2008年全国高中数学联赛试题及答案

2008年全国高中数学联赛试题及答案
一 试
一、选择题（每小题6分，共36分）
5?4x?x
2
1．函数
f (x)?
在
(??,2)
上的最小值是 （ ）。
2?x
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
2．设
A?[?2,4)
，
B?{xx
2
?ax?4?0}
，若
B?A
，则实数
a< br>的取值范围为（ ）。
（A）
[?1,2)
（B）
[?1,2]
（C）
[0,3]
（D）
[0,3)

3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0 分，比赛进行到有一人比
2
对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每 局中获胜的概率
3
1
为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数
?的期望
E
?
为 （ ）。
3
（A）
241670
266274
（B） （C） （D）
81243
8181

4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm
2
，则这三个正方体
的体积之和为 （ ）。
3
（A）764 cm或586 cm
3
（B） 764 cm
3

（C）586 cm
3
或564 cm
3
（D） 586 cm
3

?
x?y?z?0,
5．方程组
?
的有理数解
(x,y,z)
的个数为 （ ）。
?
xyz?z?0,
?
xy?yz?xz?y?0
?
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
6．设
?ABC
的内角
A、B、C
所对的边
a、b、c
成等比数列，则
sinAcotC?cosA
的取值范围是（ ）。
sinBcotC?cosB
5?1
)

2
5?15?15?1
（C）
(,)
（D）
(,??)

222
二、填空题（每小题9分，共54分）
7．设
f(x)?ax?b
，其中
a,b
为实数，
f
1(x)?f(x)
，
f
n?1
(x)?f(f
n
(x) )
，
n?1,2,3,?
，若
f
7
(x)?128x?38 1
，则
a?b?
.
1
8．设
f(x)? cos2x?2a(1?cosx)
的最小值为
?
，则
a?
.
2
9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的 分配
方法共有 种．
n?1
10．设数列
{a
n< br>}
的前
n
项和
S
n
满足：
S
n?a
n
?
，
n?1,2,?
，则通项
a
n= ．
n(n?1)
11．设
f(x)
是定义在
R
上的函数，若
f(0)?2008
，且对任意
x?R
，满足

f(x?2)?f(x)
)
= .
?3?
x
，
2
f(x?6)?f(x)?63?2
x
，则
f(2008
（A）
(0,??)
（B）
(0,
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
46
的正四面体 容器内可向各个方向自由运动，

1

则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
三、解答题（每小题20分，共60分）
13．已知函数
f(x)?|sinx|
的图像与直线
y?kx

(k?0)
有且仅有三个交点，交点的横坐标
的最大值为
?
，求证：
cos
?
1?
?
2
．
?
sin
?
?sin3
?
4
?
14．解不等式
log
2< br>(x
12
?3x
10
?5x
8
?3x
6?1)?1?log
2
(x
4
?1)
．
15．如图，
P
是抛物线
y
2
?2x
上的动点，点
B、C
在
y
轴上，圆
(x?1)
2
?y
2
?1
内切于
?PBC
，
求
?PBC
面积的最小值．










第15题



解 答
1?(4?4x?x
2
)1
1
1. 当
x?2
时 ，
2?x?0
，因此
f(x)???(2?x)
?2??(2?x)

2?x2?x
2?x
?2
，当且仅当
1
?2?x
时 取等号．而此方程有解
x?1?(??,2)
，因此
f(x)
在
(? ?,2)
上
2?x
的最小值为2．故选C.
aa
2
aa
2
，故2. 因为
x?ax?4?0
有两个实根
x
1
??4?
，
x
2
??4?
B?A
等价于
24
24
2
2
aa
2
aa
x
1
??2
且
x
2
?4
，即
?4???2
且
?4??4
，解之得
0? a?3
．故选D。
24
24
3.方法一： 依题意知，
?
的所有可能值为2、4、6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比
2 15
赛停止的概率为
()
2
?()
2
?
．若该轮结 束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得
339
5
一分，此时，该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响．从而有
P(
?
?2)?
，
9
4520416
52016266
，
P(
?
?6)?()
2
?
，故
E
?
?2??4
．故选B。
P(
?
?4)?()()?
???6?
9981981
9818181
方 法二： 依题意知，
?
的所有可能值为2、4、6.令
A
k
表示甲在 第
k
局比赛中获胜，则
A
k
表
示乙在第
k
局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得
5
P(
?
?2)?P(A
1
A
2
)?P(A
1
A
2
)?
，
9
P(
?
?4)?P(A
1
A
2
A
3< br>A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)

211220

?2[()
3
()?()
3
()]?
，
333381

2

P(
?
?6)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1< br>A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)

2116

?4()
2
()
2
?
，
3381
520 16266
因此
E
?
?2??4??6??
．故选B。
9818181
4. 设这三个正方体的棱长分别为
a、b、c
，则有
6
?
a
2
?b
2
?c
2
?
?5 64
，即
a
2
?b
2
?c
2
?94
。
不妨设
1?a?b?c?10
，从而
3c?a?b?c?94
，
c?31
．故
6?c?10
，
c
只能取9、
8、7 、6 ．
若
c?9
，则
a
2
?b
2
?9 4?9
2
?13
，易知
a?2
，
b?3
，得一组解
(a,b,c)?(2,3,9)
．
若
c?8
， 则
a< br>2
?b
2
?94?64?30
，
b?5
．但
2b?30
，即
b?4
，从而
b?4
或5．若
b?5
，则
a
2
?5
无解；若
b?4
，则
a
2
?14
无解．因此c=8时无解．
若
c?7
，则
a
2
?b
2
?94?49?45
，有唯一解
a?3
，
b?6
．
若
c?6
，则
a
2
?b
2< br>?94?36?58
，此时
2b?58
，即
b?29
。故b?6
，但
b?c?6
，
所以
b?6
，此时
a ?58?36?22
无解．
,c,?)
综上，共有两组解
(ab
2
22
2
22222
(2
或
,(a,b,c)?(3,6,7 )
，体积为
（cm）或
V
2
?3
3
?6
3
?7
3
?586
（cm
3
）。故选A。
V
1
?2
3
?3
3
?9
3
?76
3
4
?
x??1，
?
x?y?0，
?
x?0，
5. 若
z?0
，则
?
解得
?
或
?

y ?1.
xy?y?0.
y?0
?
?
?
若
z?0，则由
xyz?z?0
得
xy??1
． ①
由
x?y?z?0
得
z??x?y
． ②
将②式代入
xy?yz?xz?y?0
得
x
2
?y< br>2
?xy?y?0
． ③
1< br>由①式得
x??
，代入③式化简得
(y?1)(y
3
?y?1 )?0
.易知
y
3
?y?1?0
无有理数根，
y
故
y?1
，由①式得
x??1
，由②式得
z?0
，与
z?0
矛盾，故该方程组共有两组有理数解
?
x?0,
?
x??1,
?
?
?
y?0,
或
?
y?1,
故选B。
?
z?0.
?
z?0
?
?
6.设
a、b、 c
的公比为
q
，则
b?aq,c?aq
2
，而
sinAcotC?cosAsinAcosC?cosAsinC

?
si nBcotC?cosBsinBcosC?cosBsinC
sinA(?C)
?
s ?inB()Bsibn

?????q
．
sinB(?C)
?
s?inA()Asian
因此，只需求
q的取值范围
．
因为
a、b、c
成等比数列，最大边只能是
a或
c
，因此
a、b、c
2
?
?
a?aq?aq ,
要构成三角形的三边，必须且只需
a?b?c
且
b?c?a
．即有 不等式组
?
即
2
?
?
aq?aq?a
?
1 ?55?1
?q?,
2
?
?
5?15?1
?
q?q ?1?0,
?
22
?q?
解得从而，因此所求的取
?
2< br>?
22
?
?
q?q?1?0.
?
q?
5?1
或q??
5?1
.
?
?22
值范围是
(
5 ?15?1
,)
．故选C。
22
nn?1
7. 由题意知
f
n
(x)?ax?(a?a
n?2
a
n
?1
得< br>???a?1)b
?ax??b
，由
f
7
(x)?128x? 381
a?1
n

3

a
7
?1< br>a?128
，
?b?381
，因此
a?2
，
b?3< br>，
a?b?5
．
a?1
a1
8.
f(x)?2 cos
2
x?1?2a?2acosx
?2(cosx?)
2
?a< br>2
?2a?1
，
22
(1)
a?2
时，
f(x)
当
cosx?1
时取最小值
1?4a
；
(2)
a??2
时，
f(x)
当
cosx??1
时取最小值1；
a
1
(3)
?2?a?2
时，
f(x)
当
cosx?
时取最小值
?a
2
?2a?1
．
2
2
1
又
a?2
或
a??2
时，
f(x)
的 c不能为
?
，
2
11
故
?a
2
?2a? 1??
，解得
a??2?3
，
a??2?3
(舍去)．
22
9. 方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用
?
表示名额．如
|????|???|??|

表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额． 若把每个“
?
”与每个“
|
”都视为一个位置，
由于左右两端必须是 “｜”，故不同的分配方法相当于
24?2?26
(个)位置（两端不在内）被
2个“ ｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“
?
”之间的23
个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有
C
2
(种)．又在“每校至少有一个 名额的分法”中
23
?253
“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种． 综上知，满足条件的分配方法共有253
－31＝222(种)．
方法二：设分配给3个学校 的名额数分别为
x
1
、x
2
、x
3
，则每校至少有 一个名额的分法
7
数为不定方程
x
1
?x
2
?x< br>3
?24
的正整数解的个数，即方程
x
1
?x
2?x
3
?21
的非负整数解的个
212
数，它等于3个不同元素 中取21个元素的可重组合：
H
3
．又在“每校至
?C
21
23
?C
23
?253
少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相 同”的分配方法有31种．综上知，满足
条件的分配方法共有253－31＝222（种）．
nn?1
10.
a
n?1
?S
n?1
?Sn
??a
n?1
??a
n
，
(n?1)(n?2)n(n?1)
n?2?211
即 2
a
n?1
????a
n

(n?1)(n?2)n?1n(n?1)
?21
=，
?a
n
?
(n?1)(n?2)n(n?1)
11
由此得 2
(a
n?1
?
．
)?a
n
?
(n?1 )(n?2)n(n?1)
令
b
n
?a
n
?
111
1
1
，
b
1
?a
1
??
(
a
1
?0
)，有
b
n?1
?b
n
，故
b
n
?
n
，所以
2
22
2
n(n?1)
11
．
?
n
n(n?1)
2
11. 方法一：由题设条件知
f(x?2)?f(x)??(f(x?4)?f(x?2))?(f(x?6 )?f(x?4))?(f(x?6)?f(x))


??3?2
x?2
?3?2
x?4
?63?2
x
?3?2< br>x
，
因此有
f(x?2)?f(x)?3?2
x
，故 f(2008)?f(2008)?f(2006)?f(2006)?f(2004)???f(2)?f (0)?f(0)


?3?(2
2006
?22004
???2
2
?1)?f(0)

a
n
?
4
1003?1
?1

?3??f(0)

4?1
2008

?2?2007
．

4

方法二： 令
g(x)?f(x)?2
x
，则

g(x?2 )?g(x)?f(x?2)?f(x)?2
x?2
?2
x
?3?2
x
?3?2
x
?0
，
g(x?6)?g(x)?f(x?6)?f (x)?2
x?6
?2
x
?63?2
x
?63?2
x
?0
，
即
g(x?2)?g(x),g(x?6)?g(x)
， 故
g(x)?g(x?6)?g(x?4)?g(x?2)?g(x)
，得
g(x)< br>是
周期为2的周期函数，所以
f(2008)?g(2008)?2
2008< br>?g(0)?2
2008
?2
2008
?2007
．
12. 如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为
r
，作平面
A
1
B
1
C
1
平面
ABC
，
与小球 相切于点
D
，则小球球心
O
为正四面体
P?A
1
B
1
C
1
的中心，
PO?面A
1
B
1
C
1
，垂足
D
为
1
1
A
1
B< br>1
C
1
的中心．因
V
P?A
1
B
1
C
1
?S
?A
1
B
1
C
1
?PD
?4?V
O?A
1
B
1
C
1
?4 ??S
?A
1
B
1
C
1
?OD
，
3
3
故
PD?4OD?4r
，从而
PO?PD?OD?4r?r? 3r
．
22
记此时小球与面
PAB
的切点为
P
1
，连接
OP
，则
PP(3r)
2
?r
2
? 22r
．
1
?PO?OP
1
?
1








（第12题图1）
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为
PAB
)相切时的情况，易知小球在面
P AB
上最靠近
边的切点的轨迹仍为正三角形，记为
PEF
，如图2．记正四面 体的棱长为
a
，过
P
1
作
PM?PA
1
1
于
M
．因
?MPP
1
?
3
?6r
，故小三角形的边长
6
2
PE?PA?2PM?a?26r
．小球与面
PAB
不能接触到的部分的面积为（如图2中阴影部
1
，有
PM?PP1
?cosMPP
1
?22r?
?
3
2
2(a?(a?26r)
2
)
?32ar?63r
．
4
r?1
又，，所以
a?46
S
?PAB
?S?P
1
EF
?243?63?183
．由对称性，且正四面体
分 ）
S
?PAB
?S
?PEF
?
1
共4个面，所以小 球不能接触到的容器内壁的面积共为
723
．
3
?
13.
f(x)
的图象与直线
y?kx

(k?0)
的三个交点如 答13图所示，且在
第
(
12
内相切，其
）
?
,
题图
)
2
2
3
?
切点为
A(
?< br>,?sin
?
)
，
?
?(
?
,)
．
2
3
由于
f
?
(x)??cosx
，
x? (
?
,
?
)
，所
2
sin
?
以< br>?cos
?
??
，即
?
?tan
?
．因此
?

（第13
cos
?
cos
?
1
cos
2
?
?sin
2
?
1?tan
2
?
1?
?
2

?

?
．
??
?
sin
?
?sin3
?
2sin2
?
cos
?
4sin
?
cos
?
4sin
?
cos
?
4tan
?
4
?
44
14. 方法一：由
1?log
2
(x?1)?log
2
(2x?2)
，且
log
2
y
在
(0,??)
上为增函数，故原不等式
等价于
x
12
?3x
10
?5x
8
?3 x
6
?1?2x
4
?2
．

5

即
x
12
?3x
10< br>?5x
8
?3x
6
?2x
4
?1?0
．
分组分解
x
12
?x
10
?x
8


?2x
10
?2x
8
?2x
6


?4x
8
?4x
6
?4x
4


?x
6
?x
4
?x
2


?x
4
?x
2
?1?0
，
(x
8
?2x
6
?4x
4
?x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)?0
，
所以
x
4
?x
2
?1?0
，
(x?
2
?1?5
2
?1?5
)(x?)?0
。所以
x
2
?
?1?5< br>，即
22
2
5?15?1
．
?1?5??1
．故原不等式解集为
5
(?,)
?x?
22
22
方法二： 由
1?log
2
(x
4
?1)?l og
2
(2x
4
?2)
，且
log
2
y< br>在
(0,??)
上为增函数，故原不等
式等价于
x
12?3x
10
?5x
8
?3x
6
?1?2x
4< br>?2
．
即
21
?
6
?x
6
?3x
4
?3x
2
?1?2x
2
? 2?(x
2
?1)
3
?2(x
2
?1)
，
2
xx
11

(
2
)< br>3
?2(
2
)?(x
2
?1)
3
?2(x< br>2
?1)
，
xx1
令
g(t)?t
3
?2t
，则不等式为
g(
2
)?g(x
2
?1)
， 显然
g(t)?t
3
? 2t
在
R
上为增函数，由此上
x
1
5?1
面不等式 等价于
2
?x
2
?1
，即
(x
2
)2
?x
2
?1?0
，解得
x
2
?
，故 原不等式解集为
x
2
?
(?
5?1
,
2
5 ?1
．
)
2
y
0
?b
x
，化简得
x
0
y
0
?b?x
0
b
?1
，故
22
(y
0
?b)?x
0
15. 设
P(x< br>0
,y
0
),B(0,b),C(0,c)
，不妨设
b?c< br>．直线
PB
的方程:
y?b?
)
PB
的距离为1，< br>(y
0
?b)x?x
0
y?x
0
b?0
．又 圆心
(1,0
到
2222
，
(y
0
?b)?x)? 2
0
xb(
0
y?b)?
2
0
xb
易知< br>0
?(y
0
?b
x
0
?2
，上式化简得同理有
(x
0
?2)c
2
?2y
0
c?x0
?0
． 所以
b?c?
(x
0
?2)b
2< br>?2y
0
b?x
0
?0
，
2
?x
0
?2y
0
，，
bc?
x
0
?2
x
0
?2
222
4x?4y?8x4x
2
2
0000
则
(b?c)?
．因
P(x
0
,y
0
)
是 抛物线上的点，有
y
0
?2x
0
，则
(b?c)?
，
(x
0
?2)
2
(x
0
?2)
2
2x
0
x
14
． 所以
S
?PBC
?(b?c) ?x
0
?
0
?x
0
?(x
0
?2)?b? c??4
?24?4?8
．当
2x
0
?2x
0
?2
x
0
?2
(x
0
?2)
2
?4
时 ，上式取等号，此时
x
0
?4,y
0
??22
．
因此
S
?PBC
的最小值为8．









6

加 试

一、（本题满分50分）
如图，给定凸四边形
ABCD
，
?B??D?180
?
，
P
是平面上
的动点，令
f(P) ?PA?BC?PD?CA?PC?AB
．
（1）求证：当
f(P)
达到最小值时，
P、A、B、C
四点共圆；
AE3
（2）设
E
是
?ABC
外接圆
O
的
?
，
AB
上一点，满足：
?
AB2
BC
1
?3?1
，
?ECB??ECA
，又
DA,DC
是
?O
的切线，
EC
2
AC?2
，求
f(P)
的最小 值．
二、（本题满分50分）
设
f(x)
是周期函数，
T
和1是
f(x)
的周期且
0?T?1
．证明：
（1）若
T
为有理数，则存在素数
p
，使
答一图1
1
是
f(x)
的周期；
p
（2）若
T
为 无理数，则存在各项均为无理数的数列
{a
n
}
满足
1?a
n
?a
n?1
?0

(n?1,2?,??)
且每个< br>a
n
(n?1,2,???)
都是
f(x)
的周期． ，
三、（本题满分50分）
设
a
k
?0
，
k?1 ,2,?,2008
．证明：当且仅当
?
a
k
?1
时，存在 数列
{x
n
}
满足以下条件：
k?1
2008
（ 1）
0?x
0
?x
n
?x
n?1
，
n?1 ,2,3,?
；
（2）
limx
n
存在；
n??
（3）
x
n
?x
n?1
?
?
a
k
x
n?k
?
?
a
k?1
x
n?k
，n?1,2,3,?
．
k?1k?0
20082007
解 答

一、方法一：（1）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任
意点
P
，有
PA?BC?PC?AB?PB?AC
．因此
f(P)?PA?BC?PC?AB? PD?CA
?PB?CA?PD?CA
?(PB?PD)?CA
．
因为上面 不等式当且仅当
P、A、B、C
顺次共圆时取等号，因此
当且仅当
P
在
?ABC
的外接圆且在
?
AC
上时，
又因此不等式当且 仅
f(P)?(P?BP)?D
．
CA
PB?PD?BD
，
当
B,P,D
共线且
P
在
BD
上时取等号．因此当且仅当< br>P
为
?ABC
的外接圆与
BD
的交点时，
f(P)< br>取最小值
f(P)
min
?AC?BD
．故
当
f(P )
达最小值时，
P、A、B、C
四点共圆．
（2）记
?ECB?< br>?
，则
?ECA?2
?
，由正弦定理有
第1题
AEs in2
?
3
，从而
??
ABsin3
?
2
3sin3
?
?2sin2
?
，即
3(3sin
?
?4sin
3
?
)?4sin
?
cos
?
，所以< br>3
1
或
cos
?
??
（舍去），故
?
?30
?
，
?ACE?60
?
． 由已知
2
2 3
33?43(1?cos
2
?
)?4cos
?
?0
，整理得
43cos
2
?
?4cos
?
?3?0
，
解得
co
?
s?
BC
?3?1
=
E C

sin
?
?EAC?30
0
?
sin?EAC
,有
sin(?EAC?30
?
)?(3?1)sin?EAC
7
，即

312?31
sin?EAC?cos?EAC?(3?1)si n?EAC
，整理得
sin?EAC?cos?EAC
，
2222
1
?
?
故
tan?EAC??2?3
，可得
?EAC?75< br>，从而
?E?45
，
2?3
?DAC??DCA??E?45
?
，
?ADC
为等腰直角三角形．因
AC?2
，则
CD?1
．又
?ABC
也是等腰直角三角形，故
BC?2
，
BD2
?1?2?2?1?2cos135
?
?5
，
BD?5
．故
f(P)
min
?BD?AC?5?2?10
．
方法二：（1）如图2，连接
BD
交
?ABC
的外接圆
O< br>于
P
0
点（因为
D
在
?O
外，故
P
在
BD
上）．
0
过
A,C,D
分别作
P
的垂线，两两相交得
0
A,PC
0
,P
0
D
?A
1
B
1
C
1
，易知
P
0
在
?ACD
内，从而在
?A
1
B
1
C
1内，记
?ABC
之三内角分别为
x，y，z
，则
?APC?18 0??y?z?x
，又
0
因
B
1
C
1
?P
，
B
1
A
1
?PC
，得
?B
1< br>?y
，同理有
?A
1
?x
，
0
A
0
?C
1
?z
，
所以
?A
1
B
1
C
1
∽
?ABC
．设
B
1
C
1< br>?
?
BC
，
C
1
A
1
?
?
CA
，
A
1
B
1
?
?
AB
，则对平面上任意点
M
，有

?
f(P

0
)?
?
(P
0
A?BC?P
0
D?CA ?PC
0
?AB)

?P

0
A?B
1
C
1
?P
0
D?C
1
A
1
?PC
0
?A
1
B
1

?2S
?ABC

111



从而
f(P
0
)?
（第1题图
2）

?MA?BC< br>11
?MD?C
1
A
1
?MC?A
1
B1
?
?
(MA?BC?MD?CA?MC?AB)

?
?
f(M)
，
知
P
点是使
f(P)< br>达最小值的点．由点
P
在
?O
上，
f(M
．
)
由
M
点的任意性，
00
故
P、B、C
四点共圆．
0
、A
2
（2）由（1），
f(P)
的最小值
f (P
0
)?S
?ABC
?2
?
S
?ABC
，记
?ECB?
?
，则
?ECA?2
?
，
?
111
AEsin2
?
3
由正弦定理有，从而
3s
?i?n3
?
，
2s
即
in2
??
ABsin3
?
2
3(3sin
?
?4sin
3
?
)? 4sin
?
cos
?
，所以
33?43?(1
2
?
co?s)
?
?4c
，
os
整理
0
得43c
2
o
?
s?
?ACE?60
?
4
?
c?os?
，
3
解
0
得
cos
?< br>?
．由已知
3
1
或
cos
?
??
（ 舍去），故
?
?30
?
，
2
23
BC
=, 有
?3?1
EC
sin?EAC
31
sin(?EAC?30
?
)?(3?1)sin?EAC
，即
sin?EAC?cos?EAC?(3?1 )sin?EAC
，
22
2?31
1
?
整理得
sin?EAC?cos?EAC
，故
tan?EAC??2?3
，可得
?E AC?75
，
22
2?3
所以
?E?45?
，
?A BC
为等腰直角三角形，
AC?2
，
S
?ABC
?1
，因为
?AB
1
C?45?
，
B
1
点
在
?O
上，
?AB
1
B?90?
，所以
B
1
BDC
1
为矩形，
B
1
C
1
?BD?1? 2?2?1?2cos135??5
，
sin
?
?EAC?30
0< br>?
5
故
?
?
5
，所以
f(P)
mi n
?2??1?10
．
2
2
方法三：（1）引进复平面，仍用< br>A,B,C
等代表
A,B,C
所对应的复数．由三角形不等式，对

8

于复数
z
1
,z
2
，有 z
1
?z
2
?z
1
?z
2
，当且仅当
z
1
与
z
2
（复向量）同向时取等号．
????????????????????????????????
有
PA?BC?PC?AB?P?AB?CP?
，
C

AB
所以
(A?P)(C?B)?(C?P)(B?

A)

?(A?P)(C?B)?(C?P)(B?

A

)
①

??P?C?A?B?C?B?P

?A
????????

?(B?P)(C?A)?PB?A
，
C

????????????????????????????????????????
从而
PA?BC?PC

C?AB?P?D?CPAB?AC?PD?A
???? ????????
?(PB?PD)?AC

????????
?BD?AC
． ②
①式取等号的条件是复数
(A?P)(C?B)
与
(C? P)(B?A)
同向，故存在实数
?
?0
，使得
A?PB?AA?PB?A
，所以
arg(
(A?P)(C?B)?
?
(C?P)(B?A)
，
?
?
?)arg(
，
)
C?PC?BC?PC?B
????
????
????????
向量
PC
旋转到
PA
所成的角等于
BC
旋转到
AB
所成的角，从而
P、A、B、 C
四点共圆．
②式取等号的条件显然为
B,P,D
共线且
P
在
BD
上．故当
f(P)
达最小值时
P
点在
?A BC
之
外接圆上，
P、A、B、C
四点共圆．
（2）由（1）知
f(P)
min
?BD?AC
．以下同方法一．
n
二、（1）若
T
是有理数，则存在正整数
m,n
使得T?
且
(m,n)?1
，从而存在整数
a,b
，使
m< br>1ma?nb
得
ma?nb?1
．于是
??a?bT?a?1?b? T
是
f(x)
的周期．又因
0?T?1
，从
mm
1 1
而
m?2
．设
p
是
m
的素因子，则
m? pm
?
，
m
?
?N
?
，从而
?m
?
?
是
f(x)
的周期．
pm
1
（2）若
T
是无理数，令
a
1
? 1?
??
T
，则
0?a
1
?1
，且
a1
是无理数，令
?
?
T
?
?
?
1
?
?
1
?
a
2
?1???
a
1
，
a
n?1
?1?
??
a
n
， 由数学归纳法易知< br>a
n
均为无理数且
0?a
n
?1
．又
?a
1
?
?
a
n
?
?
1
??< br>1
?
1
?
1
?
?
??
?1
，故
1?a
n
?
??
a
n
，即
a
n?1
?1?
??
a
n
?a
n
．因此
{a
n
}
是递减数列．
a
n
?
a
n
?
?
a
n
??
a
n
?
1
最后证： 每个
a
n
是
f(x)
的周期．事实上，因1和
T
是
f(x)
的周期，故
a
1
?1?
??
T
亦 是
?
?
T
?
?
1
?
也是
f(x)
的周期．由数学归纳
f(x)
的周期．假设
a
k
是
f(x)
的周期，则
a
k?1
?1?
?
??
ak
?
a
k
?
法，已证得
a
n
均是f(x)
的周期．

三、
必要性：假设存在
{ x
n
}
满足（1），（2），（3）．注意到（3）中式子可化为

x
n
?x
n?1
?
?
a
k
(x< br>n?k
?x
n?k?1
)
，
n?N
*
，
k?1
2008
其中
x
0
?0
．将上式从第1项加 到第
n
项，并注意到
x
0
?0
得
n ??
x
n
?a
1
(x
n?1
?x
1
)?a
2
(x
n?2
?x
2
)???a
2008
(x
n?2008
?x
2008
)
． 由（ⅱ）可设
b?limx
n
，将上式
取极限得

b?a
1
(b?x
1
)?a
2
(b?x
2
)???a
2008
(b?x
2008
)


9

?b?
?
a
k
?(a
1
x
1
?a
2
x
2
??
?a
2008
x
2008
)

k?1
2008
?b?
?
a
k
，
k?1
2008
因此
?
a
k
?1
． < br>k?1
2008
充分性：假设
?
a
k
?1
． 定义多项式函数如下：
f(s)??1?
?
a
k
s
k
，
s?[0,1]
，则
f(s)
k?1k?1
20082008< br>在[0,1]上是递增函数，且
f(0)??1?0
，
f(1)??1?
?
a
k
?0
．因此方程
f(s)?0
在[0,1]内k?1
2008
有唯一的根
s?s
0
，且
0?s
0
?1
，即
f(s
0
)?0
．
k
下 取数列
{x
n
}
为
x
n
?
?
s< br>0
，
n?1,2,?
，则明显地
{x
n
}
满 足题设条件（ⅰ），且
k?1
n
n?1
s
0
?s
．因
s?ss
0
，即
n?1
00
因此
limxn
?lim
0?s
0
?1
，故
lims
0?
{x
n
}
0
，
x
n
?
?< br>s??
n??
n??n??
1?s
0
1?s
0
1?s
0
k?1
n
k
0
k
的极限存在，满足（2 ）． 最后验证
{x
n
}
满足（3），因
f(s
0
)?0
，即
?
a
k
s
0
?1
，从而
k?1
2008
n?1
0

x
n< br>?x
n?1
?s?(
?
as)s?
?
as
n
0
k
k0
n
0
k?1k?1
20082008n?k
k0
?
?
a
k
(x
n?k
?x
n?k?1
)
．
k?1
2008
综上，存在数列
{x
n
}
满足（1）.



10