1990年全国高中数学联赛试题及解答

1990年全国高中数学联赛
第一试
(10月14日上午8∶00—10∶00)
一．选择题(本题满分30分，每小题5分)
1．设α∈(
4
，
2
),则(cos?)
cos?
，(sin?)
cos?
，(cos?)
sin?
的大小顺序是
A ．(cos?)
cos?
<(sin?)
cos?
<(cos?)
s in?

B．(cos?)
cos?
<(cos?)
sin?
<(sin?)
cos?

C．(sin?)
cos?
<(cos ?)
cos?
<(cos?)
sin?

D．(cos?)
sin?
<(cos?)
cos?
<(sin?)
cos?

2．设f(x) 是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，
则当x∈ [－2,0]时，f(x)的解析式是( )
A．f(x)=x+4 B． f(x)=2-x C． f(x)=3－|x+1| D． f(x)=2+|x+1|
3．设双曲线的左右焦点是F
1
、F
2
，左右顶点是M、N，若△P F
1
F
2
的顶点P在双曲线上，
则△PF
1
F2
的内切圆与边F
1
F
2
的切点位置是( )
A．在线段MN内部 B．在线段F
1
M内部或在线段NF
2
内部
C．点M或点N D．不能确定的
11
4．点集{(x，y)|lg(x
3
+
3y
3
+
9
)=lgx+lgy}中元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．多于2 < br>?
x
?
1990
?
y
?
1990
2 2
5．设非零复数x、y满足x+xy+y=0，则代数式
?
x+y
?
+
?
x+y
?
的值是( )
????
A．2
－
1989
B．－1 C．1 D．以上答案都不对
x
2
y
2
6．已知椭圆
a
2
+
b
2
=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|> 1的点的集合用阴影表
示是下面图中的( )
y
(2,1)
??y
(2,1)
y
(2,1)
y
(2,1)
x
O
(5，0)
x
O
(2,-1)
O
x
(5，0)x
O
(2,-1)
A.
B.
C.
D.

二．填空题(本题满分30分，每小题5分)
11
的最小值是 ．
n
+
1+a1+b
n
2．设A(2，0)为平面上一定点，P (sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°
时，线段A P扫过的面积是 ．
3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有( x
2
+y
2
+z
2
)
2
≤n(x
4
+y
4
+z
4
)成立，则n的最小
值是 ． < br>4．对任意正整数n，连结原点O与点A
n
(n，n+3)，用f(n)表示线段OA< br>n
上的整点个数(不
计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)．
5．设n=1990，则

1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则
- 1 -

1
24619981990

2
n< br>(1－3C
n
+3
2C
n
－3
3
C
n
+…+3
994
C
n
－3
995
C
n< br>= ．
6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有
种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．
三．(本题满分20分)
2ab
π
已知a，b均为正整数，且a>b，si nθ=
22
，(其中0<θ<)，A
n
=(a
2
+b
2
)
n
sinnθ．求证：对
a+b2
于一切自然数n，A
n
均为整数．

四．n
2
个正数排成n行n列
a
11
a
12
a
13
a
14
……a
1n

a
21
a
22
a
23
a
24
……a
2n

a
31
a
32
a
33
a
34
……a
3n


a
41
a
42
a
43
a
44
……a
4n


……………………………………

a
n1
a
n2
a
n3
a
n4
……a
nn


其中每一行的数成等差数列，每 一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a
24
=1，
13
a
42
=
8
，a
43
=
16
，求a
11+a
22
+……+a
nn
．

五．设棱锥M—ABC D的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，
试求能够放入这个棱锥的最 大球的半径．

M



C
D


A
B
- 2 -

第二试
(10月14日上午10∶30—12∶30)
一．(本题满分35分)
四边形A BCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和
DAP的外接圆圆 心分别是O
1
、O
2
、O
3
、O
4
．求证 OP、O
1
O
3
、O
2
O
4
三直线共点．


D


C
O
3



O
4



P

O
2


O

O
1



A
F

B

二．(本题满分35分)
设 E={1，2，3，……，200}，
?
G={a
1
，a
2
，……，a
100
}
?
E．
且G具有下列两条性质：
⑴ 对任何1≤i a
i
+a
j
≠201；
100
⑵
Σ
a
i
=10080．
i=1
试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．








三．(本题满分35分)
某市有n所中学，第i所中学派出C
i
名代表(1 ≤C
i
≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，
n
全部学生总数为
Σ
C
i
=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在 同
i=1
一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．
- 3 -

1990年全国高中数学联赛(解答)
第一试
一．选择题(本题满分30分，每小题5分)
1．设α∈(
4
，
2
),则(cos?)
cos?
，(sin?)
cos?
，(cos? )
sin?
的大小顺序是
A．(cos?)
cos?
<(sin? )
cos?
<(cos?)
sin?

B．(cos?)
cos?
<(cos?)
sin?
<(sin?)
cos?

C．(sin?)
cos?
<(cos ?)
cos?
<(cos?)
sin?

D．(cos?)
sin?
<(cos?)
cos?
<(sin?)
cos?

(1990年全国高中数学联赛)
解：α∈(
4
，
2
)?0∴ (cos?)
cos?
<(sin?)
cos?
；(cos?)
si n?
<(cos?)
cos?
；选D．
2．设f(x)是定义在实数集 上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，
则当x∈[－2,0]时 ，f(x)的解析式是( )
A．f(x)=x+4 B． f(x)=2-x C． f(x)=3－|x+1| D． f(x)=2+|x+1|
解 设x∈[－2,－1],则x+4∈[2,3],于是f(x+4)=x+4，但f(x)= f(x+4)=x+4 (x∈[－2,－1])，
又设x∈[－1,0)，则－x∈(0,1],故f(－x)=－x+2，由f(x)= f(－x)=－x+2 (x∈[－1，0).
?
?
3－(－x－1)=x+4 (x∈[－2，－1])，
f(x)=3－|x+1|=
?
故选C．
?
3－(x+1)=－x+2 (x∈(－1，0))．
?
3．设双 曲线的左右焦点是F
1
、F
2
，左右顶点是M、N，若△PF
1F
2
的顶点P在双曲线上，
则△PF
1
F
2
的 内切圆与边F
1
F
2
的切点位置是( )
y
A．在线段MN内部 B．在线段F
1
M内部或在线段NF
2
内部
P
C．点M或点N D．不能确定的
F
I
解：设内切圆在三边上 切点分别为D、E、F，当P在右支上时，PF
1
E
D
F
M
O
N
F
x
－PF
2
=2a．
但PF
1< br>－PF
2
=F
1
D－F
2
D=2a，即D与N重合， 当P在左支上时，D与
M重合．故选C．
11
4．点集{(x，y)|lg(x3
+
3
y
3
+
9
)=lgx+lgy}中元素 个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．多于2
1
2
??
??
1111
解：x+
3< br>y
3
+
9
=xy>0．但x
3
+
3
y
3
+
9
≥3
3
3
1
3
13
3
1
3
1
x·y· =xy，等号当且仅当x=y=时，即x=
39393
，
3
3
9
y=
3
时成立．故选B．
?
x
?
1990?
y
?
1990
5．设非零复数x、y满足x+xy+y=0，则代数式
?
x+y
?
+
?
x+y
?
的值是( )
????
－
1989
A．2 B．－1 C．1 D．以上答案都不对
x
解：
y
=ω或ω2
，其中ω=cos120°+isin120°．1+ω+ω
2
=0．且ω3
=1．
x
ω
1990
1
1990
x
2
ω
2
1990
1
若
y
=ω，则得(
1 +ω
)+(
ω+1
)=－1．若
y
=ω，则得(
1+ω2
)+(
ω
2
+1
)
1990
=－1．选B．
x
2
y
2
6．已知椭圆
a
2
+
b
2
=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1的点的集合用阴影表
示是下面图中的( )
22
3
- 4 -

y
(2,1)
y
(2,1)
y
(2,1)
y
(2, 1)
x
O
(5，0)
x
O
(2,-1)
O
x
(5，0)
x
O
(2,-1)
A.
B.
C.D.

411415415
解：
a
2
+
b2
=1，由a
2
>b
2
，故得
b
2
< 1<
b
2
+
b
2
=
b
2
，1a
2
+
b
2
=1?
a
2
< 1，a
2
>5．故选C．
二．填空题(本题满分30分，每小题5分)
1 1
1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则
1+a
n
+
1+b
n
的最小值是 ．
a+b
2
111+a
n
+1+b
n
nn
解：ab≤(
2
)= 1，从而ab≤1，故
1+a
n
+
1+b
n
=
1+a
n
+b
n
+a
n
b
n
≥1．等号 当且仅当a=b=1
时成立．即所求最小值=1．
2．设A(2，0)为平面上一定点，P( sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°
时，线段AP 扫过的面积是 ．
y
解：点P在单位圆上，sin(2t－60° )=cos(150°－2t)，cos(2t－
13
60°)=sin(150°－2t). 当t由15°变到45°时，点P沿单位圆从(－
2
，
2
)
x
O
131
运动到(
2
,
2
)．线段AP扫过的面积=扇形 面积=
6
π．
3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x
2< br>+y
2
+z
2
)
2
≤n(x
4
+y
4
+z
4
)
成立，则n的最小值是 ． 解：(x
2
+y
2
+z
2
)
2
=x< br>4
+y
4
+z
4
+2x
2
y
2+2y
2
z
2
+2z
2
x
2
≤x4
+y
4
+z
4
+(x
4
+y
4)+(y
4
+z
4
)+(z
4
+x
4
)=3(x
4
+y
4
+z
4
)．等
号当且仅当x= y=z时成立．故n=3．
4．对任意正整数n，连结原点O与点A
n
(n，n+3 )，用f(n)表示线段OA
n
上的整点个数(不
计端点)，试求f(1)+f(2) +…+f(1990)．
n+3
解 线段OA
n
的方程为y=
n< br>x(0≤x≤n)，故f(n)等于该线段内的格点数．
k+1
若n=3k(k∈N
+
)，则得y=
k
x (0≤x ≤n)(k∈N*)，其内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，
此时f(n)=2； < br>若n=3k±1(k∈N
+
)时，则由于n与n+3互质，故OA
n
内 没有格点，此时f(n)=0．
1990
∴ f(1)+f(2)+…+f(1990)=2[]=1326．
3
5．设n=1990，则
1
24619981990

2
n
(1－3 C
n
+3
2C
n
－3
3
C
n
+… +3
994
C
n
－3
995
C
n
= ．
1313131
解：取(－
2
+
2
i)
199 0
展开的实部即为此式．而(－
2
+
2
i)
1990
=－
2
+
2
i．故原式=－
2
．
6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有
种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．
解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩
- 5 -

始终站第一个位子，其余7组在8+9－1个位子中选择7个位子，得C
8 +9
－
1
=C
16
种选法．
7个女孩可任意换位，25个 男孩也可任意换位，故共得C
16
?7!?25!种排列方法．
三．(本题满分20分)
已知a，b均为正整数，且a>b，sinθ=
2abπ
22n
22
，(其中0<θ<)，A
n
=(a+b)sinn θ．求证：对
a+b2
7
7
7
于一切自然数n，A
n
均为整数．
a
2
－b
2
2ab
证明：由sinθ=a
2
+b
2
，得cosθ=
a
2
+b
2
．记A
n
=(a
2
+b
2
)
n
cosnθ．
当a、b均为正整数时，A
1
=2ab 、B
1
=a
2
－b
2
均为整数．
A
2< br>=4ab(a
2
－b
2
)，B
2
=2(a
2
－b
2
)
2
－(a
2
+b
2
)< br>2
也为整数．
若A
k
=(a
2
+b
2)
k
sinkθ、B
k
=(a
2
+b
2
)
k
coskθ均为整数，
则A
k+1
=(a
2
+b
2
)
k+1
sin(k+1)θ=(a
2
+b
2
)
k+1
sinkθcosθ+(a
2
+b
2
)coskθsinθ=A
k
?B
1
+A
1
B
k< br>为整数．
B
k+1
=(a
2
+b
2
)
k+1
cos(k+1)θ=(a
2
+b
2
)
k +1
coskθcosθ－(a
2
+b
2
)
k+1
sinkθsinθ=B
k
B
1
－A
k
A
1
为整数．
由数学归纳原理知对于一切n∈N
*
，A
n
、B
n
为整数．

四．n
2
个正数排成n行n列
a
11
a
12
a
13
a
14
……a
1n

a
21
a
22
a
23
a
24
……a
2n

a
31
a
32
a
33
a
34
……a
3n


a
41
a
42
a
43
a
44
……a
4n


……………………………………

a
n1
a
n2
a
n3
a
n4
……a
nn


1
其中每一行的数成等 差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a
24
=1，a
42
=
8
，
3
a
43
=
16
，
求 a
11
+a
22
+……+a
nn
．(1990年全国高中数 学联赛)
分析 由a
42
、a
43
或求a
44
， 由a
24
，a
44
可求公比．
解 设第一行等差数列的公差为d，各列的公比为q．
1
∴ a
44
=2a
43
－a
42
=
4
．
由a
44
=a
24
?q
2
，得，
1
q=
2
.
∴ a
12
=a
42
?q
－
3
=1．
∴ d=
a
14
－a
12
1
=
2
，
4－2
1
∴ a
1k
=a12
+(k－2)d=
2
k(k=1，2，3，…，n)
11
k
－
1
1
k
∴ a
kk
=a
1k
q
k
－
1
=
2< br>k·(
2
)=(
2
)·k．
令S
n
= a
11
+a
22
+…+a
nn
．
- 6 - < /p>

n
k
n+1
k－1
1
n
11n
则 S－S=
k=
Σ
1
k
－
k=
Σ
2
k
=+
k=
Σ
2
k
－
n+1

222222
111nn+2
=
2
+
2
－
2
n
－
2
n+1
=1－
2
n+1
.
n+2
．
2
n
五． 设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，
试求能够 放入这个棱锥的最大球的半径．
M
解：取AD、BC中点E、F，则ME⊥AD，AB⊥MA ，AB⊥AD，
?AB⊥平面MAD，
R
∴ 平面MAD⊥平面ABC． ∴ ME⊥平面ABC．
O
H
C
Q
D
∴ 平面MEF⊥平面ABC．
F
EP
∵ EF∥AB，故EF⊥平面MAD，∴ 平面MEF⊥平面MAD．
A
B
∵ BC⊥EF，BC⊥ME，∴ BC⊥平面MEF，
∴平面MEF⊥平面MBC．
2424
设AB=a，则ME=
a
，MF=a
2
+
a
2
．a+
a
≥22，a
2
+
a
2
≥2．
取△MEF的内切圆圆心O， 作OP⊥EF、OQ⊥ME，OR⊥MF，由于平面MEF与平面MAD、
ABC、MBC均垂直，则O P、OQ、OR分别与平面ABC、MAD、MBC垂直．从而以此内切圆
半径为半径的球与平面MAD 、ABC、MBC都相切， 设此球的半径为r，则
∴ S=2－
12
∴ r=2
(a+
a
－
4
a
2
+
a
2
)≤
2
2
a+
a
+
4
a
2
+
a
2
≤
12
=2－1．等号当且仅当a=
a
， 即a=2时成
2+1
立．
作QH⊥MA，由于OQ∥AB，故OQ∥平面MAB，故球心O与平面MAB的距离=QH，
10
当AB=2，ME=2，MA=
2
，MQ=2－(2－1)=1．
2
1·
2
QHAEMQ·AE5
∵ △MQH∽△MAE，∴
MQ
=
MA
，QH=
MA
==
5
>2－1． < br>10
2
即O与平面MAB的距离>r，同理O与平面MCD的距离>r．故球O是放入此 棱锥的最大
球．
∴ 所求的最大球半径=2－1．


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第二试
(10月14日上午10∶30—12∶30)
一．(本题满分35分)
四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形 ABP、BCP、CDP和
DAP的外接圆圆心分别是O
1
、O
2
、 O
3
、O
4
．求证OP、O
1
O
3
、O< br>2
O
4
三直线共点．
证明 ∵O为⊿ABC的外心，∴ OA=OB．
∵ O
1
为⊿PAB的外心，∴O
1
A=O
1
B．
E
1
∴ OO
1
⊥AB．
D
作⊿PCD的外接圆 ⊙O
3
，延长PO
3
与所作圆交于点E，并
O
3
2
C
与AB交于点F，连DE，则?1=?2=?3，?EPD=?BPF，
∴ ?PFB=?EDP=90?．
O
4
P
∴ PO
3
⊥AB，即OO
1
∥PO
3
．
O
2
同理，OO
3
∥PO
1
．即OO
1
PO
3
是平行四边形．
O
∴ O
1
O
3
与PO互相平 分，即O
1
O
3
过PO的中点．
同理，O
2
O
4
过PO中点．
O
1
3
A
∴ OP、O
1
O
3
、O
2
O
4
三直线共点．
F
B

二．(本题满分35分)
设 E={1，2，3，……，200}，
?
G={a
1
， a
2
，……，a
100
}
?
E．
且G具有下列两条性质：
⑴ 对任何1≤i a
i
+a
j
≠201；
100
⑵
Σ
a
i
=10080．
i=1
试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．
证明：⑴取100个集合：{a
i
，b
i
}：a
i
=i， b
i
=201－i(i=1，2，…，100)，于是每个集合中至
多能取出1个数． 于是至多可以选出00个数．现要求选出100个数，故每个集合恰选出1个
数．
把这100个集合分成两类：① {4k+1，200－4k}；② {4k－1，202－4k}．每类都有50个
集合．
设第①类选出m个奇数，50－m个偶数，第②类中选出n个奇数，50－n个偶数．
于是1?m+0?(50－m)+(－1)?n+2?(50－n)≡10080≡0(mod 4)．即m－3n≡0(mod 4)，即m+n
≡0(mod 4)
∴ G中的奇数的个数是4的倍数．
⑵ 设选出的100个数为x
1
，x
2，…，x
100
，于是未选出的100个数为201－x
1
，201－x
2
，…，
201－x
100
．
故x
1
+x
2
+…+x
100
=10080．
∴ x
1
2
+x
2
2
+…+x
1002
+(201－x
1
)
2
+(201－x
2
)
2
+…+(201－x
100
)
2

=2(x1
2
+x
2
2
+…+x
100
2
)－ 2×201×(x
1
+x
2
+…+x
100
)+100×2 01
2

=2(x
1
2
+x
2
2
+…+x
100
2
)－2×201×10080+100×201
2

=1
2
+2
2
+3
2
+…+200
2．
1
∴ x
1
2
+x
2
2
+…+x
100
2
=
2
[(1
2
+2
2
+ 3
2
+…+200
2
)+2×201×10080－100×201
2
]
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11
=
2
[
6
×200×201×401+201×20160－20100×201]
1
=2
×[100×67×401+201×60]=1349380．为定值．
三．(本题满分35分)
某市有n所中学，第i所中学派出C
i
名代表(1 ≤C
i
≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，
n
全部学生总数为
Σ
C
i
=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在 同
i=1
一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．
解：首先，199>39×5，故每排至少可坐5所学校的学生．
1990=199×10， 故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制，则全部学生只
要坐在10排就够了．
现让这些学生先按学校顺序入坐，从第一排坐起，一个学校的学生全部坐好后，另一个学
校的学生接下 去坐，如果在某一行不够坐，则余下的学生坐到下一行．这样一个空位都不留，
则坐10排，这些学生就 全部坐完．这时，有些学校的学生可能分坐在两行，让这些学校的学
生全部从原坐处起来，坐到第11、 12排去．由于，这种情况只可能在第一行末尾与第二行开
头、第二行末尾与第三行开头、……第九行末 尾与第十行开头这9处发生，故需要调整的学校
不超过10所，于是第11、12行至多各坐5所学校的 学生，就可全部坐完．这说明12行保证
够坐．
其次证明，11行不能保证就此学生按条件全 部入坐：199=6×33+1．1990=34×58+18．
取59所学校，其中58所学校34 人，1所学校18人．则对前58所学校的学生，每排只能
坐5所学校而不能坐6所学校．故11排只能 坐其中55所学校的学生．即11排不够坐．
综上可知，最少要安排12横排才能保证全部学生都能坐下．


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