高中数学必修1典型题-高中数学竞赛命题人讲座微盘
二○○一年全国高中数学联合竞赛题
(10月4日上午8:00—9:40)
题号
得分
评卷人
复核人
一
二
三
13
14
15
合计
加试
总成绩
学生注意:1、本试卷共有三大题(15个小题),全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、
选择题(本题满分36分,每小题6分)
本题共有6个小是题,每题均给出(A)(B)(C)(D)
四个结论,其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分
;不选、选错或选的代表字母超过一个
(不论是否写在括号内),一律得0分。
1、已知a为
给定的实数,那么集合M={x|x
2
-3x-a
2
+2=0,x∈R}的子
集的个数为
(A)1 (B)2
(C)4 (D)不确定
2、命题1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;
命题2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点;
命题3:长方体中,必存在到各面距离相等的点;
以上三个命题中正确的有
(A)0个 (B)1个 (C)2个
(D)3个
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|,
y=lg|sinx|中以?为周期、在(0,
?
)上单调递增的偶函数是
2
(A)y=sin|x| (B)y=cos|x|
(C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的⊿ABC恰有一个,那么k的取值范围是
(A)k=8
3
(B)0
5.若(1+x+x
2
)
1000
的展开式为a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
2000
x
2000
,
则a
0+a
3
+a
6
+a
9
+…+a
1998
的值为( ).
(A)3
333
(B)3
666
(C)3
999
(D)3
2001
6.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰与5枝康
乃馨的价格之和小于22元,则
2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较,结果是( ).
(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高
(C)价格相同
(D)不确定
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________.
8、若复
数z
1
,z
2
满足|z
1
|=2,|z
2
|=3,3z
1
-2z
2
=
3
-I,则z
1
z
2
= 。
2
9、正方体
ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1
,则直线A
1
C
1
与BD
1
的距离是
。
10、不等式
13
?2?
的解集为
。
log
1
x2
2
11、函数
y?x?x
2?3x?2
的值域为
。
F
E
A
B
D
C
12、在一个正六
边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一场块中种同一种植物,
相邻的两块种不同的植物。现有
4种不同的植物可供选择,则有 种栽种
方案。
二、
解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、设{a
n
}为等差数列,{bn
}为等比数列,且
b
1
?a
1
,
b
2
?a
2
,
b
3
2
2
2
?a3
(a
1
2
),又
n???
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?2?1
,试求{a
n
}的首项与公差。
x
2
2
2
14、设曲线C
1
:
2
?y?1
(a为正常数)与C
2
:y=2(x+m)
在x轴上方公有一个公共点P。
a
(1) 求实数m的取值范围(用a表示);
(2) O为原点,若C
1
与x轴的负半轴交于点A,当0示)。 <
br>15、用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6
、(a
1
>a
2
>a
3
>a
4
>a
5
>a
6
)的电阻组
装成一个如图的组件,在组
装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论。
1
时,试求⊿OAP的面积的最大值(用a表
2
二○○一年全国高中
数学联合竞赛加试试题
(10月4日上午10:00—12:00)
学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、(本题满分50分)
如图:⊿ABC中,O为外心,三条高AD
、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N。
求证:(1)OB⊥DF,O
C⊥DE;(2)OH⊥MN。
二、(本题满分50分)
设x
i
≥0(I=1,2,3,…,n)且
三、(本题满分50分)
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行于矩形的相应
边,试求这些正方形边长之和的最小值。
?
x
i?1
n
2
i
?2
1?k?j?n
?
n
k
x
k
x<
br>j
?1
,求
?
x
i
的最大值与最小值。
j
i?1
2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一.选择题:
CBDDCA
1.已知a为给定的实数,那么集合M={x|x-3x-a+2=0,x∈R}的子集的个数为(
).
A.1 B.2 C.4 D.不确定
讲解:M表示方程x-3x-a+2
=0在实数范围内的解集.由于Δ=1+4a>0,所以M含
有2个元素.故集合M有2=4个子集,选
C.
2.命题1:长方体中,必存在到各顶点距高相等的点.
命题2:长方体中,必存在到各条棱距离相等的点;
命题3:长方体中,必存在到各个面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
讲解:由于长方体的中心到各顶点的距离相等,所
以命题1正确.对于命题2和命题3,一般的
长方体(除正方体外)中不存在到各条棱距离相等的点,也
不存在到各个面距离相等的点.因此,本题
只有命题1正确,选B.
3.在四个函数y=s
in|x|、y=cos|x|、y=|ctgx|、y=lg|sinx|
中,以π为周期、在(0,
π/2)上单调递增的偶函数是( ).
A.y=sin|x| B.y=cos|x|
C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx|
讲解:可考虑用排除法.y
=sin|x|不是周期函数(可通过作图判断),排除A;y=c
os|x|的最小正周期为2π,且
在(0,π/2)上是减函数,排除B;y=|ctgx|在(0,π/2)
上是减函数,排除C.故应
选D.
4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是
(
).
A.
k?83
B.0<k≤12
C.k≥12
D.0<k≤12或
k?83
讲解:这是“已知三角形的两边及其一边的对角,解
三角形”这类问题的一个逆向问题,由课本结
论知,应选结论D.
说明:本题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除A、B、C.
5.若(1+x+x<
br>2
)
1000
的展开式为a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
2000
x
2000
,
则a
0
+a
3
+a
6
+a
9
+…
+a
1998
的值为( ).
A.3
333
B.3
666
C.3
999
D.3
2001
讲解:由于要求的是展开式中每间降两项系数的和,所以联想到1的单位根,用特殊值法.
2
222
22
取ω=-(1/2)+(
=0.
令x=1,得
3
1000
=a
0
+a
1
+a
2
+a
3
+…+a
2000
;
令x=ω,得
0=a
0
+a
1
ω+a
2
ω+…+a
2000
ω
2000
;
令x=ω,得
0=a
0
+a
1
ω+a
2
ω+a
3ω+…+a
2000
ω
4000
.
三个式子相加得
3
1000
=3(a
0
+a
3
+a
6<
br>+…+a
1998
).
a
0
+a
3
+a
6
+…+a
1998
=3
999
,选C.
246
2
2
/2)i,则ω=1,ω+ω+1
32
6.已
知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,
则2枝
玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较,结果是( ).
A.2枝玫瑰价格高
B.3枝康乃馨价格高
C.价格相同 D.不确定
讲解:这是一个大小比较问题.可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y元,则由题设得,
问题转化为在条件①、②的约束下,比较2x与3y的大小.有以下两种解法:
解法1:为了整体地
使用条件①、②,令6x+3y=a,4x+5y=b,联立解得
x=(5a-3b)/18,y=(3
b-2a)/9.
∴2x-3y=…=(11a-12b)/9.
∵a>24,b<22,
∴11a-12b>11×24-12×22=0.
∴2x>3y,选A.
图1
解法2:由不等式①、②及x>0、y>0组成的
平面区域如图1中的阴影部分(不含边界).令2
x-3y=2c,则c表示直线l:2x-3y=2c
在x轴上的截距.显然,当l过点(3,2)时,2c有
最小值为0.故2x-3y>0,即2x>3у
,选A.
二.填空题
说明:(1)本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题:
已知函数M=f(x
)=ax-c满足:-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,那么f(3)应满足
A.-7≤f(
3)≤26 B.-4≤f(3)≤15
C.-1≤f(3)≤20
D.-28/3≤f(3)≤35/3
(2)如果由条件①、②先分别求出x、y的范围,再由2x-
y的范围得结论,容易出错.上面的
2
( ).
解法1运用了整体的思想,解法2则直观可靠,详见文[1].
7.
23
3
8.
?
3072
?i
1313
9.
6
6
10.
(0,1)?(1,2
7
)?(4,??)
2
11.
[1,
3
)?[2,??)
2
12. 732
7.椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________.
讲解:
若注意到极点在椭圆的左焦点,可利用特殊值法;若注意到离心率e和焦参
数p(焦点到相应准线的距离
)的几何意义,本题也可以直接求短半轴的长.
解法1:由
?
?
(0)?a
?c?1
?
(
?
)?a?c?13
得
a=2/3,从而b=
323
,故2b=
33
解法2:
由e=c/a=1/2,p=b
2
/c=1及b
2
=a
2
-
c
2
,得
b=
323
.从而2b=.
33
说明:这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题.
8.若复数z
1
、z
2
满足|z
1
|=2,|z
3
|=3,3
z
1
-2z
2
=(3/2)-i,
则z
1
·z2
=______________.
讲解:参考答案给出的解法技巧性较强,根据问
题的特点,用复数的三角形式似乎
更符合学生的思维特点,而且也不繁.
令z
1<
br>=2(cosα+isinα),z
2
=3(cosβ+isinβ),则由3
z
1
-2z
2
=(3/2)-i及复数相等的充要条件,得
即
二式相除,得tg(α+β)/2)=3/2.由万能公式,得
sin(α+β)=12/13,cos(α+β)=-5/13.
故z
1
·z
2
=6[cos(α+β)+isin(α+β)]
=-(30/13)+(72/13)i.
说明:本题也可以利用复数的几何意义解.
9.正方体ABCD-A
1
B
1
C1
1
的棱长为1,则直线A
1
C
1
与BD1
的距离是
______________.
讲解:这是一道求两条异面直线距离的问题,解法较多,下面给出一种基本的解法.
图2
为了保证所作出的表示距离的线段与A
1
C
1
和BD
1
都垂
直,不妨先将其中一条直
线置于另一条直线的垂面内.为此,作正方体的对角面BDD
1
B
1
,则A
1
C
1
⊥面B
DD
1
B
1
,且BD
1
1
面BDD
1
B
1.设A
1
C
∩B
1
D
1
=0,在面BDD1
B
1
内作OH⊥BD
1
,垂足为H,则线段OH的长为异面<
br>直线A
1
C
1
与BD
1
的距离.在Rt△BB
1
D
1
中,OH等于斜边BD
1
上高的一半,
即OH=/
6.
10.不等式|(1/log
1
/
2
x)+
2|>3/2的解集为______________.
讲解:从外形上看,这是一个绝对值不等式,
先求得log
1
/
2
x<-2,或-2/7
<log1
/
2
x<0,或log
1
/
2
x>0.
从而x>4,或1<x<2
2
/
7
,或0<x<1.
11.函数y=x+的值域为
______________.
讲解:先平方去掉根号.
由题设得(y-x)
2
=x
2
-3x+2,则x=(y
2<
br>-2)/(2y-3).
由y≥x,得y≥(y
2
-2)/(2y-3).解得1≤y<3/2,或y≥2.
由于
/2)∪[2,+∞).
能达到下界0,所以函数的值域为[1,3
说明:(1)参考答案在求得1≤y<3/2或y
≥2后,还用了较长的篇幅进行了
一番验证,确无必要.
(2)本题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读者不妨一试.
图3
12.在
一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图3),要求同一块中种同一种植物,相邻
的两块种不同的植
物.现有4种不同的植物可供选择,则有______________种栽种方案.
讲解:为了叙
述方便起见,我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F.按间隔三
块A、C、E种植植物的
种数,分以下三类.
(1)若A、C、E种同一种植物,有4种种法.当A、C、E种植后,B、D
、E可从剩余的
三种植物中各选一种植物(允许重复),各有3种方法.此时共有4×3×3×3=10
8种方法.
3
(2)若A、C、E种二种植物,有P
4
2
种种法.当A、C、E种好后,若A、C种同一种,则
B有3种方法,D、F各有2种方法;若C、E
或E、A种同一种,相同(只是次序不同).此时共有
P
4
×3(3×2×2)=43
2种方法.
3
4
(3)若A、C、E种三种植物,有P
4
种种法.这时B、D、F各有2种种方法.此时共有P
3
×2×2×2=192种方法.
根据加法原理,总共有N=108+432+192=732种栽种方案.
说明:本题是一个环形排列问题.
三.解答题
13.设所求公差为d,∵a
1
<a
2
,∴d>0.由此得
2
(a
1
?2d)
2
?(a
1
?d)
4
化简得:
2a
1
2
?4a
1
d?d
2
?0
a
1
解得:
d?(?2?2)a
1
………………………………………………………
5分
而
?2?2?0
,故a
1
<0
2
a
2
若
d?(?2?2)a
1
,则q?
a
1
2
2
a
2
?(2?1)
2<
br>
若
d?(?2?2)a
1
,则
q?
a1
2
?(2?1)
2
……………………………… 10分
2
但
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?2?1
存在,故| q |<1,于是
q?(2?1)
不可能.
n???
从而
a
1
2
1?(2?1)
2<
br>?2?1?a
1
2
?(22?2)(2?1)?2
所以
a
1
??2,d?(?2?2)a
1
?22?2
……………………………… 20分
?
x
2
2
?
2?y?1
14.解:(1)由
?
a
消去y得:
x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
?0
①
?
y
2
?2(x?m)
?
2222
设
f(x)?x?2ax?2am?a
,问题(1)化为方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或
等根.
只需讨论以下三种情况:
a
2
?1
1°
△=0得:
m?
,此时x
p
=-a
2
,当且仅当-a<-a
2
<a,即0<a<1时适合;
2
2°f (a)f
(-a)<0,当且仅当-a<m<a;
3°f (-a)=0得m=a,此时x
p
=a-2a
2
,当且仅当-a<a-2a
2
<a,即0<a<1时适
合.
f (a)=0得m=-a,此时x
p
=-a-2a
2
,由于-a-2a
2
<-a,从而m≠-a.
a
2
?1
综上可知,当0<a<1时,
m?
或-a<m≤a;
2
当a≥1时,-a<m<a.……………………………………………… 10分
(2)△OAP的面积
S?
1
ay
p
2
∵0<a<
1
22
,故-a<m≤a时,0<
?a?aa?1?2m
<a,
2
由唯一性得
x
p
??a
2
?aa
2
?1?2m
显然当m=a时,x
p
取值最小.由于x
p
>0,从而y<
br>p
=
1?
x
2
p
a
2
取值最大,此
时
y
p
?2a?a
2
,
2
∴
S?aa?a
.
a
2
?1
1
2
当
m?
时,xp
=-a
2
,y
p
=
1?a
,此时
S
?a1?a
2
.
2
2
2
下面比较
aa?a
与
1
a1?a
2
的大小:
2
令
aa?a
2
?
11
a1?a
2
,得
a?
2
3
故当0<a≤
111
2
时,
aa?a
≤
a1?a
2
,此时
S
max
?a1?a
2
.
22
3
当
111
?a?
时,
aa?a
2
?a1?a
2,此时
S
max
?aa?a
2
.……… 20分
2
32
15.解:设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为R
FG
,当R
i
=a
i
,i=3,4,5,6,R
1
、R
2<
br>是a
1
、a
2
的任意排列时,R
FG
最小
…………………………………………………… 5分
证明如下:
1.设当两个电
阻R
1
、R
2
并联时,所得组件阻值为R,则
111
??<
br>.故交换二电阻的位置,
RR
1
R
2
不改变R值,且当R1
或R
2
变小时,R也减小,因此不妨取R
1
>R
2<
br>.
2.设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R
AB
R
AB
?
RR?R
1
R
3
?R
2
R
3
R
1
R
2
?R
3
?
12
R
1
?R
2
R
1
?R
2
显然R
1
+R
2
越大,R
AB
越小,所以为使R
A
B
最
小必须取R
3
为所取三个电阻中阻值最小的—个.
3.设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R
CD
若记
S
1
?
1?i?j?4
?
RR
ij
,
S
2
?
i
1?i?j?k?4
?
RRR
j
k
,则S
1
、S
2
为定值,于是
R
CD
?
S
2
?R
1
R
2
R
3
S
1
?R
3
R
4
只有当R
3R
4
最小,R
1
R
2
R
3
最大时,R
CD
最小,故应取R
4
<R
3
,R
3
<R
2
,R
3
<R
l
,即得总电阻的
阻值最小
………………………………………………………………………… 15分
4°对于图3把由R
1
、R
2
、R
3
组成的组件用等效电阻R
AB
代
替.要使R
FG
最小,由3°必需使R
6
<R
5
;
且由1°应使R
CE
最小.由2°知要使R
CE
最小,必需使R
5<
br><R
4
,且应使R
CD
最小.
而由3°,要使R<
br>CD
最小,应使R
4
<R
3
<R
2
且R4
<R
3
<R
1
,
这就说明,要证结论成立………………………………………………………………20分
2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准
一.证明:(1)∵A、C、D、F四点共圆
∴∠BDF=∠BAC
又∠OBC=
1
(180°-∠BOC)=90°-∠BAC
2
∴OB⊥DF.
(2)∵CF⊥MA
∴MC
2
-MH
2
=AC
2
-AH
2
①
∵BE⊥NA
∴NB
2
-NH
2
=AB
2
-AH
2
②
∵DA⊥BC
∴BD
2
-CD
2
=BA
2
-AC
2
③
∵OB⊥DF
∴BN
2
-BD
2
=ON
2
-OD
2
④
∵OC⊥DE
∴CM
2
-CD
2
=OM
2
-OD
2
⑤ …………………………………… 30分
①-②+③+④-⑤,得
NH
2
-MH
2
=ON
2
-OM
2
MO
2
-MH
2
=NO
2
-NH
2
∴OH⊥MN ……………………………………………………………………
另证:以BC所在直线为x轴,D为原点建立直角坐标系,
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),则
k
a
AC
??
c
,k
a
AB
??
b
∴直线AC的方程
为
y??
a
c
(x?c)
,直线BE的方程为
y?
c
a
(x?b)
?
由
?
?
y?
c
(x?b)
?
a
得E<
br>a
2
c?bc
2
,
ac
2
?abc
?
?
?
y??
a
点坐标为E(
c
(x?c)
a
2
?c
2
a
2
?c
2
)
a
2
b?b
2
cab
2
同理可得F(a
2
?b
2
,
?abc
a
2
?b2
)
直线AC的垂直平分线方程为
y?
a
2
?
c
a
(x?
c
2
)
直线BC的垂直平分线方程为
x?
b?c
2
?
ac
由
?
?
y?
?
2
?
a
(x?
c
2
)
得O(
b?cbc?a2
?
b?c
2
,
2a
)
?
?
x?
2
bc?a
2
k
OB
?
2a
bc?a
2
,k
ab
2
?a
bc
b?c
?
DF
?
ab?ac
a
2
b?
b
2
c
?
a
2
?bc
2
?b
ac?ab
∵
k
OB
k
DF
??1
∴OB⊥DF
50分
同理可证OC⊥DE.
在直线BE的方程
y?
bc
c
)
(x?b)
中令x=0得H(0,
?
a
a
∴
k
OH
bc?a
2
bc
?
a
2
?3bc
2aa
??
b?c
ab?ac
2
y?
a
b?ac
x
2
a?bc
直线DF的方程为
ab?
ac
?
y?x
2
?
a
2
c?bc
2
abc?ac
2
?
a?bc
,
2
由
?
得N (
2
)
22
a?2bc?ca?2bc?
c
?
y??
a
(x?c)
?
c
?
a
2
b?b
2
cabc?ab
2
,
2
同理可得M (
2
)
22
a?2bc?ba?2bc?b
∴
k
MN
a(b
2
?c
2
)(a
2
?bc)ab?ac
???
222
(c?b)(a?bc)(a?3bc)a?3bc
∵k
OH
·k
MN
=-1,∴OH⊥MN.
二.解:先求最小
值,因为
(
?
x)?
?
2
i
i?1i?1
nn
x
i
2
?2
1?k?j?n
?
k
x<
br>k
x
j
?1?
j
?
x
i?1
ni
≥1
等号成立当且仅当存在i使得x
i
=1,x
j
=0,j=i
∴
?
x
i?1
n
i
最小值为1.
…………………………………………………………… 10分
再求最大值,令
x
k
?
n
ky
k
∴
?
ky
k?1
2
k
?2
1?k
?j?n
?
kyy
kj
?1
①
设<
br>M?
?
x?
?
k
k?1k?1
nn
?
y
1
?y
2
???y
n
?a
1
?
y
2
???y
n
?a
2
?
ky
k
, 令
?
??
?
?
y
n
?a
n
?
222
?a
2
???a
n
?1
…………………………………………………… 30分
则①?
a
1
令
a
n?1
=0,则
M??
k?1
n
k(a
k
?a
k?1
)
?
?
k?1
n
ka
k
?
?
k?1
n
ka
k?1
?
?
k?1
nka
k
?
?
k?1
n
k?1a
k
?<
br>?
(
k?1
n
k?k?1)a
k
由柯西不等式得:
M?[
?
k?1
n
(k?k?
1)](
2
1
2
?
k?1
n
2
2
a
k
)
1
?[
?
k?1
n
(k?k?1)
2
]
2
1
22
a
k
a
n
a
1
2
??????
等号成立?
1
(k?k?1)
2
(n?n?1)
2
?
22
a
1
2
?a
2
???a
n
1
?(2?1)???(n?n?1)
22
?
2
a
k
(k?k
?1)
2
?a
k
?
k?k?1
[
?
(
k?1
n
(k=1,2,…,n)
1
2
k?k?1)
2
]
由于a
1
≥a
2
≥…≥a
n
,从而
y
k
?a
k?a
k?1
?
2k?(k?1?k?1)
[
?
(
k?1
n
?0
,即x
k
≥0
k?k?1)
2
]
1
2
所求最大值为
[<
br>?
k?1
n
(k?k?1)
2
]
2
…………………………………………… 50分
1
三.解:记所求最小值为f
(m,n),可义证明f (m,n)=rn+n-(m,n) (*)
其中(m,n)
表示m和n的最大公约数 …………………………………………… 10分
事实上,不妨没m≥n
(1)关于m归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为rn+n-(m,n)
当用m=1时,命题显然成立.
假设当,m≤k时,结论成
立(k≥1).当m=k+1时,若n=k+1,则命题显然成立.若n<k+1,
从矩形ABCD中切
去正方形AA
1
D
1
D(如图),由归纳假设矩形A
1
BC
D
1
有一种分法使得所得正方形边长之
和恰为m—n+n—(m-n,n)=m-(m
,n),于是原矩形ABCD
有一种分法使得所得正方形边长之和为rn+n-(m,
n)
…………………………………… 20分
(2)关于m归纳可以证明(*)成立.
当m=1时,由于n=1,显然f (m,n)=rn+n-(m,n)
假设当m≤k时,对任意1≤n≤m有f (m,n)=rn+n-
(m,n)
若m=k+1,当n=k+1时显然f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n).
当1
≤n≤k时,设矩形ABCD按要求分成了p个正方形,其边长分别为a
l
,a
2,…,a
p
不妨a
1
≥a
2
≥…≥a
p
显然a
1
=n或a
1
<n.
若a
1
<n,则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形
(或其边界).于
是a
1
+a
2
+…+a
p
不小于
AB与CD之和.
所以a
1
+a
2
+…+a
p
≥2m>rn+n-(m,n)
若a
1
=n,则一个边长分别为m-n和n的矩形可按题目要求分成边长分别
为a
2
,…a
p
的正方形,由
归纳假设
a
2
+…+a
p
≥m-n+n-(m-n,n))=rn-(m,n)
从而a
1
+a
2
+…+a
p
≥rn+n-(m,n)
于是当rn=k+1时,f (m,n)≥rn+n-(m,n)
再由(1)可知f (m,n)=rn+n-(m,n). ………………………………………… 50分
A
m
A
1
B
n
D
D
1
C