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1982年全国高中数学联赛试题及解答

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 17:22
tags:全国高中数学联赛

高中数学填空题100道基础-北师大版高中数学教学反思


1982年全国高中数学联赛 冯惠愚
1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛
1.选择题(本题48分,每一小题答对者得6分,答错者得0分,不答者得1分):
⑴ 如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等,那么
A.F∈{四边形} B.F∈{五边形}
C.F∈{四边形}∪{五边形} D.F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}
1
⑵ 极坐标方程ρ=所确定的曲线是
1-cosθ+sinθ
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
⑶ 如果log
2
[log
1
(log
2
)]=log
3
[log
1
(log
3
x)]= log
5
[log
1
(log
5
x)]=0,那么
235
A.z⑷ 由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是
A.1 B.2 C.π D.4
π
⑸ 对任何φ∈(0,)都有
2
A.sinsinφcosφ>coscosφ
C.sincosφ>cosφ>cossinφ D.sincosφ⑹ 已知x
1
,x
2
是方程
x
2
-(k-2)x+(k
2
+3k+5)=0(k为实数)
的两个实数根,x
1
2
+x
2
2
的最大值是
5
A.19 B.18 C.5 D.不存在
9
⑺ 设M={(x,y)| |xy|=1,x>0},N={(x,y)|arctanx+arccoty=π},那么
A.M∪N={(x,y)| |xy|=1} B.M∪N=M
C.M∪N=N D.M∪N={(x,y)| |xy|=1,且x,y不同时为负数}
⑻ 当a,b是两个不相等的正数时,下列三个代数式:
111
2
a+b2
甲:(a+)(b+), 乙:(ab+), 丙:(+)
2
ab2a+b
ab
中间,值最大的一个是
A.必定是甲 B.必定是乙
C.必定是丙 D.一般并不确定,而与a、b的取值有关
2.(本题16分)已知四面体SABC中,
πππ
∠ASB=,∠ASC=α(0<α<),∠BSC=β(0<β<).
222
以SC为棱的二面角的平面角为θ.
求证:θ=-arc cos(cotα?cotβ).
3.(本题16分)已知:⑴ 半圆的直径AB长为2r;⑵ 半圆外的直线l 与BA的延长线垂直,垂足为T,
|AT|=2a(2a<
r
);⑶ 半圆上有相异两点M、N,它们与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件
2
|MP||NQ|
==1.
|AM||AN|

求证:|AM|+|AN|=|AB|.
4.(本题20分)已知边长为4的正三角形ABC .D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且|AE|=|BF|=|CD|=1,
连结AD、BE 、CF,交成△RQS.点P在△RQS内及边上移动,点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、
z .
- 1 -


1982年全国高中数学联赛 冯惠愚
⑴ 求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值;
⑵ 求上述乘积xyz的极小值.
5.(本题20分)已知圆x
2
+y
2
=r
2
(r为奇数),交x轴于点A(r,0)、B(-r,0),交y轴于C(0,-r) 、D(0,
r).P(u,v)是圆周上的点,u=p
m
,v=q
n
(p、q都是质数,m、n都是正整数),且u>v.点P在x轴和y轴上
的射影分别为M、N.
求证:|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为1、9、8、2.
- 2 -


1982年全国高中数学联赛 冯惠愚
1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答
1.选择题(本题48分,每一小题答对者得6分,答错者得0分,不答者得1分):
⑴ 如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等,那么
A.F∈{四边形} B.F∈{五边形}
C.F∈{四边形}∪{五边形} D.F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}
解:由正方形及正五边形知A、B均错,由对角线相等的四边形形状不确定,知D错,选C.
1
⑵ 极坐标方程ρ=所确定的曲线是
1-cosθ+sinθ
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
1
解:ρ=,知e=2,选C.
π
1-2cos(θ+)
4
⑶ 如果log
2
[log1
(log
2
)]=log
3
[log
1
(l og
3
x)]= log
5
[log
1
(log
5
x)]=0,那么
235
A.z解:x=2,y=3,z=5;x=2=8,y= 3=9,故x⑷ 由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是
A.1 B.2 C.π D.4
解:此曲线的图形 是一个正方形,顶点为(0,1),(1,0),(2,1),(1,2);其面积为2.选B.
π
⑸ 对任何φ∈(0,)都有
2
A.sinsinφcosφ>coscosφ
C.sincosφ>cosφ>cossinφ D.sincosφπ
解:由0sinφ.由02
⑹ 已知x
1
,x
2
是方程
x
2
-(k-2)x+(k
2
+3k+5)=0(k为实数)
的两个实数根,x
1
2
+x
2
2
的最大值是
5
A.19 B.18 C.5 D.不存在
9
4
解:△=(k-2)
2
-4(k
2
+3k+5)=-3k
2
-16k-16≥0,-4≤k≤-.
3
由韦达 定理,得x
1
2
+x
2
2
=(x
1
+x< br>2
)
2
-2x
1
x
2
=(k-2)
2
-2(k
2
+3k+5)=-k
2
-10k-6=-(k-5)< br>2
+19.
∴ 当k=-4时,x
1
2
+x
22
取得最大值-18.故选B.
⑺ 设M={(x,y)| |xy|=1,x>0},N={(x,y)|arctanx+arccoty=π},那么
A.M∪N={(x,y)| |xy|=1} B.M∪N=M
C.M∪N=N D.M∪N={(x,y)| |xy|=1,且x,y不同时为负数}
解:M是双曲线xy=±1在第一、四象限内的两支; π
1
由arctanx=π-arccoty,?x=-,?xy=-1,若x<0,则a rctanx∈(-,0),而arccoty∈(0,π),π-arccoty
y2
∈(0 ,π),故x>0.即N是xy=-1在第四象限的一支.故选B.
⑻ 当a,b是两个不相等的正数时,下列三个代数式:
111
2
a+b2
甲:(a+)(b+), 乙:(ab+), 丙:(+)
2
ab2a+b
ab
中间,值最大的一个是
- 3 -
1< br>2
1
3
1
5
1
2
1
6
1< br>3
1
6
1
10
1
10


198 2年全国高中数学联赛 冯惠愚
A.必定是甲 B.必定是乙
C.必定是丙 D.一般并不确定,而与a、b的取值有关
解:甲>乙,但甲、丙大小不确定.故选D.
2.(本题16分)已知四面体SABC中,
πππ
∠ASB=,∠ASC=α(0<α<),∠BSC=β(0<β<).
222
以SC为棱的二面角的平面角为θ.
求证:θ=-arc cos(cotα?cotβ).
证明:在SC上取点D,使SD=1,在面SAC、SBC内分别作 DE⊥SC,DF⊥
SC,分别交SA、SB于E、F,连EF.则∠EDF为二面角A—SC—B的平 面角.即
∠EDF=θ.
由∠BSC=β,知SF=secβ,DF=tanβ.由∠ASC =α,得SE=secα,DE=tanα.
由∠ASB= ,得EF
2
=SE
2
+SF
2
= DE
2
+DF
2
-2DE?DFcosθ.
2
∴ sec
2
α+sec
2
β=tan
2
α+tan
2
β-2tanαtanβcosθ.?cosθ=-cotαcotβ.
∴ θ=-arc(cotαcotβ).

3.(本题16分)已知:⑴ 半圆的直径AB长为2r;⑵ 半圆外的直线l 与BA的延长线垂直,垂足为T,
|AT|=2a(2a<
满足条件

|MP||NQ|
==1.
|AM||AN|
S
D
EA
F
C
B
?
r
);⑶ 半圆上有相异两点M、N,它们 与直线l的距离|MP|、|NQ|
2
l
y
N
M
求证:|A M|+|AN|=|AB|.
证明:以AT中点O为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系, < br>则由已知,M、N是半圆(x-a-r)
2
+y
2
=r
2(y≥0)与抛物线y
2
=4ax的交点.
消去y得:x
2
+2(a-r)x+2ra+a
2
=0.
Q
P
T
O
A
B
x
r
条件2a<保证△>0 ,于是此方程有两个不等实根x
1
,x
2
,即为M、N的横坐标.
2
由韦达定理,知x
1
+x
2
=-(2a-2r).
∵ |AM|=|MP|=x
1
+a,|AN|=|NQ|=x
2
+a.∴ |AM|+|AN|=x
1
+x
2
+2a=2r.证毕.
y
l

N
Q
又证:作MC⊥AB,ND⊥AB,垂足为C、 D.则AN
2
=AD?AB,AM
2
=AC?AB,
PM
∴ AN
2
-AM
2
=(AD-AC)AB=CD?AB.
∵ AN< br>2
-AM
2
=(AN+AM)(AN-AM)=(AN+AM)(NQ-MP) =(AN+AM)?CD.
T
O
AC
D
B
x
比较得,AN+AM=AB.

4.(本题20分)已知边长为4的正三角形ABC.D、E、F分别是BC、CA、AB上 的点,且|AE|=|BF|=|CD|=1,
连结AD、BE、CF,交成△RQS.点P在△RQS 内及边上移动,点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、
z.
⑴ 求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值;
⑵ 求上述乘积xyz的极小值.
解: 利用面积,易证:⑴ 当点P在△ABC内部及边上移动时,x+y+z为
A
定值h=23;
⑵过P作BC 的平行线l,交△ABC的两边于G、H.当点P在线段GH上
移动时,y+z为定值,从而x为定值.
- 4 -
B
S
l
E
y
G
F
R
z
x
H
Q
D
C
P


1982 年全国高中数学联赛 冯惠愚
⑶设y∈[α,β],m为定值.则函数u=y(m-y)在点y=α或y=β时取得极小值.
于是可知,过R作AB、AC的平行线,过Q作AB、BC的平行线,过S
作BC、AC的平行 线,这6条平行线交得六边形STRUQV,由上证,易得只有
当点P在此六点上时,xyz取得极小值 .由对称性易知,xyz的值在此六点处相
等.

EACDBSBS121239S E13
··=1,得=,x=·h=h,y=h=h,z=h.
ACDBSEBE13134 13BE1313
B
F
A
T
S
l
E
364 8
∴ xyz=()
3
h
3
=3.
132197
R
U
V
Q
D
C

5 .(本题20分)已知圆x
2
+y
2
=r
2
(r为奇数), 交x轴于点A(r,0)、B(-r,0),交y轴于C(0,-r)、D(0,
r).P(u,v)是 圆周上的点,u=p
m
,v=q
n
(p、q都是质数,m、n都是正整数), 且u>v.点P在x轴和y轴上
的射影分别为M、N.
y
求证:|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为1、9、8、2.
D
证明:p
2m
+q
2n
=r
2


P( u,v)
N
若p=q,则由u>v,得m>n,于是p
2n
(p
2( mn)
+1)=r
2
,这是不可能的.(因
---
p
2(m n)
与p
2(mn)
+1都是完全平方数,它们相差1,故必有p
2(mn)
=0,矛盾).
B
Ox
M
A
故p≠q,于是(p,q)= 1.若p、q均为奇数,则p
2
≡q
2
≡1(mod 4),
与r< br>2
≡0或1矛盾.故p、q必有一为偶数.即p、q必有一个=2.(或直
接由r为奇数 得p、q一奇一偶,其实r为奇数的条件多余)
C
2n22mmm
设p=2,则q=r-2=(r+2)(r-2).
即r +2
m
与r-2
m
都是q
2n
的约数.设r+2
m
=q
k
,r-2
m
=q
h
,其中k>h≥1,k+ h=2n.
1111
--
∴ r= (q
k
+q
h
)= q
h
(q
kh
+1),2
m
= (q
k
-q
h
)= q
h
(q
kh
-1 ),但q
h
是奇数,又是2
m+1
的约数,故h=0.r=
2222
1
2n
(q+1),2
m+1
=q
2n
-1=(q
n
+1)(q
n
-1).
2
∴ q< br>n
+1=2
α
,q
n
-1=2
β
.(α+β =m+1,α>β),而2=2
α
-2
β
=2
β
(2
αβ
-1),从而β=1,α-β=1,α=2.
∴ m=2,u=4,q
n
=3,q=3,n=1,v=3.|OP|=5.
∴ |AM|=5-4=1,|BM|=5+4=9,|CN|=5+3=8,|DN|=5-3=2.
若设q=2,则同法可得u=3,v=4,与u>v矛盾,舍去.

又证:在得出p、q互质且其中必有一为偶数之后.
由于(p
m
,q
n
)=1,故必存在互质的正整数a,b(a>b),使a
2
-b
2
= q
n
,2ab= p
m
,a
2
+b
2
=r.或a
2
-b
2
=p
m

2ab=q
n
,a
2
+b
2
=r.

若p
m=2ab,得p=2,a|2
m
,b|2
m
,故a=2
λ
,b=2
μ
,由a,b互质,得μ=0,∴ b=1,a=2
m1
-----
q
n
=2
2m2
-1=(2
m1
+ 1)(2
m1
-1).故2
m1
+1=q
α
,2
m 1
-1=q
β
,(α+β=n,且α>β).

∴ 2=q
α
-q
β
=q
β
(q
αβ
-1).由q为奇数, 得β=0,2=q
n
-1,q
n
=3,从而q=3,n=1,a
2< br>=4.a=2,m=2.仍
得上解.

- 5 -

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