全国高中数学联赛初赛试题及答案201331

全国高中数学联赛初赛试题
答案及评分标准
（7月5日上午8：30—11：00）
考生注意：本试卷共三道大题，16道小题满分150分。
一． 选择题（本题满分30分，每小题5分）
本题共有6道小题，每小题给出了（A）（B）（C）（D） 四个结论，其中只有一个是正确的。
请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得5分， 不选、选错或选出的
代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。
1．已知集 合M={x|x∈R，5－|2x－3|∈N
+
}，则M的所有非空真子集的个数是（ ）
A．254 B．255 C． 510 D． 511 [答]（ C ）
?
x?2
?
2．平面上满足约束条件
?
x?y?0
的点（x ，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x
?
x?y?10?0
?
对称 的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为
A．
65
5
B．
125
5
C．
83
5
D．
163
5
[答]（ B ）
3．已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+ cosB
的取值范围是
A．(1，1+
3
2
]






B．[
D．[
1
2< br>1
2
，1+
3
2
]

C．（1，
2]
，
2]
[答]（ C ）
4．设M是正方体各条棱的中点的集合，则过且公过M中3个点的平面的个数是
A．56B。81C。136D。145[答]（ ）
5．设a
n
=2， b
n
=n，
（n=1，2，3，。。。），A
n
、B
n分别为数列{a
n
}、{b
n
}的前n项和。记c
n
= a
n
B
n
+b
n
A
n
—a
nb
n
，则数列{c
n
}的前10项和为
10 11
A．2+53 B.2 +53
9 10
C.110×（2－1） D.110×（2－1） [答]（ D ）
6．将一些半径为1的小圆放入半径为11的大圆内 ，使每个小圆都与大圆相内切，且这些小
圆无重叠部分，则最多可以放入的小圆的个数是
A．30 B.31 C.32 D.33 [答]（ B ）
二．填空题（本题满分30分，每小题5分）
o
7．正四面体ABCD的外接球球心 为O，E为BC中点，则二面角A—BO—E的大小为___120____.
8．函数f（x）=< br>x?x
3
1?2x?x
24
n
的最大值与最小值的乘积是__ _____－
1
16
__________.
1
4
9.把 长为1的铁丝截成三段，则这三段恰能围成三角形的概率为____________.
10．设a（0＜a＜1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上递减。 若f（
1
2
）=0，f（log
a
x）＞0，那么x的变化范围 是____
x?
1
a
或
a?x?1
_____.
1

11．数列{a
n
}满足a
n
=
1?
x
2
8

1
n
2
?1
(n?1)
2
－1，则a
1
+a
2
+a
3
+。。。+a
n
=______

2009
2010
_________
12．已知点P是双曲线
则
|PF
1
|?|PF
2
|
|OP|
－
y< br>2
4
=1上的动点，F、F分别是其左、右焦点，O为坐标原点，
的取值范围_ ________
(2,6]
________.
三．解答题（本题共4道小题，满分90分）
13．（本小题满分20分）已知函数f（x）=2x+alnx
（1）若a＜0，证明：对 于任意两个正数x
1
，x
2
，总有
f(x
1
)?f (x
2
)
2
1
2
2
≥f(
x
1< br>?x
2
2
)成立；
（2）若对任意x∈[1，e]，不等式f（x）≤（a+3）x－





14．（本小题满分20分）已知椭圆
x
2
a
2
x恒成立，求a的取值范围。
+
3
2
y
2
b< br>2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
6
3
，过点A（0，－b）
和B（a，0）的直线与原点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（－2 ，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D两点，证明：对任意的t＞0，都
存在k ，使得以线段CD为直径的圆过E点.





15. （本小题满分25分）如图。△ABC中，AB＞AC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，
且A D=AC=AE.求证：直线DE过△ABC的内心.
A



E

D


D

B


16.（本小题满分25分）已知数列{a
n
}中的相邻两项a
2 k-1
，a
2k
是关于x的方程x－（3k+2）

k
x+3k×2

=0的两个根.
（1）求数列{a
n
}的前2n项和S
2n
.
2
2k

（2）记f（n）=
1
6
1
2
5
（
|sinn|
sinn
+3），T
n
=f(2)f(3)f(4)
（-1）
（-1）（-1）
a
1
a< br>2
+
a
3
a
4
+
a
5
a< br>6
+…+
f(n?1)
（-1）
a
2n?1
a
2n
，
求证：≤T
n
≤
24
（n∈N
+
）
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各
题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。
2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本
评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
一．选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．（C）． 2．（B）． 3．（C）． 4．（A）． 5．（D）． 6．（B）．
二．填空题（本题满分30分，每小题5分）
7．
2
?
3
． 8．
?
1
16
． 9．． 10．
x?
1
1
a
4
或
a?x?1
． 11．
2009
2010
(2,6]
．． 12．
三．解答题
13（本小题满分20分）
解：（I）.
f(x
1
)?f(x2
)
2
?f(
x
1
?x
2
2
)?
2x
1
?alnx
1
?2x
2
?alnx2
2
2
x
1
?x
2
)?aln
?2< br>x
1
?x
2
2
?aln
x
1
?x< br>2
2

?alnx
1
x
2
?aln
x
1
?x
2
2
?aln(x
1
x
2
?
2x
1
x
2
x
1
?x
2
2x
1
x
2
x
1
?x
2
?0
，
………（5分）
因为
x
1
?x
2
?2x
1
x
2
所以
?1
,
ln
2x
1
x
2
x
1
?x
2
又
a?0
， 故
aln
2x
1
x
2
x
1
?x
2
?0
，所以，
f(x
1
)?f(x
2
)
2
?f(
x
1
?x
2
2

)
； … （10分）
（Ⅱ）因为
f(x)?(a?3)x?
故
2x?alnx?(a? 3)x?
1
2
x
2
对
x?[1,e]
恒成立，
1
2
x
2
?x
，
1
2
x
2
，
a(x?lnx)?
1
2
x?x
2
因为
x?[1,e]
,所以
x?lnx?0< br>，因而
a?
，……………………（15分）
x?lnx
1
2
x?x
设
g(x)?
2

x?[1,e]

x?lnx
11
1
(x?1)(x?ln x)?(1?)(x
2
?x)
(x?1)(x?1?lnx)
x2
2
因为
g
?
(x)?
，
?
2
(x?lnx)(x?lnx)
2
3

当
x?(1,e)
时,
x?1?0
,
1
2
x?1?lnx?0
，所以
g
?
(x)?0
，
又因为
g(x)
在
x?1
和
x?e
处连续 ，所以
g(x)
在
x?[1,e]
时为增函数，
1
2e?e
2
e?2e
所以
a?g(e)?
2
………………………………（20分）
?
e?12(e?1)
14，（本小题满分20分）
?
c6
,
?
?
3
?
a
解：（I）直线
AB
的方 程为
bx?ay?ab?0
， 依题意得
?

3
?
ab
?.
22
?
2
?
a?b
解得
a?3,b?1
， 所以，椭圆方程为
x
2
3
?y
2
?1
．……………………………（5分）
222
（Ⅱ）将
y?kx?t< br>代入椭圆方程，得
(1?3k)x?6ktx?3t?3?0
，
由直线与椭圆有两个交点，
???(6kt)?12(1?3k)(t?1)?0
，
k?
222
2
t
2
?1
3
，……（1） …………（10分）
设
C(x
1
,y
1
), D(x2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
??
6kt
1?3k
2
，
x
1
?
x
2
?
3(t
2
?1)
1?3k
2
，……（2）
????????
?
以
CD
为直径的圆过
E
点，< br>?
EC?ED?0
，即
(x
1
?1)(x
2
?1)?y
1
y
2
＝0
，
而
y
1?y
2
＝(kx
1
?t)(kx
2
?t)＝kx
1
x
2
?tk(x
1
?x
2
)?t
，
22
?(k
2
?1)x
1
x
2
?(tk? 1)(x
1
?x
2
)?t
2
?1?0
，将（2）代 入，
(k?1)
2
3(t
2
?1)
1?3k
2< br>?(tk?1)
6kt
1?3k
2
?t?1?0
，解得
k＝
t
2
?1
3
(t
2
?1)
2?t
2
9t
2
2
2t
2
?1
3t，…………（15分）
k＝
2
4t
4
?4t
2
?1
9t
2
，
4t
4
?4t
2
?19t
2
???0
，即
k＝
2t
2
?1
3t
满足（1），
所以，对任意的
t?0
，都存在
k
，使得以线段
CD
为直径的圆过
E点．……（20分）
15. （本小题满分25分）
证明：设角
C
的 内角平分线与
DE
交于点
I
，
A

连接
AI,IC,CE
,由于
AE
是
?ABC

外接圆的切线，故
D

4
I

E

?ACB?180
?
??DAE
，……（5分）
B

C


又
AD?AE
，故
180
?
??DAE
??ADE??AED?2?AED
， ………………………（10分）
故
?ACI??ACB??AED
，所以
A、E、I、C
四点共圆. ……（15分）
2
?IAC??IEC??AEC??AED

?
180
?
??CAE
2
?
180
?
??DAE2
………………………………（20分）
1
?A
，故
AI
为角
A
的角平分线，
22

I
为
?ABC
的内心. ………………………………（25分）
16. （本小题满分25分）
（I）解：方程
x?(3k?2)x?3k?2?0
的两个根为
2kk1
(?DAE??CAE)?
1
x
1
?3k
，
x
2
?2
k
， ………………………………（5分）
S
2n
?a
1
?a
2
???a
2n
?(3?6???3n)?(2?2???2)

2n
?
3n
2
?3n
2
?2
n?1
?2
． ………………………………（10分）
1
a
1
a
2
1
a
3
a
4
1
a
5
a
6
(?1)
f(n?1)
a
2n?1
a
2n
(Ⅱ) 证明：
T
n
??????
，
所 以
T
1
?
1
a
1
a
2
?
1
6
，
T
2
?
1
a
1
a
2
?
1
a
3
a
4
?
5
24
． ………………………………（15分）
当
n≥3
时，
T< br>n
?
1
6
?
1
a
3
a
4< br>?
1
a
5
a
6
???
(?1)
f( n?1)
a
2n?1
a
2n
≥
1
6
??
11
?
?
?
?
?
a
3
a< br>4
?
a
5
a
6
a
2n?1
a
2n
1
?
?

?
≥
1
6
?1
?
11
?
111
??
?
?
， ………………………………（20分）
???
??
6
?
2
2
6
?
2
3
2
n
?
66
?
2
n
6
1
5
24
?
1
a
5a
6
?
1
a
7
a
8
???
( ?1)
f(n?1)
a
2n?1
a
2n
同时，
T< br>n
?
≤
5
24
?
?
1
?
1
?
?
?
?
?
?

a
5
a
6
?
a
7
a
8
a
2n?1
a2n
?
1
≤
5
5
24
?
1
?
11
?
515
??
?
?
．
????
13n
?
n
9
?
29
?
22
?
249
?
224
1

综上，当
n?N
?
时，
1
6
≤T
n
≤
5
2 4
． ………………………………（25分）
6