1978年全国高中数学联赛试题及解答

1978年全国高中数学竞赛题
一试题
1
1
1．已知y=log，问当x为何值时，(Ⅰ) y>0；(Ⅱ) y<0？
x+3
2
x
2．已知tanx=22 (180°2
3．设椭圆的中心为原点，它 在x轴上的一个焦点与短轴两端连线
互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆 方
程．
4．已知方程2x
2
－9x+8=0，求作一个二次方程，使它的一 个根为
原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．
5．把半径为1的四个小球叠 成两层放在桌面上：下层三个，上层
一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．
6． 如图，设线段AB的中点为M，从线段AB上的另一点C向直
线AB的一侧引线段CD，令线段CD的中 点为N，BD的中点为P，MN
的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC．
7．证明：当n 、k都是给定的正整数，且n>2，k>2时，n(n－1)
k
1
－
可以写成 n个连续偶数的和．
8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于
该三角形的周长之半． 9．已知直线l
1
：y=4x和点P(6，4)，在直线l
1
上求一点Q ，使过
PQ的直线与直线l
1
以及x轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．
?
?
x+y+z=0，
10．求方程组
?
333
的整数解．
?
x+y+z=－18
?
二试题

1．四边形两组对 边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一
条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交 点连成的线
段．
2．⑴ 分解因式：x
12
+x
9
+x< br>6
+x
3
+1．
⑵ 证明：对于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．
3．设R为平面上以 A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三点为顶点
的三角形区域(包括三角形的边界)．试 求当(x，y)在R上变动时，函数
4x－3y的极大值和极小值．(须证明你的论断)
4． 设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点
11
分别为E、F、G、H ，证明：四边形ABCD的面积≤EG?HF≤(AB+CD)·
22
(AD+BC)． < br>5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i=1，
2，…，10)个人的 提桶需时T
i
分钟，假定这些T
i
各不相同，问：
(Ⅰ) 当只有 一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使
你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间) 为最少？这时间等
于多少？(须证明你的论断)
(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排 这十个人的次序，使你
们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)
6． 设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形
中找出一个面积最大的和一个面积最小的， 并求出这两个面积．(须证
明你的论断)

1978年全国高中数学竞赛 冯惠愚
- 3 -

128117
22< br>t
1
==，t=(x－x)=(x
1
+x
2
)－4x
1
x
2
=－16=．
x
1
+x
2
9
212
44
217
∴ 所求方程为(x－)(x－)=0，即36x
2
－161x+34=0．
94

5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层
一个 ，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．
2626
解：边长为2的正四面体的高h=． 故所求高度=1+
33
26
+1=2+．
3

6．如图， 设线段AB的中点为M，从线段AB上的另一点C向直
线AB的一侧引线段CD，令线段CD的中点为N ，BD的中点为P，MN
的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC．
证明：连NP，取AC 中点O，则由于N、P
11
分别为CD、BD中点，故NP∥AB，NP=BC=(AB
22
A
D
N
Q
O
M
P
B
－AC )=AM=AO=OM．
C
∴ NPMO为平行四边形．即PO经过MN中点Q．即直线PQ平
分线段AC．

7． 证明：当n、k都是给定的正整数，且n>2，k>2时，n(n－1)
k
1
－
可以写成n个连续偶数的和．
解：设开始的一个偶数为2m，则此n个连续偶数的和为(2m+…< /p>

+2m+2n－2)×n÷2=n(2m+n－1)．
令n(n－1)
k1
= n(2m+n－1)，则(n－1)
k1
－(n－1)=2m．
无论n为偶数还是奇数，(n－1)
－1)
k1
－(n－1)]为整数．
∴ 从(n－1)
k1
－(n－1)开始的连续n个偶数的和等于n(n－1)
k
1
－－
－
－－
k
－
1
1
－( n－1)均为偶数，故m=[(n
2
．由于n、k给定，故(n－1)
k1
－ (n－1)确定．故证．

8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于
－
该三角形的周长之半．
解：设此三角形三个角为A、B、C，则其三边长分别为2 sinA，2sinB，
2sinC．
本题即证明 cosA+cosB+cosC由于A＋B>90?，故90?> A>90?－B>0，?sinA>sin(90?－B)=cosB，
同理，sinB>cosC，s inC>cosA，三式相加，即得证．

9．已知直线l
1
：y=4x和 点P(6，4)，在直线l
1
上求一点Q，使过
PQ的直线与直线l
1
以及x轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．
4a－4
解：设Q(a，4a)，(a>1) 则直线PQ方程为y－4=(x－6)，令
a－6
a－6
5a
y=0，得x= 6－=．
a－1a－1
15a10a
2
11
∴ S=··4a== 10(a+1+)=10(a－1++2)≥
2
a－1a－1a－1a－1
10(2+ 2)=40．当且仅当a=2时S取得最小值．

1978年全国高中数学竞赛 冯惠愚
即所求点为Q(2，8)．

?
?
x+y+z=0，
10．求方程组
?
333
的整数解．
?
x+y+z=－1 8
?
解：x
3
＋y
3
＋z
3
－3xyz= (x＋y＋z)(x
2
＋y
2
＋z
2
－xy－yz－zx) =0，故xyz=
－6．
故x=－3，y=1，z=2，等共6组解．
二试题 < br>1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一
条对角线平行，证明：另一条对 角线的延长线平分对边交点连成的线
段．
A
证明：如图所示，BD∥EF，作BG∥ED交
AC于G，则
D
G
B
P
C
EQ
F
AGABAD
==，从而GD∥B C，即BCDG为平
ACAEAF
行四边形．P为BD中点，从而Q为EF中点．

2．⑴ 分解因式：x
12
+x
9
+x
6
+x3
+1．
⑵ 证明：对于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．
2π2π
解：⑴令ε=cos＋isin．
1515
14
∴ (x
3
－1)( x
12
+x
9
+x
6
+ x
3
+1)=x
15
－1=
∏
(x－ε
k
)．而x
3
－1=(x－1)(x
k=0
－ε
5
)(x－ε
10
)．
- 7 -

14
故x
12+x
9
+x
6
+x
3
+1=
∏
k=0 (k?5
，
10)
(x－ε
k
)．

⑵ 令x=c osθ，则5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ=5+8x+4(2x
2
－1)+4x
3
－
3x=4x
3
+8x
2
+5x+1=(x+1 )(2x+1)
2
≥0在x≥－1时成立．
3．设R为平面上以A(4，1)、B( －1，－6)、
C(－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的
边界)．试求当(x， y)在R上变动时，函数4x－3y
的极大值和极小值．(须证明你的论断)
解：令4x－3y=t，则此直线在x轴上的截距即
1
为t．
4
分 别以A、B、C的值代入，得相应的t=13，14，－18．即4x－3y
的极大值为14，极小值为 －18．

4．设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点
1
分别为E、F、G、H，证明：四边形ABCD的面积≤EG?HF≤(AB+CD)?
2
1
(AD+BC)．
2
H
A
P
EB
D
y
C(-3,2)
A(4,1)
O
x
B( -1,-6)
证明：连EF、FG、GH、HE，取BD中点P，
G
O
F连EP、PG．
C
1
易证S
四边形
EFGH
=S四边形
ABCD
．
2
11
而S
四边形
EFG H
=EG?HFsin∠EOF≤EG?HF．
22

1978年全国高中数学竞赛 冯惠愚
111
但EP=AD，PG=BC．EP+PG≥EG，故 (AD+BC)≥EG，
222
111
同理，(AB+CD)≥HF．故EG?HF≤(AB+CD)? (AD+BC)，
222
11
从而，四边形ABCD的面积≤EG?HF≤(AB+CD)? (AD+BC)．
22

5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满 第i(i=1，
2，…，10)个人的提桶需时T
i
分钟，假定这些T
i各不相同，问：
(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使
你们 的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等
于多少？(须证明你的论断)
(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你
们的总的花费时间为最少？ 这时间等于多少？(须证明你的论断)
解：当只有1个水龙头可用时，所需时间为10T
1< br>+9T
2
+8T
3
+…+T
10
，
若当1 ≤ii
>T
j
，则其余人不动，交换第i个人与第j个人的次序，则所需时间改变量
10T
1
+…+(11－i)T
i
+…+(11－j)T
j
+…+T
10
－(10T
1
+… +(11－i)T
j
+…
+(11－j)T
i
+…)
=( 11－i)(T
i
－T
j
)+(11－j)(T
j
－Ti
)=(T
j
－T
i
)(i－j)>0．即这样交换后，
所需时间变少．
∴ 应使注满桶所需的时间少的人先注水．不妨设T
1
2
<…10
，
则所需时间为10T
1
+9T
2
+8T
3
+…+T
10
．
⑵ 设T
1
2
<…10
，则安排T
1
、T
3
、T
5
、T
7
、T
9
在一个龙头，T
2
、
- 9 -

T
4
、T
6
、T
8< br>、T
10
在另一个龙头．且注水时间短的先注水．这样，共需
时间5(T
1
+T
2
)+4(T
3
+T
4
)+3(T
5
+T
6
)+2(T
7
+T
8
)+(T
9
+T
10
)．

6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方 形
的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最
小的，并求出这两个面积．(须证明你的 论断)
解：如图，设△EFG是正方形ABCD的一个内接
正三角形．且E、F分别在一组对 边AD、BC上，取
EF中点M，连MG．则∠GME=∠GAE=90°，于是A、G、M、E四点< br>共圆．∴ ∠MAG=∠MEG=60°，同理，∠MBG=60°，即△MAB为正
三角形．于 是M为定点，故1=AB≤EF≤ABsec15°=6－2．
3
∴ ≤S
△
EFG
≤23－3．
4

A
G
B
D
E
M
C
F