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2018年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案

一、（本题满分50分）
如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的 切线l，又以A为圆心，AC
为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。
证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。







（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆
心称为旁心。）
证明：（1）先证DE过△ABC的内心。
如图，连DE、DC，作∠BAC的平分线分别交DC于G、DE于I，连IC，则由AD=AC，
得，AG⊥DC，ID=IC.
又D、C、E在⊙A上，




∴∠IAC=
1
∠DAC=∠IEC，∴A、I、C、E四点共圆，
2
1
∠ABC.
2

∴∠CIE=∠CAE=∠ABC，而∠CIE=2∠ICD，
∴∠ICD=
∴∠A IC=∠IGC+∠ICG=90°+
11
∠ABC，∴∠ACI=∠ACB，∴I为△ABC 的内心。
22
（2）再证DF过△ABC的一个旁心.
连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I
1
，连II
1
、B I
1
、B I，由（1）知，I为内心，
∴∠IBI
1
=90° =∠EDI
1
，∴D、B、l
1
、I四点共圆，
∵∠BI l
1
=∠BDI
1
=90°－∠ADI
1

= （
11
∠BAC+∠ADG）－∠ADI=∠BAC+∠IDG，∴A、I、I
1共线.
22
I
1
是△ABC的BC边外的旁心
二、（本题满分50分）
设正数a、b、c、x、y、z满足
cy?bz?a,az?cx?b;bx?ay?c.

x
2
y
2
z< br>2
??
求函数
f(x,y,z)?
的最小值.
1?x1?y 1?z
解：由条件得，
b(az?cx?b)?c(bx?ay?c)?a(cy?bz?a) ?0
，
即
2bcx?a?b?c?0
，
222
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
b
2
?c
2
?a
2
?x ?
,z?.
，同理，得
y?
2ac2ab
2bc

?
a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知，


b
2
?c
2
?a
2
,a
2
?c
2
?b
2
,a
2
?b
2
?c
2
，
故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC，

?x?cosA,y?cosB,z?cosC
，问题转化为：在锐角△ABC中，

cos
2
Acos
2
Bcos
2
C
??< br>求函数
f(cosA
、
cosB
、
cosC
）=的最 小值.
1?cosA1?cosB1?cosC
令
u?cotA,v?cotB,w ?cotC,
则
u,v,w?R,uv?vw?wu?1,

且
u? 1?(u?v)(u?w),v?1?(u?v)(v?w),w?1?(u?w)(v?w).

222
?



cos
2
A
??
1?cosA
1?
u
2
u
2
?1
u
u
2
?1
?
u
2
u?1(u?1?u)
22?
u
2
(u
2
?1?u)
u?1
2

u
3
11
?u?u??u?(?),

2
2u?v u?w
(u?v)(u?w)
u?1
222
u
3
u
3


cos
2
Bv
3
11cos
2Cw
3
11
22
?v?(?),?w?(?).
同理，
1?cosB2u?vu?w1?cosC2u?wv?w
1u
3
?v
3< br>v
3
?w
3
u
3
?w
3
1
?f?u?v?w?(??)?u
2
?v
2
?w
2
?[(u
2
?uv?v
2
)

2u?vv?wu?w2
22 2
+
(v?vw?w)?(u?uw?w)]?
2222
11
(uv ?vw?uw)?.
（取等号当且仅当
u?v?w
，
22

此时，
a?b?c,x?y?z?
三、（本题满分50分）
11
),[f(x,y,z)]
min
?.

22

当n为平方数,
?
0
?
对每个正整数n，定义函数
f(n) ?
?
1

[]当n不为平方数.
?
{n}
?
（其中[x]表示不超过x的最大整数，
{x}?x?[x]).
试求：
*

?
f(k)
的值.
k?1
2402
解：对任意
a,k?N
，若
k?a?(k?1)
，则
1?a?k?2k
，设
a?k?
?
,0?
?
?1,

22
则
1
{a}
?
?
1
?
1< br>a?k
2
?
a?k2k?
?
2k12k
???1,? []?[].

2222
a?ka?ka?ka?k
{a}
2

2k
12k
让a跑遍区间
(k,(k?1)
）中的所有整数，则
?
[] ?
?
[],

i
i?1
k
2
?a?(k? 1)
2
{a}
(n?1)
2
于是
?
a?1
f(a)?
??
[
i?1i?1
n2k
2k
……①
]
i
下面计算
?
[
i?1
2k
2k],
画一张2k×2k的表，第i行中，凡是i行中的位数处填写“*”号，则
i
2k
2k
2k
这行的“*”号共
[]
个，全表的“*”号共
?
[]
个；另一方面，按列收集“*”号数，
i
i
i?1
第 j列中，若j有T（j）个正因数，则该列使有T（j）个“*”号，故全表的“*”号个数共
2k< br>2k
T(j)
个，因此
?
[]
=
?
T(j)
.
?
i
j?1j?1
i?1
2k
2k
示例如下：
j
i
1
2
3
4
5

1
*




2
*
*



3
*

*


4
*
*

*

5
*




6
*
*
*

6
n

n2k
*
则
?
f(a)?
??
T(j)?n[T(1)?T(2)]?(n?1)[T (3)?T(4)]?
?
?[T(2n?1)?T(2n)]

i?1i?1j?1
……②
由此，
?
f(k)?
?(16?k)[T(2k?1)?T(k)]
……③
k?1k?1
25615

k
记
a
k
? T(2k?1)?T(2k),k?1,2,?,15,
易得
a
k
的取值情况 如下：
1
3
2
5
16
n
3
6
4
6
5
7
6
8
7
6
8
9
9
8
10
8
11
8
12
10
13
7
14
10
15
10
a
k

因此，
?
f(k)?
?< br>(16?k)a
k?1k?1
2
15
k
?783
…… ④



据定义
f(256)?f(16)?0
， 又当
k?{241,242,?,255},设k?15?r
2
(16?r?30 )
，
k?15?15
2
?r?15?
rrr
??
，
2 2
15?r?15
31
15?r?15
30
?
r

1?
1
30131
]?1,k?{241,242,?,255}
… …⑤
???2
，则
[
r
{15
2
?r}
r
{k}
从则
?
f(k)?783?
?
f(k)?783 ?15?768.
i?1i?1
240256
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