2010年全国高中数学联赛B卷(含详细解答)

2010年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准（B卷）

说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评 阅，请严格按照本
评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答 方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当
划分档次评分，解答题中 第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其
他中间档次。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1. 函数
f(x)?x?5?24?3x
的值域是
[?3,3]
.
解 ：易知
f(x)
的定义域是
?
5,8
?
，且
f(x )
在
?
5,8
?
上是增函数，从而可知
f(x)
的 值域为
[?3,3]
.
2. 已知函数
y?(acosx?3)sinx< br>的最小值为
?3
，则实数
a
的取值范围是
?
2
3
?a?12
.
2
解：令
sinx ?t
，则原函数化为
g(t)?(?at?a?3)t
，即
2
g(t)??at
3
?(a?3)t
.
由
?at?(a?3)t??3
，

?at(t?1)?3(t?1)?0
，
2
3
(t?1)(?at(t?1)?3)?0
及
t?1?0
知

?at(t?1)?3?0
即
a(t?t)??3
（1）
当
t?0,?1
时（1）总成立；
对
0?t?1,0?t?t?2
；
2
2
1
?t
2
?t?0
.
4
3
从而可知
??a?12
.
2
对
?1?t?0,?
3. 双曲线
x?y?1
的右半支与 直线
x?100
围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为
整数的点）的个数是 9800 .
解：由对称性知，只要先考虑
x
轴上方的情况，设
y?k(k ?1,2,?,99)
与双曲线右半支于
A
k
,交
22

1

直线
x?100
于
B
k
，则线 段
A
k
B
k
内部的整点的个数为
99?k
，从而在
x
轴上方区域内部整点的个
数为

?
(99?k)?99?49?4851
.
k?1
99
又
x
轴上有98个整点，所以所求整点的个数为

2?4851?98?9800
.
4. 已知
{ a
n
}
是公差不为
0
的等差数列，
{b
n
}
是等比数列，其中
a
1
?3,b
1
?1,a
2< br>?b
2
,3a
5
?b
3
，
且存在常数
?
,
?
使得对每一个正整数
n
都有
a
n
?log
?
b
n
?
?
，则
?
?
?
?

3
3?3
.
解：设
{a
n
}
的公差为
d,{b
n
}
的公比为
q
，则

3?d?q,
（1）

3(3?4d)?q
， （2）
（1）代入（2）得
2
9? 12d?d
2
?6d?9
，求得
d?6,q?9
.
n?1
从而有
3?6(n?1)?log
?
9?
?
对一切正整数
n
都成立，
即
6n?3?(n?1)log
?
9?
?
对一切正整数
n
都成立.
从而
log
?
9?6,?3??log
?
9?
?
，
求得
?
?
3
3,
?
?3
，
?
?
?
?
3
3?3
.
5. 函数
f(x)?a
2x
?3a
x
?2(a?0,a?1)
在区间
x?[?1,1]
上的最大值为8，则它在这个区间上
的最小值是
?
1
.
4
2
x
解：令
a?y,
则原函数化为
g(y)?y?3y?2
,
g(y)
在
(?,+?)
上是递增的.
3
2
当
0?a?1
时，
y?[a,a]
,
?1
g(y)
max
?a
?2
?3a
?1
?2? 8?a
?1
?2?a?
所以
g(y)
min
?()?3?
当

1
，
2
1
2
2
11
?2??
；
24
a?1
时，
y?[a
?1
,a]
，
2

g(y)
max
?a
2
?3a?2?8 ?a?2
，
1
?3?2
?1
?2??
.
41
综上
f(x)
在
x?[?1,1]
上的最小值为
?< br>.
4
所以
g(y)
min
?2
?2
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另
一人投掷. 先投掷人的获胜概率是
12
.
17
解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的 概率为
217
?
，从而先投掷人的获胜概率为
3612
75757
?
()
2
??
()
4
???

1212121212
7112
???
.
25
1712
1?
144
7. 正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的9条棱长都相等，
P
是
C C
1
的中点，二面角
B?A
1
P?B
1
?
?
,则
sin
?
?

10
.
4
解一：如图，以
AB
所在直线为
x
轴，线段
AB
中点O
为原点，
OC
所在直线为
y
轴，建立空间
直角坐标系 .设正三棱柱的棱长为2，则
B(1,0,0),B
1
(1,0,2),A
1
(?1,0,2),P(0,3,1)
，从而，
BA
1
?(?2, 0,2),BP?(?1,3,1),B
1
A
1
?(?2,0,0),B1
P?(?1,3,?1)
.
设分别与平面
BA
1
P
、平面
B
1
A
1
P
垂直的向量是
m?(x
1
,y
1
,z
1
)
、
n?(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
?
?
m? BA
1
??2x
1
?2z
1
?0,

?< br>?
?
m?BP??x
1
?3y
1
?z
1?0,
?
?
n?B
1
A
1
??2x
2
?0,

?
?
?
n?B
1
P??x
2
?3y
2
?z
2
?0,
由此可设
m?(1,0,1),n?(0,1,3)
，
B
1
z
A< br>1
C
1
P
A
O
所以
m?n?m?ncos< br>?
，
B
C
y
即
3?2?2cos
?
?cos
?
?
6
.
4
x

3

所以
sin
?
?
10
.
4A
1
C
1
解二：如图，
PC?PC
1
,PA< br>1
?PB
.
设
A
1
B
与
AB< br>1
交于点
O,
则
E
B
1
OA
1
?OB,OA?OB
1
,A
1
B?AB
1
.
O
P
A
因为 PA?PB
1
,所以 PO?AB
1
,

从而
AB
1
?
平面
PA
1
B
.
C
过
O
在平面
PA
1
B
上作
OE ?A
1
P
,垂足为
E
.
B
连结
B
1
E
,则
?B
1
EO
为二面角
B?A
1
P?B
1
的平面角.
设
AA
1
?2
,则易求得
PB?PA
1
?5,A
1
O?B
1
O?2,PO?3
.
在直角
?PA
1
O
中，
A
1
O?PO?A
1
P? OE
,
即
2?3?5?OE,?OE?
6
5
.
又
B
1
O?2,?B
1
E?B
2
1O?OE
2
?2?
645
5
?
5
.
sin
?
?sin?B
B
1
O
1
EO?
B
?
2
?
10
4
.
1
E
45
5
8. 方程
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解（
x
,
y
,
z
）的 个数是 336675 .
解：首先易知
x?y?z?2010
的正整数解的个数为
C
2
2009
?2009?1004
.
把
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解分为三类：
（1）
x,y,z
均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）
x,y,z
中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；
(3)设
x,y,z
两两均不相等的正整数解为
k
.
易知
1?3?1003?6k?2009?1004
，

4

6k?2009?1004?3?1003?1


?2006?1005?2009?3?2?1?2006?1005?2004
，

k?1003?335?334?335671
.
从而满足
x?y?z
的正整数解的个数为

1?1003?335671?336675
.
二、解答题（本题满分56分） < br>9.（本小题满分16分）已知函数
f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)
，当< br>0?x?1
时，
f
?
(x)?1
，
试求
a< br>的最大值.
解一：
f
?
(x)?3ax?2bx?c,

2
32
?
f
?
(0)?c,
?
13
?
由
?
f
?
()?a?b?c,
得 （4分）
4
?
2
?
?
f
?
(1)?3a ?2b?c

3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
. （8分）
所以
3a?2f
?
(0)?2f
?
( 1)?4f
?
()

1
2
1
2

?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()

?8
，

a?
1
2
8
. （12分）
3
8
3
8
2
又易知当
f(x)?x? 4x?x?m
（
m
为常数）满足题设条件，所以
a
最大值为.（16 分）
33
2
解二：
f
?
(x)?3ax?2bx?c
.
设
g(x)?f
?
(x)?1
，则当
0?x?1
时，
0?g(x)?2
.
设
z?2x?1
，则
x?
z?1
,?1?z?1
.
2
z?13a
2
3a?2b3a
h(z)?g()?z?z??b?c?1< br>. （4分）
2424
容易知道 当
?1?z?1
时，
0?h(z)?2,0?h(?z)?2
. （8分）
从而当
?1?z?1
时，
0?
即
0?
h(z)?h(?z)
?2
，
2
3a
2
3a
z??b?c?1?2
，
44

5

3a3a
?b?c?1?0
,< br>z
2
?2
，
44
8
2
由
0?z?1
知
a?
. （12分）
3
8
3
8
2
又易知当
f(x)?x? 4x?x?m
（
m
为常数）满足题设条件，所以
a
最大值为.
33
从而
（16分）
10.（本小题满分20分）已知抛物线
y?6x
上的两个动点
A(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y
2
)
，其中
x
1
?x
2< br>且
2
x
1
?x
2
?4
.线段
AB< br>的垂直平分线与
x
轴交于点
C
，求
?ABC
面积的最 大值.
解一：设线段
AB
的中点为
M(x
0
,y
0
)
，则

x
0
?
x
1
?x
2
y?y
2
?2,y
0
?
1
， < br>22
y
2
?y
1
y?y
1
63
?< br>2
2
??
.
x
2
?x
1
y2
?y
1
y
0
y
2
y
1
2< br>?
66

k
AB
?
线段
AB
的垂直平分线的方程是

y?y
0
??
y
0
(x?2)
. （1）
3
易知
x?5,y?0
是（1）的一个解，所以线段
AB< br>的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点，且点
（5分）
C
坐标为
(5,0)
.
由（1）知直线
AB
的方程为

y?y
0
?
y
3
(x?2)
，即
x?
0
(y?y
0
)?2
. （2）
y
0
3
2
（2）代入
y?6x
得
222

y?2y
0
(y?y
0
)?12
，即
y?2y
0
y?2y
0
?12?0
.（3）
依题 意，
y
1
,y
2
是方程（3）的两个实根，且
y
1
?y
2
，所以
222

??4y
0
?4(2y
0
?12)??4y
0
?48?0
,
y
A

?23?y
0
?23
.
B

AB?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)

O
C(5,0)
x
22

6

?(1?(
y
0
2
))(y
1
?y
2)
2

3
2
y
0

?(1 ?)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y2
]

9
2
y
0
22

?(1?)(4y
0
?4(2y
0
?12))

9

?
2
22
(9?y
0
)(1 2?y
0
)
.
3
定点
C(5,0)
到线段
AB
的距离

h?CM?

S
?ABC
?

?
2
(5?2)
2
?(0?y
0
)
2?9?y
0
. （10分）
11
222

AB?h?(9?y
0
)(12 ?y
0
)?9?y
0
23
11
222
(9?y0
)(24?2y
0
)(9?y
0
)

32< br>222
?24?2y
0
?9?y
0
11
9?y
0

?()
3

323

?
14
（15分）
7
.
3
6?356?35
,5?7),B(,5?7)
或
33
2 2
当且仅当
9?y
0
?24?2y
0
，即
y
0
??5
,
A(
A(
6?356?35
,?(5?7)) ,B(,?5?7)
时等号成立.
33
所以
?ABC
面积的最大值为
14
（20分）
7
.
3
解二：同解一，线段
AB
的垂直平分线与
x
轴的交点C
为定点，且点
C
坐标为
(5,0)
.
（5分）
设
x
1
?t
1
,x
2
?t
2
,t
1
?t
2
,t
1
?t
2
?4
，则
2222

S
?A BC
?
1
2
t
1
2
2
t
2
501
6t
1
1
的绝对值, （10分）
6t
2
1
222

S
? ABC
?((56t
1
?6t
1
t
2
?6t
1
t
2
?56t
2
))

2
1
2

7

3
(t
1< br>?t
2
)
2
(t
1
t
2
?5)2

2
3

?(4?2t
1t
2
)(t
1
t
2
?5)(t
1
t< br>2
?5)

2
314
3

?()
,
23
14

S
?ABC
?

7
, （15分）
3

?
当且仅当
(t< br>1
?t
2
)?t
1
t
2
?5
且t
1
?t
2
?4
，
即
t
1
?
222
7?5
6
,
< br>t
2
??
7?5
6
,
A(
6?356?35
,5?7),B(,5?7)
或
33
A(
6?356?35
,?(5?7)),B(,?5?7)
时等号成立.
33
所以
?ABC
面积的最大值是
14

7
. （20分）
3
2
a
n
1
11.（本小题满分20分）数列< br>?
a
n
?
满足
a
1
?,a
n?1< br>?
2
(n
?
1,2,
?
)
.
3
a
n
?a
n
?1
求证:
1111?
2
n?1
?a
1
?a
2
?
?
?a
n
??
2
n
. （1）
2
3
2
3
2
a
n
111
?
2
?? 1
， 知
?
2
aa
a
a
n
?an
?1
n?1n
n
证明：由
a
n?1

1
a
n?1
?1?
11
(?1)
. （2）
a
n
a
n
2
a
n?1
a
n
a
所以
??
n
?a
n
,

1?a
n?1
1?a
n
1?a
n
即
a
n
?
a
n
a
?
n?1
. （5分）
1?a
n
1?a
n?1
从而
a
1
?a
2
???a
n

?
aa a
n?1
a
1
aa
?
2
?
2
?< br>3
?
?
?
n
?

1?a
1
1?a
2
1?a
2
1?a
3
1?a
n
1? a
n?1
?
aa
a
1
1
?
n?1
??
n?1
.
1?a
1
1?a
n?1
21?a
n?1

8

所以（1）等价于

a
11111
?
2
n?1
??
n?1
??
2
n
，
2
3
21?a
n?1
2
3
2
n?1< br>即
3
1?a
n?1
2
n
??3
. （3） （10分）
a
n?1
2
由
a
1
a
n
1
1
?
3
及
a
n?1
?
a
2
知
a
2
?
.
n
?a
n
?1
7
当
n?1
时 ，
1?a
2
a
?6
，
3
2
1?1
?6?3< br>2
1
，
2
即
n?1
时，（3）成立.
设
n?k(k?1)
时，（3）成立，即
3
2
k?1?
1?a
k?1
k
a
?3
2
.
k?1
当
n?k?1
时，由（2）知

1? a
k?2
a
?
1
(
1?a
k?1
)?(< br>1?a
k?1
)
2
?3
2
k
；
k?2
a
k?1
a
k?1
a
k?1
又由（ 2）及
a
1
?
1
1?a
n
3
知
a
(n?1)
均为整数，
n
从而由
1?a
k? 1
1?a
k?1
a
?3
2
k
有
?3
2
k
?1
即
1
?3
2
k
，
k?1
a
k?1
a
k?1
所以
1?a
k?2
?
1
?
1?a
k?1
?3
2
k?3
2
k
?3
2
k?1
a
，
k? 2
a
k?1
a
k?1
即（3）对
n?k?1
也成立 .
所以（3）对
n?1
的正整数都成立，即（1）对
n?1
的正整 数都成立.













15分）
20分）
9
（
（

2010年全国高中数学联合竞赛加试
试题参考答案及评分标准（B卷）

说明：
1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要 思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当
划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他 中间档次。

一、（本题满分40分）
如图，锐角三角形ABC的外心为O，K 是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK
延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线C D与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，
D，C四点共圆．
证明：用反证法．若 A，B，D，C不四点共圆，设
A
三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交< br>直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接
PQ．
O
因为
PK?
P的幂（关于⊙O）
?
K的幂（关于⊙O）

?PO?r
2
?
22
?
?
?
KO
2
2
?r
?
，
2
B
E
K
D
C
同理
QK
2
?QO
2
?r
2
?KO
2
?r
2
，
所以
PO?PK?QO?QK
，
222
????
P
Q
N
M
故
OK
⊥
PQ
． （10分）
由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
AQAP
?
． ①
QNPM
由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
NBDEAQ
???1
， ②
BDEAQN
MCDEAP
???1
． ③
CDEAPM
由①，②，③可得
NBMC
， （30分）
?
BDCD
所以
NDMD
，故△DMN ∽ △DCB ，于是
?DMN??DCB
，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即
?
BDDC
K为BC的中点，矛盾！从而
A,B,D,C
四点共圆. （40分）

10

注1：“
PK
2
?< br>P的幂（关于⊙O）
?
K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得
PK?KF?AK?KE
， ④
则P，E，F，A四点共圆，故
?PFE??PAE??BCE
，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
PK?PF?PE?PC
， ⑤
⑤-④，得
PK
2
?PE?PC?AK?KE


?
P的幂（关于⊙O）
?
K的幂（关于⊙O）．

注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．

A



O

F

B
E
K
C

D

P
Q


N
M

二、（本题满分40分）
设
m
和
n
是大于1的整数，求证：

1< br>m
mm?
?2
m
??n
m
?
1
?< br>kk
1
j
n
?
j
m?1
?
n(?1
?
?
)C
m
n?
k?1
?
C
m< br>(
?1
j?1
?
i
?
)

.
i?1
?
m?1
证明：
由（q?1)
m ?1
?
?
C
jj
m?1
q得到

j?0< br>m
(q?1)
m?1
?q
m?1
?
?
Cjj
m?1
q,

j?0
分别将q?1,2,,n代入上式得：

2
m?1
m
?1?
?
C
j
m?1
,

j?0
3
m?1
?2
m?1
?
?
m
C
jj
m?1
2,

j?0


11

m
n
m?1
?(n?1)
m?1
?
?
C
j j
m?1
(n?1),

j?0
1
m
(n?1)< br>m?
?n
m?1
?
?
C
jj
m?1
n.

j?0
将上面n个等式两边分别相加得到：

m
(n ?1)
m?1
?1?
?
(C
j
n
j
m?1
),
（20分）< br>j?0
?
i
i?1
m
?
m?1nn

(n?1)(n?1)?1?n?（C
jj
m?1
j?1
?
i）?(m?1)
i?1
?
i
m
,

i?1

1
m
?2
m
??n
m
?
1
?
mm?1n
m?1
?
(n?1)
?
C
kkjj
?
m
n?
?
(C
m?1?
i)
?
.
（40分）
?
k?1j?1i?1
?
三、（本题满分50分）
设
x,y,z
为非负实数, 求证：
(
xy?yz?zx
3
)
3
?(x
2
?xy?y
2
)(y
2< br>?yz?z
2
)(z
2
?zx?x
2
)?(
x
2
?y
2
?z
2
3
2
)
.
证明：首先证明左边不等式.
因为
x
2
?xy?y< br>2
?
1
4
[(x?y)
2
?3(x?y)]
2
?
1
4
(x?y)
,
2
同理,有

y
2
?yz?z
2
?
1
(y?z)
, < br>2
4
z
2
?zx?x
2
?
1
4(z?x)
2
; （10分）
于是

(x
2
?xy?y
2
)(y
2
? yz?z
2
)z(?
2
zx?x?
2
)
1
x[?(yy?)z(z?x)(

2
64
)]

?1
64
[(x?y?z)xy(?yz?zx?)xyz
2
;
]
（20分）
由算术-几何平均不等式, 得
xyz?
1
9
(x?y?z)(xy?yz?zx)
,所以

(x
2
?xy?y
2
)(y
2
?y z?z
2
)z(?
2
zx?x?
2
)
1
x ?(y?zxy)
2
?(yz?zx

2
81
)

?
1
81
(x
2
?y
2
?z
2< br>?2xy?2yz?zx2xy)(?yz?zx?
2
)(
xy?yz?zx< br>3
3
)
.
左边不等式获证, 其中等号当且仅当
x?y?z
时成立. （30分）
下面证明右边不等式.
根据欲证不等式关于
x,y,z
对称, 不妨设
x?y?z
, 于是

(z
2
?zx?x2
)(y
2
?y?z
2
)z?
2
x
,
y
所以

(x
2
?xy?y
2
)( y
2
?y?z
2
)z(
2
z?z?x
2
) x?(
2
?x?xy
2
)
.
y
2

x

y
（40分）







12

运用算术-几何平均不等式, 得
x
2
?xy?y
2
?xy
2
)?xy

(x?xy?y)xy?(x?xy?y)?xy?xy?(
2
x
2
?xy?y
2
?xy
2
x
2
?y
2
x2
?y
2
3
x
2
?y
2
?z
2
3
)?()?()?()
.
?(
2222
右边不等式获证, 其中等号当且仅当
x,y,z
中有一个为0,且另外两个相等时成立. （50分）
222222
四、（本题满分50分）
设k是给定的正整数，
r?k?
1
(l)
f(r)?
．记
f
(1)
(r)?f(r)?r
?
，
r
?
??
2
f(f
(l?1)
(r)),l?2
．证明：存在正整数m， 使得
f
(m)
(r)
为一个整数．这里，
?
?
x< br>?
?
表示不小于实数
x的最小整数，例如：
??
?1
，
?
1
?
?1
．
??
2
证明：记
v
2
(n)
表示正整数n所含的2的幂次．则当
m?v
2
(k)?1
时，
f
下面我们对
v
2
(k)
?v用数学归纳法．
当
v?0
时，k为奇数，
k?1
为偶数，此时
f(r)?
?
k?
(m)
?
1
?
??(r)
为整数．
?
?
1
??
1
??
1
?
?
?
k?
?
?
?
k?
??
k?1
?
为整
2
??
2
??
2?
数． （10分)
假设命题对
v?1(v?1)
成立．
对于
v?1
，设k的二进制表示具有形式
k?2
v
??
v?1
?2
v?1
?
?
v?2
?2
v?2
?
这里，
?
i
?0
或者1，
i?v?1,v ?2,
于是
f(r)?
?
k?

?
，
． （20分)
?
?
1
??
1
??
1
?k??k?
?
?
??
?
k?1
?

?
?
2
??
2
?
2
?
1k
??k< br>2
?k

22
1
v?1vv?12v

??2?(
?
v?1
?1)?2?(
?
v?1
?< br>?
v?2
)?2??2?

2
1

?k
?
?
， ① （40分）
2
这里
k
?
?2
v?1vv?1< br>?(
?
v?1
?1)?2?
?
(
v?1
?< br>?
v?2
?)2??
2
2
v
?
．显然
k
?
中所含的2的幂次为
1
v?1
．故由归纳假设知，
r
?
?k
?
?
经过f的v次迭代得到整数，由①知，
f
(v?1)
(r)
是一个整数，
2
这就完成了归纳证明． （50分）


13