2002年全国高中数学联赛试题及答案

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二○○二年全国高中数学联赛试卷
（10月13日上午8:00?9:40）
一、 选择题(本题满分36分，每小题6分)
1． 函数f(x)＝log
0.5
(x
2
－2x－3)的单调递增 区间是(2002年联赛（1）6分)
(A)（－∞，－1） (B)(－∞，1) (C)(1，＋∞) (D)(3，＋∞)
2． 若实数x，y满足(x＋5)
2
＋(y－12)
2
＝14
2
，则x
2
＋y2
的最小值为(2002年联赛（2）6分)
(A)2 (B)1 (C)3 (D)2
3． 函数f(x)＝
xx
x
－ (2002年联赛（3）6分)
2
1－2
(A)是偶函数但不是奇函数 (B)是奇函数但不是偶函数
(C)既是偶函数又是奇函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数
xyx
2
y
2
4． 直线＋＝1 与椭圆＋＝1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△PAB面积等于3，
43169
这样的 点P共有(2002年联赛（4）6分)
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
5． 已知两个实数集合A＝{a
1
，a< br>2
，…，a
100
}与B＝{b
1
，b
2
， …，b
50
}，若从A到B的映射f
使得B中每个元素都有原象，且
f(a
1
)≤f(a
2
)≤…≤f(a
100
)
则这样的映射共有(2002年联赛（5）6分)
5049
5049
(A)
C
100
(B)
C
99
(C)
C
100
(D)
C
99

6． 由曲线x
2
＝4y， x
2
＝?4y， x＝4， x＝
?4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转
体 的体积为V
1
，满足x＋y≤16， x＋
(y?2)
2
≥4， x
2
＋(y＋2)
2
≥4的点(x，y)组
成的图形绕y轴旋转一周所 得旋转体的
体积为V
2
，则(2002年联赛（6）6分)
12
(A)V
1
＝V
2
(B)V
1
＝V
2

23
(C)V
1
＝V
2
(D)V
1
＝2V
2

二、填空题(本题满分54分，每小题9分)
?4
222

y

y
4
4
O4
x
?4
O
4
x
?4
?4
|Z
1
＋Z
2
|
7． 已知复数Z
1
、Z
2
满足|Z
1
|＝2，|Z
2
|＝3，若它们对应的向量的夹角为60?， 则 ＝
|Z
1
－Z
2
|
_____.(2002年联赛（7）9 分)

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8． 将二项式(x＋
1
4
)
n
的展开式按x的降幂排列，若前三项
P
1
2x
系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共
有_______个. (2002年联赛（8）9分)
9． 如图，点P
1
、P
2
、…、 P
10
分别是四面体顶点或棱的中点，
那么在同一平面上的四点组(P
1、P
i
、P
j
、P
k
)(1＜i＜j＜k≤
1 0＝有_______个. (2002年联赛（9）9分)
10． 已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)＝1且对任意x?R都
有
f(x＋5)≥f(x)＋5
f(x＋1)≤f(x)＋1
P
10
P
5
P
2
P
4
P
3
P
7
P
6
P
8
P
9
若g(x)＝f(x)＋1－x， 则g(2002)＝__________.(2002年联赛（10）9分)
11． 若log4
(x＋2y)＋log
4
(x?2y)＝1，则|x|－|y|的最小值是__ ________.(2002年联赛（111）9分)
12． 使不等式sin
2
x＋acosx＋a
2
≥1＋cosx对一切x?R恒成立的负数a的取值范围是
__ ______．(2002年联赛（12）9分)
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
13． 已知点A(0，2)和抛物线y
2
＝x＋4上两点B、C使得AB
⊥ BC，求点C的纵坐标的取值范围．（(2002年联赛（13）
20分)）
14． 如图， 有一列曲线P
0
，P
1
，P
2
，……．已知P
0< br>所围成的
图形是面积为1的正三角形，P
k
＋
1
是对P
k
进行如下操作
得到：将P
k
的每条边三等分，以每边中间部分的线段为< br>边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k＝
0，1，2，…）. 记S
n
为曲线P
n
所围成图形的面积．
(1)求数列{S
n
}的通项公式；
(2)求limS
n
．(2002年联赛（14）20分)
n→∞

y
A(0,2)
B
(?4,0)
C
O
x





…………
P
0
P
1
P
2

15． 设二次函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c满足条件：
(1)当x?R时，f(x?4)＝f(2?x)， 且f(x)≥x；
x＋1
2
(2)当x?(0，2)时， f(x)≤()；
2

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(3)f(x)在R上的最小值为0；
求最大的m(m＞1)，使得存在t?R，只要x?[1， m]，就有f(x＋t)≤x．(2002年联赛（15）
20分)

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二○○二年全国高中数学联赛加试试卷
（10月13日上午10：00－12：00）

题号
得分
评卷人
复核人
一



二



三



合计



考生注意：1、本试卷共三大题，全卷满分150分．
2、卷面的第1页、第3页、第5页印有试题， 第2页、第4页、第6页是空白页，
留作答题用．
3、用圆珠笔或钢笔作答．
4、解题书写不要超出装订线．
一．（本题满分50分）
如图，在△ABC中，∠A＝60?， AB＞AC， 点O是外心，两条高BE、CF交于H点．点
M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM＝CN．求







二．（本题满分50分）
实数a，b，c和正数λ使得f(x)＝x
3
＋ax
2
＋b x＋c有三个实根x
1
，x
2
，x
3
， 且满足
（1）x
2
－x
1
＝λ
1
（2）x
3
＞(x
1
＋x
2
)
2
2a
3
＋27c－9ab
求 的最大值．
λ
3
三．（本题满分50分）
在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1
，A
2
，…，A
7
这七名队员，准备让他们在三场训
练比赛（每场90分钟）都上场．假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并
且A1
，A
2
，A
3
，A
4
每人上场的总时间（以 分钟为单位）均被7整除，A
5
，A
6
，A
7
每人上场的< br>总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间

B
O
M
H
C
F
N
E
MH＋NH< br> 的值．
OH
A

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计算，共有多少种不同的情况．

二○○二年全国高中数学联赛试题
参考解答
一、选择题
1．A 注意定义域
2．B 设x
2
＋y
2
＝k，它表示以原点为圆心，为半径的一个圆
该圆与已知圆应有公共点，由平面几何知识即可得结论
本题也可用三角代换法，设x＝－5＋14cosθ，y＝12＋14sinθ
转化为三角函数求最值问题
3．A 首先判定定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称
然后计算f(－x)＝……＝f(x)
4．B 设点P到直线l：＝1的距离为d，
则d＝
又原点O到直线l的距离为d'＝
∴ 在直线l下方椭圆上有两个点满足条件
当点P(4cosθ，3sinθ)(0＜θ＜)在l上方时，则点P到直线l的距离为
d＝
＝(sinθ＋cosθ－1)
＝)－1)
≤
∴ 在l上方不存在满足条件的点
综上所述，满足条件的点P有两个
5．D 本题等价于将集合A划分为50个非空的子集，我们将A中的元素作如下排列：
a
1
、a
2
、a
3
、……、a
99
、a
100

它们之间共有99个空，在这99个空中插入49个隔板，即可将其分为50组，共有C种
插法 ，不妨设b
1
＜b
2
＜……＜b
50
,注意到f(a
1
)≤f(a
2
)≤……≤f(a
100
)，所以以上对集合A的 每一
个划分都与b
1
、b
2
、……、b
50
是一一 对应的，故这样的映射共有C个。
6．C 本题可以直接计算，也可以利用祖暅原理，用垂直于y轴 的平面去截两个几何体，当平
面与y轴的距离为|y|时，两个截面面积分别为
S
1
＝π(4
2
－4|y|)＝4π(4－|y|)
S< br>2
＝π(4
2
－y
2
)－π[4－(2－|y|)
2
]＝4π(4－|y|)
∴ S
1
＝S
2

由祖暅原理可知两个几何体体积相等。
二、填空题
７、如图，由余弦定理可得：∣Z
1
+Z
2
∣=√19, ∣Z
1< br>-Z
2
∣=√7，所以∣(Z
1
+Z
2
)／(Z1
－
Z
2
)∣=(√19)(√7)=(√133)7.
8、不难求出前三项系数分别是１，(12)n，(18)n(n-1)，由于这三个数成等差数列，有
2·12n=1+18n(n-1).解得：n=8和n=1（舍去）.

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当n=8时，T
r+1
=C
8
(12)x
0,4,8.
rr(16-3r)4
，这里r=0,1,…,8.r应满足４∣(16-3r)，所以r只能是
9、首先，在每个侧面上除P
1
点外尚有五个点，其中任意三点组添加点P1后组成的四 点组
33
都在同一个平面，这样的三点组有C
5
个，三个侧面共有3C
5
个.
其次，含P
1
的每条棱上的三点组添加底面与它异面的那条棱 上的中点组成的四点组也在一
个平面上，这样的四点组有３个。
3
综上，共有C
5
+3=33个.
10、由g(x)=f(x)+1-x得：f(x)=g(x)+x-1，所以
g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5, g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1.
即
g(x+5)≥g( x),g(x+1)≤g(x).∴g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g (x+1)≤g(x).∴g
(x+1)=g(x).
即g(x)是周期为１的周期函数，又g(1)=1，故g(2002)=1.



Δ
11、
由对称性只考虑y≥0，因为x＞0，所以只须求x- y的最小值.
2222
令x-y=u代入x-4y=4,有3y-2uy+(4-u)=0 .这个关于y的二次方程显然有实根，故
2
=16(u-3)≥0,∴u≥√3.当x=(43 )√3,y=(√3)3时,u=√3.故∣x∣-∣y∣的最小值为√3.
12、原不等式可化为：
222
（cosx-((a-1)2)）≤a+(a-1)4.
∵-1≤cosx≤1,a<0,a-12<0,
22
∴当cosx=1时，函数y =(cosx-(a-1)2)有最大值(1-(a-1)2)，从而有
2222
(1-(a- 1)2)≤a+(a-1)4，整理得a+a-2≥0,∴a≥1或a≤-2.又a＜0,∴a≤-2.
三、解答题
13、设Ｂ点坐标为（y
1
-4,y1），Ｃ点坐标为(y-4,y)
22
显然y
1
-4≠０，故k
AB
=(y
1
-2)(y
1
-4)=1(y
1
+2).由于AB⊥BC，所以k
BC
=-(y
1
+2).从而
22
y-y
1
=-(y
1
+2)[x-(y
1
-4)],y=x+4消去x，注意到y≠y
1
2
得:(2+y
1
)(y+y
1
)+1=0→y
1
+(2+ y)y
1
+(2y+1)=0.由Δ≥0解得：y≤0或y≥4.
当y=0时， 点Ｂ的坐标为(-3,-1)；当y=4时，点Ｂ的坐标为(5,-3)，均满足题意。故点Ｃ
的纵坐标 的取值范围是y≤0或y≥4.
14、(1)对Ｐ
0
进行操作，容易看出Ｐ< br>0
的每条边变成Ｐ
１
的４条边，故Ｐ
１
的边数为3·4；２
同样，对P
１
进行操作，P
１
的每条边变成P
２的４条边，故P
２
的边数为3·4，从而不难得到P
n
n
的边数 为3·4.
已知Ｐ
0
的面积为Ｓ
0
=1，比较P
１< br>与Ｐ
0
.容易看出P
１
在Ｐ
0
的每条边上增加一个小 等边三角形，
2
其面积为13，而Ｐ
0
有３条边，故

22