2000年全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联赛 冯惠愚
2000年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月15日上午8:00?9:40）
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
2
x
1．设全集是实数，若 A={x|x－2≤0}，B={x|10
－2
=10
x
}
，
则A∩?
R
B是
( )
(A){2} (B){?1} (C){x|x≤2}
(D) ? ααα
2．设sin
?
＞0
，
cos
?
＜0< br>，
且sin
3
＞cos
3
，
则
3
的 取值范围是( )
ππ
2kπ
π
2kπ
π
(A )(2k
?
+
6
，
2k
?
+
3
)
，
k?Z (B)(
3
+
6
，
3
+
3
)
，
k? Z
5π
ππ
5π
(C)(2k
?
+
6
，
2k?
+
?
)
，
k? Z (D)(2k?
+
4
，
2k
?
+
3
)∪(2k?
+
6
，
2k
?
+
?
)
，< br>k? Z
3．已知点A为双曲线x
2
?y
2
=1的左顶点， 点B和点C在双曲线的右分支上，
△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
333
(A)
3
(B)
2
(C)33
(D)63
4．给定正数p
，
q
，
a
，
b
，
c，其中 p?q，若p
，
a
，
q是等比数列，p
，
b
，c
，
q是等差数列，则一元二次方程bx
2
?2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根
(D)有两个异号实根
54
5．平面上整点 （纵、横坐标都是整数的点）到直线y=
3
x+
5
的距离中的最小
值 是( )
34341
(A)
170
(B)
85
(C)
20
(D)
1
30

ππ
6．设ω=cos
5
+is in
5
，则以
?，?
3
，?
7
，?
9为根的方程是( )
(A)x
4
+x
3
+x
2
+x+1=0 (B) x
4
?x
3
+x
2
?x+1=0
(C) x
4
?x
3
?x
2
+x+1=0 (D) x
4
+x
3
+x
2
?x?1=0
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000?)=__________．
23
33
2．设a
n
是(3?x)
n
的展开式中x项的系数(n=2
，3
，
4
，
…)，则
n→∞
lim(
a
+
a
+…
23
- 1 -

2000年全国高中数学联赛 冯惠愚
3
n
+
a
))=________.
n
3．等比数列a+log
2
3
，
a+log
4
3
，
a+log
8
3的公比是____________.
x
2y
2
4．在椭圆
a
2
+
b
2
=1 ( a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的
5－1
端点为B.若该椭圆的离心率 是
2
，则∠ABF=_________.
5．一个球与正四面体的六条棱都相切， 若正四面体的棱长为a，则这个球
的体积是________.
6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；
(2)a?b，b?c，c?d，d?a；
(3)a是a，b，c，d中的最小值，
____
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
S
n
*
1．设S< br>n
=1+2+3+…+n
，
n?N，求f(n)=
(n+32)S的最大值．
n+1





- 2 -

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1
2
13
2．若函数f(x)=－
2
x+
2
在区间[a
，
b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，
b]．



















2 2
xy
3．已知C
0
：x
2
+y
2
=1和 C
1
：
a
2
+
a
2
=1 (a＞b＞0) ．试问：当且仅当a，b满足
什么条件时，对C
1
上任意一点P，均存在以P为顶点， 与C
0
外切，与C
1
内接
的平行四边形？并证明你的结论．

- 3 -

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2000年全国高中数学联赛二试题
（10月15日上午10∶00-12∶00）
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE =∠CAF，
作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证
明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
A



M

N

B
C

E F

D







二．（本题满分50分）
设数列{a
n
}和{b
n
}满足a
0
=1，a
1
=4，a
2
=49，且
?
a
n+1
=7a
n
+6b
n
－3，
?n=0，1，2，……
?
b
n+1
=8a
n
+7b< br>n
－4．
证明a
n
（n=0，1，2，…）是完全平方数．














三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中 的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个
人之间通电话的次数相等，都是3
k
次，其中k是自然数，求n的所有可能值．
- 4 -

2000年全国高中数学联赛 冯惠愚

2000年全国高中数学联合竞赛试题解答
第一试
一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
2
x
1．设全集是实数，若A ={x|x－2≤0}，B={x|10
－2
=10
x
}
，
则A∩?
R
B是
( )
(A){2} (B){?1} (C){x|x≤2}
(D) ?
解：A={2}，B={2，－1}，故选D．
ααα
2．设sin
?＞0
，
cos
?
＜0
，
且sin
3
＞ cos
3
，
则
3
的取值范围是( )
ππ2kπ
π
2kπ
π
(A)(2k
?
+
6
，
2k
?
+
3
)
，
k?Z (B)(
3
+
6
，
3
+
3
)
，
k?Z
5π< br>ππ
5π
(C)(2k
?
+
6
，
2k
?
+
?
)
，
k? Z (D)(2k
?
+
4
，
2k
?
+
3
)∪(2k
?
+
6
，
2k
?
+
?
)
，k?Z
πα
解：满足sin
?
＞0，cos
?
＜0的 α的范围是(2k
?
+
2
，2k
?
+π)，于是
3
的取值范
2kπ
π
2kπ
π
围是(
3
+< br>6
，
3
+
3
)，
αααπ
5π
π
满足sin
3
＞cos
3
的
3
的取值范围为(2k
?
+
4
，
2k
?
+
4
)．故所求 范围是(2k
?
+
4
，
π
5π
2k
?+
3
)∪(2k
?
+
6
，
2k
?+
?
)
，
k?Z．选D．

3．已知点A为双曲线x
2
?y
2
=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，
△ABC 是等边三角形，则△ABC的面积是( )
333
y
(A)
3
(B)
2
(C)33
B
(D)63
x
A
O
3
解：A(－1，0)，AB方程：y=
3
(x+1)，代入双曲线方程，解
C
得B(2，3)，
∴ S=33．选C．
4．给定正数p
，
q
，
a
，
b
，
c，其中p?q，若p
，
a
，
q是等比数列，p
，
b
，
c
，
q是等差 数列，则一元二次方程bx
2
?2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根
(D)有两个异号实根
2p+qp+2q
解：a
2
=pq，b+c =p+q．b=
3
，c=
3
；
- 5 -

2000年全国高中数学联赛 冯惠愚
112
22
△=a－bc=pq－(2p+q)(p+2q)=－(p－q) <0．选A．
499
54
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=< br>3
x+
5
的距离中的最小
值是( )
34341
(A)
170
(B)
85
(C)
20
(D)
1
30

|25x－15y+12|
解：直线即25x－1 5y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离=
534
|5(5x－3y+2)+2|< br>=．
534
∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x =y=－1时即可取到2．选
B．
ππ
6．设ω=cos
5
+is in
5
，则以
?，?
3
，?
7
，?
9为根的方程是( )
(A)x
4
+x
3
+x
2
+x+1=0 (B) x
4
?x
3
+x
2
?x+1=0
(C) x
4
?x
3
?x
2
+x+1=0 (D) x
4
+x
3
+x
2
?x?1=0
解：ω
5
+1=0，故
?，?
3
，?
7
，?
9< br> 都是方程x
5
+1=0的根．x
5
+1=(x+1)(x
4
－x
3
+x
2
－x+1)=0．选B．
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000?)=__________.
π
解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－
9
．
3
n
+
a
))=________.
n
23< br>33
2．设a
n
是(3?x)
n
的展开式中x项的系数(n= 2
，
3
，
4
，
…)，则
n→∞
lim(< br>a
+
a
+…
23
3
k
2·3
218
==
a
k
3
k
－
2
n(n－1) n(n－1)
，故填18．
3．等比数列a+log
2
3
，
a+log
4
3
，
a+log
8
3的公比是______ ______.
a+log
4
3a+log
8
3
(a+l og
4
3)－(a+log
8
3)log
4
3－log8
3
11
解：q=
a+log3
=
a+log3
===
3
．填
3
．
(a+log
2
3)－(a +log
4
3)log
2
3－log
4
3
24x
2
y
2
4．在椭圆
a
2
+
b
2
=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为
5－1
y
A，短轴上 方的端点为B.若该椭圆的离心率是
2
，则∠
B
ABF=_________ .
O
F
5－1
5+1
解：c=a，∴|AF|=
2
a．|BF|=a，
2
2
解：a
n
=3
n
－2
C
n
．∴
- 6 -

A
x

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5+3
2
|AB|=|AO|+|OB|=
2
a．
故有|AF|
2
=|AB|
2
+|BF|
2
．即∠ABF =90°．填90°．
5－1
2222
或由b=a－c=
2
a=ac，得解．
5 ．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的
棱长为a，则这个球的体积是________.
解：取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，
3
AE=BE=
2
a ，
663
AG=
3
a，AO=
4
a，BG=
3< br>a，AB∶AO=BG∶OH．
AO·BG24
3
2
3
2< br>3
OH=
AB
=
4
a．V=
3
πr
=
24
πa
．填
24
πa
．．
6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；
(2)a?b，b?c，c?d，d?a；
(3)a是a，b，c，d中的最小值，
____
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________
解：a、c可以相等，b、d也可以相等．
222
A
H
O
B
G
C
E
D
⑴ 当a、c相等，b、d也相等时，有C
4
=6种；
⑵ 当a、c相等，b、d不相等时，有A
3
+A
2
=8种；
⑶ 当a 、c不相等，b、d相等时，有C
3
C
2
+C
2
=8种；
⑷ 当a、c不相等，b、d也不相等时，有A
3
=6种；共28种．填28．

三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
S
n
1．设S< br>n
=1+2+3+…+n
，
n?N，求f(n)=
(n+32)S的最大值．
n+1
1n(n+1)11
解：S
n
=
2
n(n+1)，f(n)=
(n+32)(n+1)(n+2)
=
64
≤
50
错误！未指定书
n+
n
+34
签。．(n=8时取得最大值)．
*
3
111
22
2

1
2
13< br>2．若函数f(x)=－
2
x+
2
在区间[a
，
b] 上的最小值为2a，最大值为2b，求[a
，
b]．
113113
解：⑴ 若a≤b<0，则最大值为f(b)=－
2
b
2
+
2
=2b ．最小值为f(a)=－
2
a
2
+
2
- 7 -

2000年全国高中数学联赛 冯惠愚
=2a．即a，b是方程x
2
+4x－13=0的两个根，而此方程两根异号 ．故不可能．
1313
⑵ 若a<02
，得b=
4
．
113
当x=a或x=b时f(x)取最小值，①f(a)=－
2
a
2
+
2
=2a时．a=－2±17，但
1
2
1339
a<0，故取a=－2－17．由于|a|>|b|，从而f(a)是最小值．②f(b)=－
2b+
2
=
32
=2a>0．与a<0矛盾．故舍．
⑶ 0≤a1
2
131
2
13
∴ －
2
b+
2
=2a．－
2
a+
2
=2b．相减得a+b=4．解得a=1，b =3．
13
∴ [a，b]=[1，3]或[－2－17，
4
]．

x
2
y
2
22
3．已知C
0
： x+y=1和C
1
：
a
2
+
a
2
=1 ( a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足
什么条件时，对C
1
上任意一点P，均存在 以P为顶点，与C
0
外切，与C
1
内接
的平行四边形？并证明你的结 论．
解：设PQRS是与C
0
外切且与C
1
内接的平行
y
四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即PQRS
P
是菱形．于是OP⊥OQ．
设P(r
1
cosθ，r
1
sinθ)，Q(r
2
cos(θ+90°)，
S
r
2
sin(θ+90°)，则在直角三角形PO Q中有
O
x
Q
11
2222
r
1
+r2
=r
1
r
2
(利用△POQ的面积)．即
2
+
2
=1．
r
1
r
2
R
2
2< br>2
2
r
1
cos
θ
r
2
sinθ
1cos
2
θ
sin
2
θ
但
a2
+
b
2
=1，即
2
=
a
2
+
b
2
，
r
1
1sin
2
θ
c os
2
θ
11
同理，
2
=
a
2
+
b
2
，相加得
a
2
+
b
2
=1．
r
2
11
反之，若
a
2
+
b
2< br>=1成立，则对于椭圆上任一点P(r
1
cosθ，r
1
sinθ)， 取椭圆上
1cos
2
θ
sin
2
θ
1sin
2
θ
cos
2
θ
11
点Q(r
2
cos (θ+90°)，r
2
sin(θ+90°)，则
2
=
a
2
+
b
2
，，
2
=
a
2
+
b
2
，，于是
2
+
2
r
1
r
2< br>r
1
r
2
11
=
a
2
+
b
2
=1，此时PQ与C
0
相切．即存在满足条件的平行四边形．
故证．

- 8 -

2000年全国高中数学联赛 冯惠愚
第二试
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有 两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，
作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角 形ABC的外接圆于D．证
明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
证明：连MN， 则由FM⊥AM，FN⊥AN知A
、
M
、
F
、
A
N 四点共圆，且该圆的直径为AF．又?AMN=?AFN，但
M
?FAN=?MAD，故?MA D+?AMN=?FAN+?AFN=90?．∴
MN⊥AD，且由正弦定理知，MN=AFsinA．
N
11
B
C
E
F
∴S
AMDN
=
2
AD·MN=
2
AD·AFsinA．
D
连BD，由?ADB=?ACF，?DAB=?CAF，得⊿ABD
∽⊿AFC．
∴ AD∶AB=AC∶AF，即AD·AF=AB·AC．
11
∴ S
AMDN
=
2
AD·AFsinA=
2
AB·ACsinA=S
ABC
．
二．（本题满分50分）
设数列{a
n
}和{b
n
}满足a
0
=1，a
1
=4，a
2
=49，且
?
a
n+1
=7a
n
+6b
n
－3，
?n=0，1，2，……
b=8a+7b－4．
?
n+1nn
证明a
n
（n=0，1，2，…）是完全平方数．
证明 ⑴×7：7a
n+1
=49a
n
+42b
n
－21， ⑵×6：6b
n+1
=48a
n
+42b
n
－24．
两式相减得，6b
n+1
－7a
n+1
=－a
n
－ 3，即6b
n
=7a
n
－a
n
－
1
－3．
111
代入⑴：a
n+1
=14a
n
－a
n
－
1
－6．故a
n+1
－
2
=14(a
n
－
2
)－(a
n
－
1
－
2
)．
其特征方程为x
2
－14x+1=0，特征方程的解为x=7±43．
1< br>nn
1
故a
n
=α(7+43)
+β(7－43)+
2
,现a
0
=1，a
1
=4，a
2
=49．解得α =β=
4
．
111111
∴ a
n
=
4
(7+43)
n
+
4
(7－43)
n
+
2
=
4
(2+3)
2n
+
4
(2－3)
2n
+
2

1
n
1
=[
2
(2+3)+
2
(2－3)
n
]
2
．
1
n
1
由于[
2
(2+3)+
2
(2－3)
n
]是整数，故知a
n
是整数的平方．即为完全平方数．

三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们 中的任意n－2个
人之间通电话的次数相等，都是3
k
次，其中k是自然数，求n的所有可能值．
解：由条件知，统计各n－2人组的通话次数都是3
k
次，共有C
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2
n
－
2
n
=C
n
个n

2000年全国高中数学联赛 冯惠愚
2
n－4
－2人组，若某两人通话1次，而此二人共参加了C= C个n－2 人组，
n－2
n－2
2
n(n－1)
即每次通话都被重复计算了C次 ．即总通话次数应为·3
k
次．
n－2
(n－2)(n－3)
由于 (n－1，n－2)=1，故n－2|n?3
k
．
若n－2|n，故n－2|2，易得n=4，(n=3舍去)此时k=0．
由n－2|3
k
，n=3
m
+2，(m为自然数，且m≤k)，此时
n(n－1)
mm
k
(3+2)(3+1)
km
6
(n－2)(n－3)
·3 =
3
m
(3
m
－1)
·3=[3+4+
3
m
－1
]·3
k
－
m
，即3
m
－1|6．
∴ m=0，1．当m=0时，n=3(舍去)，当m=1时，n=5．
又：n=4时，每两个人通话次数 一样，可为1次(任何两人都通话1次)；当
n=5时，任何两人都通话1次．均满足要求．
∴ n=0，5．

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