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2020年全国高中数学联合竞赛一试试题及答案(A卷)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 17:12
tags:全国高中数学联赛

苏教版高中数学必修4第三章-高中数学教师杂志推荐







2020年全国高中数学联合竞赛
一试试题参考答案及评分标准(A卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0
分两档 ;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中
间档次.
2.如 果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评
分标准适当划分档次评 分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
5?4x?x
2
1.函数
f(x)?

(??,2)
上的最小值是 ( C )
2?x
A.0 B.1 C.2 D.3
[解] 当
x?2
时,
2?x?0
,因此
1?(4?4x?x
2< br>)1
1
f(x)???(2?x)
?2??(2?x)

2? x
2?x2?x
2?x
因此
f(x)

(??,2)
上的最小值为2.
A.
[?1,2)

2
?2,当且仅当
1
?2?x
时上式取等号.而此方程有解
x?1?(??,2 )

( D ) 2.设
A?[?2,4)

B?{xx
2
?ax?4?0}
,若
B?A
,则实数
a
的取值范围为
B.
[?1,2]
C.
[0,3]
D.
[0,3)

2
aa
2
aa
[解] 因
x?ax?4?0
有两个实根
x
1
??4?

x
2
??4?

24
24
2
aa
2
aa

B?A
等价于
x
1
??2

x
2
?4
,即
?4 ???2

?4??4
,解之得
24
24
0?a?3

3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对
2
1
方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,< br>3
3
且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数
?
的期望
E
?
为 ( B )
A.
241
266274
B. C.
81
8181
[解法一] 依题意知,
?
的所有可能值为2,4,6.
D.
670

243
215
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
()
2
?()
2
?

339
若该轮结束 时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对


5
P (
?
?2)?
下轮比赛是否停止没有影响.从而有 ,
9
4520

P(
?
?4)?()()?
9981
416
P(
?
?6)?()
2
?

981

E
?
?2?
52016266

?4??6??
9818181
[解法二] 依题意知,
?
的所有可能值为2,4,6.

A
k
表示甲 在第
k
局比赛中获胜,则
A
k
表示乙在第
k
局比赛 中获胜.
由独立性与互不相容性得
P(
?
?2)?P(A
1
A
2
)?P(A
1
A
2
)?
5

9

P(
?
?4)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4< br>)
211220
?2[()
3
()?()
3
()]?

333381
2116
P(
?
?6)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2< br>A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A3
A
4
)
?4()
2
()
2
?

3381

E
?
?2?
52016266
? 4??6??

9818181
2
4.若三个棱长均为整数(单位:cm) 的正方体的表面积之和为564 cm,则这三个正方体的
体积之和为 ( A )
A.764 cm或586 cm
C.586 cm或564 cm
33
33
B.764 cm
D.586 cm
3
3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为
a,b,c
,则有
6a
2
?b
2
?c
2
?564

a2
?b
2
?c
2
?94

不妨设
1? a?b?c?10
,从而
3c?a?b?c?94

c?31
.故< br>6?c?10

c
只能
取9,8,7,6.

c? 9
,则
a
2
?b
2
?94?9
2
?13< br>,易知
a?2

b?3
,得一组解
(a,b,c)?(2,3 ,9)


c?8
,则
a
2
?b
2?94?64?30

b?5
.但
2b?30

b?4
,从而
b?4
或5.若
b?5


a?5
无解,若
b?4
,则
a?14
无解.此时无解.

c?7
,则
a
2
?b
2
?94?49?45
,有唯一解< br>a?3

b?6


c?6
,则
a
2
?b
2
?94?36?58
,此时
2b?a?b?58

b?29
.故
b?6
,但
2222
22
2
22222
??
b?c?6
,故
b?6
,此时
a
2
?58?36?22
无解.


?
a?2,
?
a?3,
??
综上,共有两组解
?
b?3,

?
b?6,

?
c?7.
?
c?9
?
?
33 3
333
体积为
V
1
?2?3?9?764
cm或
V
2
?3?6?7?586
cm.
33
?
x?y?z?0 ,
?
5.方程组
?
xyz?z?0,
的有理数解
(x,y, z)
的个数为
?
xy?yz?xz?y?0
?
A.1 B.2 C.3 D.4
( B )
?
x?y?0,
?
x?0,
?
x??1,
[解] 若
z?0
,则
?
解得
?

?

x y?y?0.
?
?
y?0
?
y?1.

z?0,则由
xyz?z?0

xy??1
. ①

x?y?z?0

z??x?y
. ②
将②代入
xy?yz?xz?y?0

x
2
?y
2
?xy?y?0
. ③
由①得
x??
1,代入③化简得
(y?1)(y
3
?y?1)?0
.
y
易知
y
3
?y?1?0
无有理数根,故
y?1
,由①得< br>x??1
,由②得
z?0
,与
z?0
矛盾,
?
x?0,
?
y?1,
故该方程组共有两组有理数解
?
?
y?0,

?
?
z?0.
?
z?0
?
?< br>6.设
?ABC
的内角
A,B,C
所对的边
a,b,c
成等比数列,则

A.
(0,??)


[解] 设< br>a,b,c
的公比为
q
,则
b?aq,c?aq
2
, 而

B.
(0,

?
x??1,
sinAcot C?cosA
的取值范围
sinBcotC?cosB
( C )
5?1
)

2
C.
(
5?15?15?1
,)
D.
(,??)

222
sinAcotC?cosAsinAcosC?cosAsinC

?
sinBcotC?cosBsinBcosC?cosBsinC
?
sin(A? C)sin(
?
?B)sinBb
????q

sin(B?C) sin(
?
?A)sinAa
因此,只需求
q
的取值范围.



a,b,c
成等比数列,最大边只能是
a

c< br>,因此
a,b,c
要构成三角形的三边,必需且
只需
a?b?c

b?c?a
.即有不等式组
22
?
?
a?aq?aq ,
?
?
q?q?1?0,

?

?
22< br>??
?
aq?aq?a
?
q?q?1?0.
?
1?5 5?1
?q?,
?
?
22
解得
?

?q?
5?1
或q??
5?1
.
?
?22
从而< br>5?15?1
5?15?1
?q?
,因此所求的取值范围是
(,)
22
22
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.设f(x)?ax?b
,其中
a,b
为实数,
f
1
(x) ?f(x)

f
n?1
(x)?f(f
n
(x))

n?1,2,3,L
,若
f
7
(x)?128x?381
,则
a?b?
5 .
[解] 由题意知
f
n(x)?ax?(a
7
nn?1
?a
n?2
a
n
?1
?L?a?1)b
?ax??b

a?1
n
a7
?1

f
7
(x)?128x?381

a ?128

?b?381
,因此
a?2

b?3

a?b?5

a?1
1
8.设
f(x)?cos2x?2 a(1?cosx)
的最小值为
?
,则
a?
2
?2?3
a1
[解]
f(x)?2cos
2
x?1?2a?2ac osx
?2(cosx?)
2
?a
2
?2a?1

22
(1)
a?2
时,
f(x)

cosx?1
时取最小值
1?4a

(2)
a??2
时,
f(x)

cosx??1
时取最小值1;
(3)
?2?a?2
时,
f(x)

cosx?
a
1
时取最小值
?a
2
?2a?1

2
2
1

a?2

a??2
时,
f(x)
的 最小值不能为
?

2
11

?a
2
?2 a?1??
,解得
a??2?3

a??2?3
(舍去).
22
9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用
?
表示名额.如
|????|?L?|??|

表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.
若把每个“
?
”与每个“
|
”都视为一个位置,由于左右两端必须是 “|”,故不同的


分配方法相当于
24?2?26
个位置(两端不在内 )被2个“|”占领的一种“占位法”.
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“
?
”之间的23个空隙中选出2个空隙
插入“|”,故有
C
2
种. < br>23
?253
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的 分配方法
有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为
x
1
,x
2
,x
3
,则每校至少有一个名额的分法
数为不定方程
x
1
? x
2
?x
3
?24

的正整数解的个数,即方程
x
1
?x
2
?x
3
?21
的非负整数解的个数,它 等于3个不同元素
212
中取21个元素的可重组合:
H
3
?C
21
23
?C
23
?253
又在“每校至少有一个 名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法
有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
n?1
10.设数列< br>{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足:< br>S
n
?a
n
?

n?1,2,L
,则通项< br>a
n
=
1
?
1

n
n(n?1)
2n(n?1)
[解]
a
n?1
?S
n?1
?S
n
?
即 2< br>a
n?1
?
nn?1
?a
n?1
??a
n< br>,
(n?1)(n?2)n(n?1)
n?2?211
?21
, < br>???a
n
=
?a
n
?
(n?1)(n?2)n?1 n(n?1)
(n?1)(n?2)n(n?1)
11

)?a
n
?
(n?1)(n?2)n(n?1)
由此得 2
(a
n?1
?

b
n
?a
n
?

b
n?1
?

11
1

b
1
?a
1
??
(
a
1
?0
),
22
n(n?1)
1
1
11

b
n,故
b
n
?
n
,所以
a
n
?
n
?
2
2
n(n?1)
2
11.设
f(x)
是定义在
R
上的函数,若
f(0)?2008
,且对任意
x?R
,满足

f(x?2)?f(x)?3?2
x

f(x?6)?f(x)?63?2
x
,则
f(2008)< br>=
[解法一] 由题设条件知
2
2008
?2007
. < br>f(x?2)?f(x)??(f(x?4)?f(x?2))?(f(x?6)?f(x?4))?(f (x?6)?f(x))


??3?2
x?2
?3?2
x?4
?63?2
x
?3?2
x

因此有
f(x?2)?f(x)?3?2
x
,故
f(2008)? f(2008)?f(2006)?f(2006)?f(2004)?L?f(2)?f(0)?f(0)
1003?1
4?1
200620042
?3??f(0)
? 2
2008
?2007

?3?(2?2?L?2?1)?f(0)
4?1


[解法二] 令
g(x)?f(x)?2
x
,则
g(x?2)?g(x)?f(x?2 )?f(x)?2
x?2
?2
x
?3?2
x
?3?2
x
?0

g(x?6)?g(x)?f(x?6)?f(x)?2
x?6
?2
x
?63?2
x
?63?2
x
?0


g(x?2)?g(x),g(x?6)?g(x)


g(x)?g(x?6)?g(x?4)?g(x?2)?g(x)


g(x)
是周期为2的周期函数,所以
f(2008)?g(2008) ?2
2008
?g(0)?2
2008
?2
2008
?20 07

12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
46
的正四面体容器内 可向各个方向自由运动,
则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
723

[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为
r
,作平面A
1
B
1
C
1

平面
ABC
, 与小球相切于点
D
,则小球球心
O
为正四面体
P?A
1B
1
C
1
的中心,
PO?面A
1
B
1
C
1
,垂足
D

A
1
B
1
C
1
的中心.
1

V
P?ABC
?S?ABC
?PD
?4?V
O?A
1
B
1
C1

111
3
111
1
?4??S
?A
1
B
1
C
1
?OD

3

PD?4OD?4r
,从而
PO?PD?OD?4r?r?3r

记此时小球与面
PAB
的切 点为
P
1
,连接
OP
1
,则
22
PP(3r)
2
?r
2
?22r

1
?PO?OP
1
?
答12图1
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为
PAB
)相
切时的情况,易知小球在面
PAB
上最靠近边的
切点的轨迹仍为正三角形,记为
P
,如答
1
EF
12图2.记正四面体
的棱长为
a
,过
P
1

PM?PA

M

1

?MPP
1
?
?
,有
6
3
?6r

2
PM?PP
1
?cosMPP
1
?22r?
故小 三角形的边长
PE?PA?2PM?a?26r

1
答12图2


小球与面
PAB
不能接触到的部分的面积
为(如答12图2中阴影部分)
S
?PAB
?S
?P
1< br>EF
?
3
2
2
(a?(a?26r)
2
)< br>?32ar?63r

4

r?1

a?46
,所以
S
?PAB
?S
?PEF
?243 ?63?183

1
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内 壁的面积共为
723

三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.已知函数
f(x)?|sinx|
的图像与直线
y?kx

(k?0)
有且仅有三个交点,交点的横坐标的
最大值为
?
,求证:
cos
?
1?
?
2

?
sin
?
?sin3
?
4
?











答13图
[证]
f(x)
的图象与直线
y?kx
< br>(k?0)
的三个交点如答13图所示,且在
(
?
,
切,其切 点为
A(
?
,?sin
?
)

?
?(?
,
3
?
)
内相
2
3
?
)< br>.
2
…5分
3
sin
?
由于
f
?
(x)??cosx

x?(
?
,
?
)
,所以
?cos
?
??
,即
?< br>?tan
?
. …10分
2
?
因此
cos
?
cos
?

?
sin
?
?sin3
?
2sin2
?
cos
?
?
1
4sin
?
cos
?
…15分
cos
2
?
?sin
2
?
1?tan< br>2
?
1?
?
2
. …20分
??
?
4sin
?
cos
?
4tan
?
4?
14.解不等式
log
2
(x
12
?3x
1 0
?5x
8
?3x
6
?1)?1?log
2
(x< br>4
?1)


[解法一] 由
1?log
2< br>(x
4
?1)?log
2
(2x
4
?2)
, 且
log
2
y

(0,??)
上为增函数,故原不等式等价于
x
12
?3x
10
?5x
8
?3x< br>6
?1?2x
4
?2


x
12
?3x
10
?5x
8
?3x
6?2x
4
?1?0
. …5分
分组分解< br>x
12
?x
10
?x
8
?2x
10
?2x
8
?2x
6
?4x
8
?4x
6
?4 x
4
?x
6
?x
4
?x
2
?x
4
?x
2
?1?0

(x
8
?2x
6?4x
4
?x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)?0
, …10分
所以
x
4
? x
2
?1?0

(x?
2
?1?5
2
?1 ?5
)(x?)?0
. …15分
22
所以
x
2
?
?1?5
?1?5?1?5
,即
x??
或< br>x?

2
22
故原不等式解集为
(??,?
5?1
)U(
2
5?1
,??)
. …20分
2
[解法二] 由
1?log
2
(x
4
?1)?l og
2
(2x
4
?2)
,且
log
2
y< br>在
(0,??)
上为增函数,故原不等式
等价于
x
12
?3x
10
?5x
8
?3x
6
?1?2x
4?2
. …5分

21
6422232< br>??x?3x?3x?1?2x?2?(x?1)?2(x?1)

x
2x
6
(
1
3
1
232
)?2()?(x?1) ?2(x?1)
, …10分
x2
x
2

g(t)?t
3
?2t
,则不等式为
g(
1
)?g(x
2
?1)

2
x
1
?x
2
?1
, …15分
2< br>x
显然
g(t)?t
3
?2t

R
上为增函 数,由此上面不等式等价于

(x
2
)
2
?x
2< br>?1?0
,解得
x?
2
5?1
5?1
(
x
2
??
舍去),
2
2
5?1
,??)
. …20分
2
故原不等式解集为
(??,?
5?1
)U(
2

< p>
15.如题15图,
P
是抛物线
y
2
?2x
上 的动点,点
B,C

y
轴上,圆
(x?1)
2
?y
2
?1
内切于
?PBC
,求
?PBC
面积的最小值 .















题15图



[解] 设
P(x
0
,y
0
),B(0,b), C(0,c)
,不妨设
b?c

直线
PB
的方程:
y?b?
y
0
?b
x

x
0
化简得
(y
0
?b)x?x
0
y?x
0
b?0
. 又圆心
(1,0)

PB
的距离为1,
y
0
?b ?x
0
b
(y
0
?b)?x
22
0
?1< br> , …5分
222

(y
0
?b)
2
?x
0
?(y
0
?b)
2
?2x
0
b(y
0
?b)?x
0
b

易知
x
0
?2
,上式化简得
(x
0
?2)b
2
? 2y
0
b?x
0
?0

同理有
(x
0
?2)c
2
?2y
0
c?x
0
?0
. …10分
4x?4y
0
?8x
0
?x
0
?2y< br>0
所以
b?c?

bc?
,则
(b?c)
2
?
0

2
x
0
?2
(x
0?2)
x
0
?2
2

P(x
0
,y< br>0
)
是抛物线上的点,有
y
0
?2x
0
,则
22
2
2x
0
4x
0

b?c?
. …15分
(b?c)?
2
x? 2
(x
0
?2)
0
2
所以
S
?PBC?
x
14
(b?c)?x
0
?
0
?x
0
?(x
0
?2)??4
?24?4?8

2x
0
?2x
0
?2



(x
0
?2)< br>2
?4
时,上式取等号,此时
x
0
?4,y
0
??22

因此
S
?PBC
的最小值为8. …20分

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