2019年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)

2019 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8分和 0分两档；其他各题的评
阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标 准适当划分档次评分，解答题中第 9小题 4分为一个档次，第 10、11
小题 5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分
．
1. 已知正实数
a
满足a
a
=( 9a)
8a
，则log(3a)的值为．
a
答案：
9

16
1
8
解：由条件知9a=
a
，故
3a=
9a?a?a
，所以
log
a
?
3a
?
?
9
16
9
．
16
2. 若实数集合{1, 2, 3, x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素
之和，则
x
的值为 ．
3
答案：
-

12

解：假如 x
?
0，则最大、最小元素之差不超过max{3, x}，而所有元素之和
大于max{3,x}，不符合条件．故
x<0
，即
x
为最小元素．于是
3-x=6+x
，解得
3
x=
-

2
3. 平面直角坐标系中，
e
是单位向量，向量
a
满足
a
?
e
=2，且
a?5 a?te

对任意实数t成立，则
a
的取值范围是
答案：
．
2
解：不妨设
e
= (1, 0)
．由于
a?
e
= 2 ，可设
a
= (2, s)
，则对任意实数t ，有
4?s?a?5a?te?5
?
2?t
?< br>?s
2
，
2
2
2
这等价于
4?s
2
?5s
，解得
s?
?
1,4
?
，
即s
2
?
?
1,16
?
．
于是
a?4?s
2
?5,25.

4.设A,B为椭圆?
的长轴顶点，E,F为
?
的两个焦点，
AB?4,
AF?2? 3,
P为
?
上一点，满足
PE?PF?2,
则
?PEF的面积为
．
答案：1
x
2
y
2
解：不妨设 平面直角坐标系中
?
的标准方程为
2
?
2
?1
?< br>a?b?0
?
.

ab
??

22
根据条件得
2a?AB?4,a?a?b?AF?2?3,
可知
a?2 ,b?1,

22
且
EF?2a?b?23.

由椭圆定义知
PE?PF?2a?4,
结合
PE?PF?2
得 PE?PF?
?
PE?PF
?
?2PE?PF?12?EF,

2222
1
PE?PF?1
.
2
5. 在1,2,3, ,10中随机选出一个数
a
，在-1,-2,-3,
个数
b
，则a< br>2
+b被3整除的概率为 ．
所以
?EPF
为直角，进而
S
?PEF
?
,-10中随机选出一
37
答案：.
100
解：数组(a, b) 共有10
2
=100 种等概率的选法．
考虑其中使a
2
+b 被 3 整除的选法数
N
．
若
a
被 3 整除，则
b
也被 3 整除．此时a, b 各有 3 种选法，这样的(a, b) 有
3
2
=9组．若
a
不被 3 整除，则a
2
?
1(mod3) ，从而b
?
-1(mod3)．此时
a
有 7 种选
法，
b
有 4 种选法，这样的(a,b)有
7
?
4=28
组．
因此
N = 9 + 28 = 37
．于是所求概率
37
.

100
6.对任意闭区间I，用M
I
表示函数y=sinx在I上的最大值．若正数
a
满足
M
[0,a]
=2M
[a,2a]
，则
a
的值为 ．
答案：
513
?
或
?
.

612
解：假如0?a?
条件不符.
?
2
,则由正弦函数 图像性质得0?M
[0，a]
?sina?M
[a,2a]
,与
< br>因此a?
?
1
,此时M
[0，a]
?1，故M
[a，
?.于是存在非负整数k，使得
2a]
22

513
2k< br>?
?
?
?a?2a?2k
?
?
?
,
①
66
且①中两处“≤”至少有一处取到等号.
513513
当k=0时 ，得
a?
?
或2a?
?
.经检验，a?
?
，
?
均满足条件.

66612
当k?1时，由于2k
?
?
135
??
?
?2
?
2k
?
?
?
?
,故不存在满足
①的a.
66
??
513
a的 值为
?
或
?
.
综上，
612

7. 如图，正方体ABCD — EFGH的一个截面经过顶点A，C及棱EF上一点 K，且
EK
将正方体分成体积比为3:1的两部分，则的值为 .
KF





答案：
3.

解：记
?
为截面所在平面．延长AK,BF交于点P，则P在
?
上， 故直线
CP
是
?

与平面
BCGF
的交线．设
CP
与
FG
交于点 L ，则四边形
AKLC
为截面．
因平面
ABC
平行于平面 KFL，且 AK, BF, CL共点 P，故
ABC- KFL
为棱
台．不妨设正方体棱长为 1，则正方体体积为 1，结合条件知棱台
ABC- KFL
的
1
体积
V?.

4
KFFLPFh
设P F=h,则
???.
ABBCPBh?1
注意到PB，PF分别是棱锥P- ABC与棱锥P-
KFL的高，于是
111
?V?V
P?ABC
? V
P-KFL
?AB?BC?PB?KF?FL?PF
466

3< br>?
?
h
?
?
3h
2
?3h?11
? (h?1)
?
1?
?
?.
?
?
2
??6h?16(h?1)
?
?

?
?
1EKAE1
化简得3h
2
?1,故h?.从而???3.
KFPFh
3

8.将6个数2,0, 1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为
0），则产生的不同的8 位数的个数为 ．
答案：
498
．
解：将2, 0, 1, 9, 20, 19 的首位不为
0
的排列的全体记为 A ．
易知 |A|
=
55!
=
600（这里及以下，
X
表示有限集 X的元素个数）．
将 A 中2 的后一项是
0
，且1的后一项是
9
的排列的全体记为 B ；A 中2 的后
一项是
0
，但1的后一项不是
9
的排列的全体记为
C
； A 中1的后一项是
9
，但2
的后一项不是
0
的排列的全体记为 D ．
易知|B|
=
4!，|B|
+|
C|
=
5!， |B|
+|
D|
=
4×4!，即|B|
=
24,|C|
=
96,|D|
=
72 ．
由 B 中排列产生的每个 8 位数，恰对应 B 中的2×2 = 4 个排列（这样的排列
中，
20
可与“ 2, 0 ”互换，
19
可与“1, 9 ”互换）．类似地，由
C
或 D 中排列产
生的每个 8 位数，恰对应
C
或 D 中的2 个排列．因此满足条件的 8 位数的个数为
BC?D
?

A
?
B?C?D
?
?

42
3BCD???
600
?
18
?
48
?
36
?
498.

=
A?
422

二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9.（本题满分 16 分）在
?
ABC
中，
BC = a, CA = b, AB = c
．若
b
是
a
与
c
的
等比中项，且
sin A
是sin(B - A) 与
sin C
的等差中项，求
cos B
的
值． 解：因
b
是
a, c
的等比中项，故存在q > 0 ，满足
b = qa, c = q
2
a ．
因
sin A
是sin(B - A), sin C 的等差中项，故
①
2sin A = sin(B - A) + sin C = sin(B - A) + sin(B + A) = 2sin B cos A ．
…………………4 分
结合正、余弦定理，得
asinAb
2
? c
2
?a
2
??cosA?,

bsinB

2bc
即b
2
?c
2
?a< br>2
?2ac.
…………………8分
将①代入并化简，可知q
2
+ q
4
-1 = 2q
2
，即q
4
= q
2
+1，所以

q
2
?
5?1
.
…………………12 分
2
c
2
?a
2
?b
2< br>q
2
?1?q
2
15?1
cosB????.
…………………16 分
2ac2q
2
q
2
2
10. （本题满分 20 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆W 与抛物线G : y
2
= 4x
恰有一个公共点，且圆W 与
x
轴相切于G 的焦点 F ．求圆W 的半径．
解：易知G 的焦点 F 的坐标为(1, 0) ．设圆W 的半径为r (r > 0) ．由对称性，
不妨设W 在
x
轴上方与
x
轴相切于 F ，故W 的方程为
(x -1)
2
+( y - r)
2
= r
2
．
将
2
①
?
y
2
?
y
2
2
?
代入
① 并化简，得
?
?1?y?2ry?0.
显然
y?0,
故
x?
?
4
?
4
??
2
2
??y
2
?4
2
??
1
?
y
2
?
?
?1
?
?y?.

r?
??
??
2y
?
432y
?
??
②

??
…………………5分
根据条件，②恰有一个正数解 y ，该 y 值对应W 与G 的唯一公共点．
?
y
考虑f
?
y
?
?

?4
32y
2
?
?
y?0
?
的最小值.
2

3
444
?
4
?
由平均值不等式y
2< br>?4?y????4
4
y
2
?
??
,从而
3 33
?
3
?

143
?
4
?f
?
y
?
??16y
2
?
??
?.< br>32y39
??

42343
当且仅当y
2
?，即y?,f
?
y
?
取到最小值.
…………………15分
339


43
43
.
又 假如
r?,
因
f
?
y
?
随y连续变化，且y?o< br>?
由②有解可知
r?
9
9

3

?
23
??
23
?
?
及
??
上均有解，
及y???时f
?
y
?
均可任意大，
故②在
?0,

，??
????
3
??
3
??
与解的唯一性矛盾。
综上，仅有
r?
?
123
?
43
?
是?与 ?的唯一公共点
）。 满足条件（此时
?
,
??
9
?
33
?
………………20分
11.（本题满分 20 分）称一个复数数列
?
z
n
?
为“有趣的”，若
z
1
?1,
且对任意
22
正整数n，均有
4z
n?1
?2z
n
z
n?1
?z
n
?0.
求最大的常数C，使得对一切有趣的数列?
z
n
?
及任意正整数m，均有
z
1
?z2
??z
m
?C.

2
解：考虑有趣的复数数列
?
z
n
?
.归纳地可知
z
n
?0
?n?N
?
?
.
由条件得
?
z
n?1
??
z
n?1
?
?
???
4
?
?2?1? 0n?N,

?
z
??
z
?
?
n
??
n
?
z
n?1
z
-1?3i1
-1?3i?
n?1
?
故
?，
?n?N
?
.
因 此
42
zz
4
nn
??
解得
z
n?1z
n
??
z
n
?z
1
?
11
?
??
.
①
n?N
?
n?1n?1
22
…………………5分

进而有

z
n
?z
n?1
?z
n?1?
z
n?1
13?3i3
?
n?1
??
n
?
n?N
?
?
.
②
z
n
242
记
T
m
?

z
1
?z
2
??z
m
?
m?N
?
?
.


当
m?2s
?
s?N
?
?
时，利用
②可得
T
m
?
z
1
?z
2
-
?
z
2k?1
?z
2k
k?2
s
3
?
3?
33
??
?
z
2k?1
?z
2k
? ?
?
2k?1
?.

2
k?2
2
k?2
23
………………10分
当
m?2s?1s?N
?
时，
由①、②可知
??
z
2s?1
故
??
133
?
2s< br>??
?
2k?1
?
?
z
2k?1
?z
2k
,

2s-1
23?2
k?s?1
2
k?s ?1
3
?
3
?
s
?
T
m
?
z
1
?z
2
-
?
?
z
2k?1
?z
2k
?
?z
2s?1
??
?
z
2k? 1
?z
2k
?.

2
k?2
3
?
k?2
?
3
.
当 m=1时，
T
1
?z
1
?1?
3
3
以上表 明
C?
满足要求.
……………………15分
3
-1?3i-1?3i
?
??
,z?k?N时，易验证知

另一方面，当
z
1
?1,z
2k
?
2k?1
2k2k?1
22
?
z
n
?
为有趣的数列，此时

limT
2s?1
?limz
1
?
?
?< br>z
2k
?z
2k?1
?

s??s??
k? 1
s
?lim1?
?
s??
?3?3i?3?3i43
，
?1???
2k?1
2833
k?1
s
3
.
3
3
综上，所求的C为.
……………………20分
3
这表明C不能大于