圆
M
相交,得【解析】设
A
?
a,
d≤
34
.解得
3≤a≤6
.
2
x<
br>2
y
2
2、(2009一试5)椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
上任意两点
P
,
Q
,
若
OP?OQ
,则乘积
OP?OQ
的最小值
ab
为.
2a
2
b
2
【答案】
22
a?b
?
π
?
π
?
?
??
【解析】设
P
?
OPcos
?
,OPsin
?
?
,
Q
?
OQcos
?
?
?
?
,OQsin
?
?
?
?
?
.
2
?
2
?
?
??
?
由
P
,
Q
在椭圆上,有
cos
2
?
sin
2
?
1sin
2
?
cos
2
?
②
??
2
①
?
2
?
2
2
2
2
ab
ab
OP
OQ
1
11
2a
2
b
2
2a
2
b
2
①+②
得
??
2
?
2
.
于是当
OP?OQ?
时,
OPOQ
达到最小值
22
. 22
ab
a
2
?b
2
a?b
OPOQ
11
3、(2010一试3)双曲线
x?y?1
的右半支与直线
x
?100
围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐
标均为整数的点)的个数是.
【答案】9800
4、(2011一试7)直线
x?2y?1
?0
与抛物线
y
2
?4x
交于
A,B
两点,
C
为抛物线上的一点,
?ACB?90?
,则
点
C
的坐标
为.
【答案】
(1,?2)
或
(9,?6)
即
t
4
?(x
1
?x
2
)t
2
?
x
1
?x
2
?4t
2
?2(y
1
?y2
)t?y
1
?y
2
?0
,
22
即
t
4
?14t
2
?16t?3?0
,即(t
2
?4t?3)(t
2
?4t?1)?0
.
显然
t
2
?4t?1?0
,否则
t
2
?2?2t?1? 0
,则点
C
在直线
x?2y?1?0
上,从而点
C
与点
A
或点
B
重合.所以
t
2
?4t?3?0,解得
t
1
??1,t
2
??3
.故所求点
C
的坐标为
(1,?2)
或
(9,?6)
.
5、 (2012一试4)抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点为
F,准线为l,
A,B
是抛物线上的两个动点,且满足
?AFB?
|MN|
?
.设线段AB的中点
M
在l上的投影为
N
,则的最大值是 .
3
|AB|
【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得
MN?
222
AF?BF
.
2
在
?AF B
中,由余弦定理得
AB?AF?BF?2AF?BFcos
2
2
?
3
AF?BF
2
AF?BF
2
2
)?()?MN.
?(AF?BF)?3AF?BF
?(AF?BF)?3(
22
当且仅当AF?BF
时等号成立.故
6、(2013一试2)在平面直角坐标系
xOy
中,点
A、B
在抛物线
y
2
?4x
上,满足
OA?OB??4
,
F
是抛物
线的焦点.则
S
?OFA
?s
?OFB
?
.
【答案】2.
2
y
1
2
y
2
【解析】点
F
坐标为
?
1,0
?
.设
A
?
x
1
,y
1
?
,
B
?
x
2
,y
2
?
,则
x
1
?
,
x
2?
,故
4
4
11
22
?4?OA?OB?x
1
x
2
?y
1
y
2
?
?
y
1
y
2
?
?y
1
y
2
,即
?< br>y
1
y
2
?8
?
?0
,故
y
1
y
2
??8
.
1616
2
?
1??
1
?
1
S
?OFA
?S
?OFB
?
?
OF?y
1
?
?
?
OF?y
2
?
??OF?y
1
y
2
?2
.
?
2< br>??
2
?
4
MN
AB
的最大值为1.
< br>7、(2013一试7)若实数
x,y
满足
x?4y?2x?y
,则< br>x
的取值范围是.
【答案】
?
0
?
?
4,20
?
.
b
4
2
O
B
C
1
A
a
如图所示,在
aOb平面内,点
?
a,b
?
的轨迹是以
?
1,2
?
为圆心,
5
为半径的圆在
a,b?0
的部分,即点
O与弧
ACB
的并集.因此
a
2
?b
2
??
0
?
?
2,25
?
,从而
x?a
2
?b
2
?
?
0
?
??
?
4,20
?
.学%科网
8、(2014一试6)设椭圆
?
的两个
焦点是
F
1
,F
2
,过点
F
1
的直线与<
br>?
交于点
P,Q
,若
|PF
2
|?|F
1<
br>F
2
|
,且
3|PF
1
|?4|QF
1|
,则椭圆
?
的短轴与长轴的比值为__________.
【答案】
2
6
7
【解析】
|PF
1|?4,|QF
1
|?3,记椭圆T的长轴,短轴的长度分别为2a,2b,焦距为
2c,则|PF
2
|?|F
1
F
2
|?2c,
且由椭圆的定义知,2a?|QF
1
|?|QF
2
|?|PF
1|?|PF
2
|?2c?4.
于是|QF
2
|?|P
F
1
|?|PF
2
|?|QF
1
|?2c?1.
设H为线段PF
1
的中点,则|F
1
H|?2,|QH|
?5,且有F
2
H?PF
1
.由勾股定理知,
|QF
2|
2
-|QH|
2
?|F
2
H|
2
?
|F
1
F
2
|
2
?|F
1
H|
2
即(2c?1)
2
?5
2
?(2c)
2
?2
2
,解得c?5,a?7
b?26,因此椭圆T的短轴与长轴的比值为
b26
?.
a7
y
2
?1
,左、右焦点分
别为
F
1
、
F
2
,过点
F
2
作直
线与双曲线C9、(2016一试7)双曲线C的方程为
x?
3
2
的右半支交
于点P,Q,使得
?F
1
PQ
=90°,则
?F
1
PQ
的内切圆半径是 .
【答案】
7?1
【解析】
x<
br>2
y
2
??1
,
F
为
C
的上焦点,
A
为
C
的10、(2017一试3)在平面直角坐标系
xoy
中,椭圆
C
的方程为
910
右顶点,
P
是
C上位于第一象限内的动点,则四边形
OAPF
的面积的最大值为.
【答案】
311
2
【解析】易知
A(3,0),F(0,
1).设P的坐标是(3cos
?
,10sin
?
),
?
?
[0,
?
2
],则
113311
S
OAPF?S
?OAF
?S
?OFP
??3?10sin
?
??
1?3cos
?
?(10cos
?
?sin
?
)?sin(
?
?
?
).
2222
10311
其中<
br>?
=arctan.当
?
?arctan10时,四边形OAPF面积的最大值
为.
102
x
2
y
2
11、(2009一试9)
设直线
l:y?kx?m
(其中
k
,
m
为整数)与椭圆??1
交于不同两点
A
,
B
,与双
1612
x
2
y
2
曲线
??1
交于不同两点
C
,D
,问是否存在直线
l
,使得向量
AC?BD?0
,若存在,指
出这样的直
412
线有多少条?若不存在,请说明理由.
?
y?kx?m<
br>?
【解析】由
?
x
2
y
2
消去
y<
br>化简整理得
3?4k
2
x
2
?8kmx?4m
2?48?0
?1
?
?
?
1612
??
设
A
?
x
1
,y
1
?
,
B
?
x
2
,y
2
?
,则
x
1
?x
2
??
2
8km
2
3?4k<
br>?
1
?
?
8km
?
?4
?
3?4k
2
??
4m
2
?48
?
?0
①
?
y?kx?m
?
由
?
x
2
y<
br>2
消去
y
化简整理得
3?k
2
x
2
?2kmx?m
2
?12?0
?1
?
?
?412
??
设
C
?
x
3
,y
4
?
,
D
?
x
4
,y
4
?
,则
x<
br>3
?x
4
?
2
2km
3?k
2<
br>?
2
?
?
?2km
?
?4
?
3?k
2
??
m
2
?12
?
?0
②
因为
AC?BD?0
,所以
?
x
4
?x
2
?
?
?
x
3
?x
1
?
?0
,此时
?
y
4
?y
2
?
?
?
y
3
?y
1
?
?0
.
由
x
1?x
2
?x
3
?x
4
得
?
所以
2km?0
或
?
8km2km
.
?
22
3?4
k3?k
41
.由上式解得
k?0
或
m?0
.当
k
?0
时,由①和②得
?23?m?23
.因
m
?
22
3?4k3?k
是整数,所以
m
的值为
?3
,
?2
,
?1
,
0
,
1
,
2
,
3.当
m?0
,由①和②得
?3?k?3
.因
k
是整数,
所以
k??1
,
0
,
1
.于是满足条件的直线共有
9条.
2
12、(2010一试10)已知抛物线
y?6x
上
的两个动点
A(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y2
)
,其中
x
1
?x
2
且
x
1
?x
2
?4
.
线段
AB
的垂直平分线与
x
轴交于点
C
,求
?ABC
面积的最大值.
【解析】解
法一:设线段
AB
的中点为
M(x
0
,y
0
),则
x
0
?
x
1
?x
2
y?y2
?2,y
0
?
1
,
22
k
AB<
br>?
y
2
?y
1
y?y
1
63
?2
2
??
.
x
2
?x
1
y
2
?y
1
y
0
y
2
y
1
2?
66
y
0
(x?2)
.
(1)
3
线段
AB
的垂直平分线的方程是
y?y
0
??
222
依题意,
y
1
,y
2
是方
程(3)的两个实根,且
y
1
?y
2
,所以
??4y
0
?4(2y
0
?12)??4y
0
?48?0
,
?23?y
0
?23
.
y
A
B
O
C(5,0)
x
AB?(x
1
?x
2
)
2
?
(y
1
?y
2
)
2
?(1?(
2
y
0
?(1?)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]
9
2
y
0
22?(1?)(4y
0
?4(2y
0
?12))
9y
0
2
))(y
1
?y
2
)
2
3
?
2
22
(9?y
0
)(12?y
0
)
.
3
2
(5?2)
2
?(0?y
0
)
2
?9?y
0
.
定点
C(5,0)
到线段
AB
的距离
h?CM?
S
?ABC
?
11
11
222
222
AB?h?(9?y0
)(12?y
0
)?9?y
0
?(9?y
0
)(24?2y
0
)(9?y
0
)
23
32222
?24?2y
0
?9?y
0
14
11
9
?y
0
7
.
?()
3
?
3
323
22
当且仅当
9?y
0
,即
y
0
??5
,
A(
?24?2y<
br>0
6?356?35
,5?7),B(,5?7)
或
33
A
(
6?356?35
,?(5?7)),B(,?5?7)
时等号成立.
33
14
7
.
3
所以,
?ABC
面积的最大值为
1
22
S
?
6t
1
2
t
2
?6t
1
t
2
?56t
2
))
2
ABC
?((56t
1
?
2
33314
?(t
1
?t
2
)2
(t
1
t
2
?5)
2
?(4?2t
1
t
2
)(t
1
t
2
?5)(t
1
t
2
?5)?()
3
,
2223
所以<
br>S
?ABC
?
14
2
7
, 当且仅当
(t<
br>1
?t
2
)
2
?t
1
t
2
?5
且
t
1
2
?t
2
?4
,即
3
t
1
?
7?5
6
,t
2
??
7
?5
6
,
A(
6?356?35
,5?7),B(,5?7)
或
33
A(
14
6?356?35
7
.
,?(5?7)),B(,?5?7)
时等号成立.所以,
?ABC
面积的最
大值是
3
33
1
x
2
y
2
l<
br>13、(2011一试11)作斜率为的直线与椭圆
C
:
?
,且
P(32,2)
在
?1
交于
A,B
两点(如图所示)
3<
br>364
直线
l
的左上方.
(1)证明:△
PAB
的
内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若
?APB?60?
,求△
PAB
的面
积.
【解析】(1)
y
设直线
l
:
y?
1
x?m
,
A(x
1,y
1
),B(x
2
,y
2
)
.
3
P
O
A
x
B
1x
2
y
2
22
将
y?x?m
代入
??1
中,化简整理得
2x?6mx?9m?36?0
.
3
364
上式中,分
子
?(x
1
?m?2)(x
2
?32)?(x
2
?
m?2)(x
1
?32)
229m
2
?36
?x
1
x
2
?(m?22)(x
1
?x
2
)?
62(m?2)???(m?22)(?3m)?62(m?2)
332
?3m2
?12?3m
2
?62m?62m?12?0
,
1
3
1
3
从而,
k
PA
?k
PB
?0
.
又
P
在直线
l
的左上方,因此,
?APB
的
角平分线是平行于
y
轴的直线,所以△
PAB
的内切圆的圆心在直线
x?32
上.
(
2)若
?APB?60?
时,结合(1)的结论可知
k
PA
?3,k
PB
??3
.
x
2
y
2
直线
P
A
的方程为:
y?2?3(x?32)
,代入
??1
中,消去
y
得
14x
2
?96(1?33)x?18(13?33)?0
.
364
它的两根分别是
x
1
和
32
,所以
x
1
?32?
|PA|?1?(3)
2
?|x
1
?32|?
18(13?33)32(13?33)
,即
x
1<
br>?
.所以
1414
32(33?1)
.
7
同理可求得
|PB|?
32(33?1)
.
7
1
所以S
?PAB
??|PA|?|PB|?sin60?
2
.
132(33?1)32(33?1)31173
?????.
277249
14、(2012一试11)如图5,在平面直角坐标系
XOY
中,菱形
AB
CD
的边长为
4
,且
OB?OD?6
.
22
(1
)求证:
|OA|?|OC|
为定值;(2)当点A在半圆
(x?2)?y?4
(
2?x?4
)上运动时,求点
C
的
轨迹.
(2)设
C(x,y),
A(2?2cos
?
,2sin
?
),
其中
?
??
XMA(?
2
?
2
?
?
?
?
2
)
,
则
?XOC?
?
2
.
222
因为<
br>OA?(2?2cos
?
)?(2sin
?
)?8(1?cos
?
)?16cos
?
2
,
所以
OA?4cos
?
2
2
由(1)的结论得
OCcos
?
2
?5,所以
x?OCcos
?
2
?5.
从而
y?OCsin<
br>?
2
?5tan
?
?[?5,5].
故点
C
的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为
A(5,5),B(5,?5)
学科网
x
2
y
2
15、(2013一试11)
(本题满分20分)在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆的方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
,
A
1
、A
2
ab
分别为椭圆的左、右顶点,
F
1
、F
2
分
别为椭圆的左、右焦点,
P
为椭圆上不同于
A
1
和
A
2
的任意一点.若平面
中两个点
Q、R
满足
QA<
br>1
?PA
1
,
QA
2
?PA
2
,<
br>RF
1
?PF
1
,
RF
2
?PF
2
,试确定线段
QR
的长度与
b
的大小关系,
并给出证明.
【解析】令
c?a
2
?b
2
,则
A
1?
?a,0
?
,
A
2
?
a,0
?,
F
1
?
?c,0
?
,
F
2
?
c,0
?
.
22
x
0
y
0
设
P
?
x
0
,y
0
?
,
Q
?
x
1
,y
1
?
,
R
?
x
2
,y
2
?
,其中
2
?
2
?1
,
y
0
?0
.
ab
由
QA
1
?
PA
1
,
QA
2
?PA
2
可知
AQ
1
?A
1
P?
?
x
1
?a
?
?
x
0
?a
?
?y
1
y
0?0
,
1
○
A
2
Q?A
2
P?
?
x
1
?a
?
?
x
0
?a
?
?y
1
y
0
?0
2
○
2
?
x
0
?c
2
?
根据
RF
1
?PF
1
,
RF
2
?PF
2
,同理可得
R
?
?x
0
,<
br>
?
.
y
0
??
22
x
0
?a
2
x
0
?c
2
b
2
因此
QR?
,
??
y
0
y
0
y
0<
br>由于
y
0
?
?
0,b
?
,故
QR?
b
(其中等号成立的充分必要条件是
y
0
?b
,即点
P为
?
0,?b
?
).
16、(2014一试9)(
本题满分16分)平面直角坐标系
xOy
中,
P
是不在
x
轴
上一个动点,满足条件:过
P
可作抛物线
y?4x
的两条切线,两切点连线<
br>l
P
与
PO
垂直.设直线
l
P
与
P
O
,
x
轴的交点分别为
Q,R
,
(1)证明:
R
是一个顶点.
(2)求
2
|PQ|
的最小值.
|QR|
【解析】(1)
设P点的坐标为(a,b)
(b?0)
,易知
a?0
,记两切点
A,
B
的坐标为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
则
PA,PB
的方程分别为
yy
1
?2(x?x
1
)()
1yy
2
?2(x?x
2
)(2)
而点P的坐标为(a,b)同时满足(1)(2),
故A,B的坐标均满足
方程
by=2(x+a)(3)
,故(3)就是直线AB的方程.
直线PO与AB的
斜率分别为
从而(3)即为
y=
b2b2
与,由PO?AB知,=-1,故a
=-2
abab
2
(x?2),
故AB与x轴的交点R是定点(2,0).
b
(2)因为a=-2,故直线PO的斜率
k
1
??,直线
PR的斜率k
2
??.设
b
2
b
4
?O
PR=
?
,
则
?
为锐角,且
bb
1?(?)(?
)
1?k
1
k
2
|PQ|18?b
2
28?b2
24
??||?||???22
bb
|QR|tan
?
k
1
?k
2
2|b|2|b|
??
24
|PQ|
当b??22时,的最小值为22.
|QR|
x2
?y
2
?1
的左,右焦点,17、(2015一试11)(本题满分2
0分)在平面直角坐标系
xOy
中,
F
1
,F
2
分
别是椭圆
2
l
C
交于两个不同的点
A,B
,焦点
F
2
到直线
l
的距离为
d
.如果直线设不经过焦点
F
1
的直线与椭圆
AF
1
,l,BF
1
的斜率成等差
数列,求
d
的取值范围.
由于点A、B不重合,且直线l的斜率存在,故
x
1
,x
2
是方程(1)的两个不同实根,因此有(1)的判别式
?=(4km)
2
?4(2k
2
?1)(2m
2
?2)?8(2k
2
?1?m
2
)?0,
即
2k?
1?m.
22
(2)
y
1
y
、k、
2
依次成等差数列,
x
1
?1x
2
?1
由直线
AF
1
、l、BF
1
的斜率
y
1
y
所以
+
2
?2k,又y<
br>1
?kx
1
?m,y
2
?kx
2
?m,x
1
?1x
2
?1
(kx
1
?m)(x
2
?1)?(kx
2
?m)(x
1
?1)?2k(x
1<
br>?1)(x
2
?1).
化简并整理得
(m?k)(x
1
?x
2
?2)?0
假如
m?k
,则直线L的方程为y=kx+k,即l经过点
F
,不符
合条件.
(,0)
1
-1
因此必有
x
1
?x2
?2=0,
故由方程(1)及韦达定理知,
4km1
??(x?x)?2,即m?k?.(3)
12
2
2k?12k
(2)、(3)知,2k
2
?1?m
2
=(k?
由
1
2
1
2
)
化简得
k
2
?
2
,这等价于
|k|?.
2k4k
2反之当m,k满足(3及)
|k|?
2
时,l必不经过点
F
1<
br>(否则将导致
m?k,
与(3)矛盾),
2
1
1t
2
313
2
d=?(?)??(t?).
注意到
|k|?
,
令
t?
,则上式可改写为
?1
,
t?(1,3),
t222
t
2
k
2
考虑到函数
f(t)?
(4)
13
?(t?)
在
[1,3]
上单调递减,故由(4)得
f
(3)?d?f(1),
即
d?(3,2)
2t
18、(2016
一试11)(本题满分20分)如图所示,在平面直角坐标系
xOy
中,F是
x
轴正半轴上的一个动
点.以F为焦点,O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点,Q是x
轴负半轴上一点,使得PQ为
C的切线,且|PQ|=2.圆
C
1,C
2
均与直线OP相切于点P,且均与轴相切.求点F的坐标,使圆
C
1
与
C
2
的
面积之和取到最小值.
【解析】
设抛物线C的方程是
y?2px(p?0)
,点Q的坐标为
(?a
,0)(a?0)
,并设
C
1
,C
2
的圆心分别为
2
O
1
(x
1
,y
1
),O
2
(
x
2
,y
2
)
.
设直线PQ的方程为
x?my?
a(m?0)
,将其与C的方程联立,消去
x
可知
y?2pmy?2pa?0
.
因为PQ与C相切于点P,所以上述方程的判别式为
??4pm?4?2pa?0
,解得
m?
点P的坐标为
(x
P
,y
P
)
?(a,2pa)
.于是
22
2
2a
.进而可知,
p|PQ|?1?m
2
|y
P
?0|?1?
2a
?2pa
?2a(p?2a)
.
p
由|PQ|=2可得
4a
2
?2pa?4
①
结合①,就有
y
1
y
2
?a
2
?2pa?4?3a
2
②
由
O
1
,P,O
2
共线,可得
y
1?2pa
2pa?y
2
?
y
1
?y
P
OPOMy
?
1
?
1
?
1
.
y
P
?y
2
PO
2
O
2
Ny
2
化简
得
y
1
?y
2
?
22
2
2pa
y
1
y
2
③
令
T?y
1
?y
2<
br>,则圆
C
1
,C
2
的面积之和为
?
T
.根据题意,仅需考虑T取到最小值的情况.
根据②、③可知,
T?(y
1?y
2
)
2
?2y
1
y
2
?
4
22
y
1
y
2
?2y
1
y
2<
br>
2pa
4(4?3a
2
)(2?a
2
)
2
22
?(4?3a)?2(4?3a)?
.学科*网
22
4?4a1?a<
br>2
2
作代换
t?1?a
,由于
4t?4?4a?2pa?0<
br>,所以
t?0
.于是
T?
(3t?1)(t?1)11
?3t??4?23t??4?23?4
.
ttt
3
1
,此时
a?1?t?1?
,因此结合①得, <
br>3
3
上式等号成立当且仅当
t?
p1?a
2
??2a
t
1?
1
3
?
3t
3?3
?1
3?3
从而F的坐标为
(
p1
,0)?(,0)
.
2
3?3